Bonjour, dans la page "Exercices : Forme algébrique d'un nombre complexe dont on connaît le module et un argument", pour l'exercice où on a |z| = 13 et θ = 315°, le corrigé dit : Calcul de a : a = |z| cos θ a = 13 cos 315° = (13√2)/2 Je ne comprends pas pourquoi c'est égal à (13√2)/2. Quelqu'un saurait me l'expliquer ?

315° = 360° - 45°, donc cos 315° = cos(360° - 45°) = cos (-45°) = cos 45° = √2/2

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Cours : 6e année secondaire - 6 h > Chapitre 11

Leçon 4: Approche géométrique : Module et argument d'un complexe

Module et argument d'un nombre complexe - Savoirs et savoir-faire

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.


Module de $a + b i$ ‍		$∣ z ∣= \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ‍
Un argument de $a + b i$ ‍		$θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})$ ‍
Forme trigonométrique du nombre complexe de module $r$ ‍ et d'argument $θ$ ‍		$r \cos (θ) + r \sin (θ) \times i$ ‍

Module et argument d'un nombre complexe

Un nombre complexe

z

est sous forme algébrique s'il est sous la forme

a + b i

, où

a

est sa

partie réelle

b

partie imaginaire

. Le nombre complexe

z = 3 + 4 i

est sous forme algébrique.

L'image dans le plan complexe du nombre complexe

z = a + b i

est le point

M (a; b)

M

est l'image de

z = a + b i

O

l'origine du repère, on peut caractériser le nombre complexe

z

par son

module r

défini comme la longueur du segment

[OM]

et par l'une des mesures

θ

l’angle orienté

des demi-droites notées

[O x)

[O M)

dans certains pays et

[O x

[O M

dans d'autres pays.

On peut donc caractériser le nombre complexe

z

par son

module

qui est noté avec le symbole de la

valeur absolue

| z |

et par une des mesures de

l’angle orienté θ

appelée

un argument

z

. La valeur de cet angle comprise entre

- π

π

est appelée l'argument principal de

z

z = a + b i

, alors

| z | = | a + b i |

, et l'un de ses arguments

θ

est tel que

cos θ = a / | z |

sin θ = b / | z |

La vidéo Module et argument d'un nombre complexe.

1 - Calculer le module d'un nombre complexe

On applique le théorème de Pythagore :

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Par exemple, le module de

z = 3 + 4 i

est

| z | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

Exercice 1.1

| 3 + 7 i | =

On demande sa valeur exacte.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - Calculer un argument d'un nombre complexe

Pour calculer un argument d'un nombre complexe on peut utiliser la fonction

arctangente

. Mais il ne faut pas oublier que quel que soit

θ

tan (θ + k \times 180 °) = tan θ

et que la fonction arctangente renvoie celle de ces mesures qui est comprise entre

- 90 °

90 °

(ou entre

- π / 2

π / 2

). Il faut donc parfois soit ajouter, soit retrancher

180 °

(ou

π

) à la valeur de la fonction arctangente obtenue.

θ = arctan (\frac{b}{a})

On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.

Exemple 1 : $M$ ‍ est dans le Quadrant $I$ ‍

Soit à calculer un argument de

3 + 4 i

arctan (\frac{4}{3}) \approx 53^{\circ}

Exemple 1 : $M$ ‍ est dans le Quadrant $II$ ‍

Soit à calculer un argument de

- 3 + 4 i

. L'image de

- 3 + 4 i

est dans le Quadrant

II

arctan (\frac{4}{- 3}) \approx - 53^{\circ}

Pour obtenir la mesure désirée, on ajoute

180^{\circ}

- 53^{\circ} + 180^{\circ} = 127^{\circ}

Exercice 2.1

z = 1 + 4 i

θ =

^{\circ}

Arrondir la réponse au dixième. On demande l'argument principal $θ$ ‍ compris entre $- 180^{\circ}$ ‍ et $180^{\circ}$ ‍.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

3 - Forme algébrique d'un nombre complexe dont on connaît le module et un argument

La partie réelle du nombre complexe de module

r

et dont un argument est

θ

est

r cos θ

et sa partie imaginaire est

r sin θ

\overset{a}{\overset{⏞}{r \cos (θ)}} + \overset{b}{\overset{⏞}{r \sin (θ)}} \times i

On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.

La forme algébrique du nombre complexe de module

2

et dont un argument est

30^{\circ}

2 \cos (30^{\circ}) + 2 \sin (30^{\circ}) i = \sqrt{3} + 1 i

Exercice 3.1

| z_{1} | = 3

θ_{1} = 20^{\circ}

z_{1} =

i

Arrondir la partie réelle et la partie imaginaire de $z_{1}$ ‍ au millième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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pauline pey
Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de pauline pey «Bonjour, dans la page "Ex ... »
Bonjour,
dans la page "Exercices : Forme algébrique d'un nombre complexe dont on connaît le module et un argument", pour l'exercice où on a |z| = 13 et θ = 315°, le corrigé dit :
Calcul de a :
a = |z| cos θ
a = 13 cos 315° = (13√2)/2
Je ne comprends pas pourquoi c'est égal à (13√2)/2. Quelqu'un saurait me l'expliquer ?
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- mgdenizet
  Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «315° = 360° - 45°, donc c ... »
  315° = 360° - 45°, donc cos 315° = cos(360° - 45°) = cos (-45°) = cos 45° = √2/2
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6e année secondaire - 6 h

Cours : 6e année secondaire - 6 h > Chapitre 11

Module et argument d'un nombre complexe

1 - Calculer le module d'un nombre complexe

2 - Calculer un argument d'un nombre complexe

Exemple 1 : M‍ est dans le Quadrant I‍

Exemple 1 : M‍ est dans le Quadrant II‍

3 - Forme algébrique d'un nombre complexe dont on connaît le module et un argument

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Exemple 1 : $M$ ‍ est dans le Quadrant $I$ ‍

Exemple 1 : $M$ ‍ est dans le Quadrant $II$ ‍