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Le nombre 𝑒 comme limite d'une suite

Le nombre 𝑒 est la limite d'une suite. CrĂ©Ă© par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans la vidĂ©o prĂ©cĂ©dente on m'avait Ă©tudier un cas trĂšs simple d'intĂ©rĂȘts composĂ©s qui nous avait conduits Ă  cette expression lĂ  un plus 1 suresnes Ă©levĂ© Ă  la puissance n en fait on avait observĂ© le cas d'un prĂȘt bancaire avec un certain taux d'intĂ©rĂȘt remboursĂ©s sur une un certain nombre de pĂ©riodes alors ici je vais mettre ce n qui est le nombre de pĂ©riodes qu'on retrouve ici en explosant voilĂ  alors dans la vidĂ©o prĂ©cĂ©dente on a fait plusieurs essais avec diffĂ©rentes valeurs de haine toujours plus grande jusqu'Ă  n Ă©gale 365 qui correspondait un prĂȘt bancaire de taux d'intĂ©rĂȘt journalier de 100% sur 365 remboursables en 365 jours donc en une annĂ©e voilĂ  alors ce qu'on avait dit dans la derniĂšre vidĂ©o aussi c'est que on m'avait donc fait ces essais et que ces essais paraissait converger vers un nombre et je t'avais dit que ce nombre c'Ă©tait un nombre trĂšs connu en mathĂ©matiques et en sciences qu'on appelle le nombreux et donc ce que je voudrais faire dans cette vidĂ©o c'est dĂ©jĂ  essayĂ© de voir un petit peu vers quoi nous mĂšne cette expression lĂ  quand on la calcule pour des valeurs de haine de plus en plus grande alors je prends la calculatrice donc je vais calculer cette expression donc je voulais parenthĂšse et je vais prendre une valeur de haine trĂšs grande donc on va calculer un plus 1 / disons un million je prends un Ă©gal 1 millions dont classĂ© dix mille cent mille 1 million je ferme la parenthĂšse et j'Ă©lĂšve toute cette parenthĂšse Ă  la puissance 1 million 10 a fait la g 100 milles et donc puis 105 millions voilĂ  alors Ă©videmment ici je vais appuyer sur la touche entrĂ©e ne t'inquiĂšte pas c'est un moment de suspense mais d'abord je voudrais qu'on se penche un petit peu sur cette expression qui est lĂ  parce qu'on a un nombre dans la parenthĂšse qui est plus grand qu'un qu'on Ă©lĂšve Ă  une puissance donc si cette puissance est trĂšs grande lĂ  comme le cas que j'ai pris ici puissance un million on peut imaginer que ça va donner un nombre gigantesque mais ce qui est intĂ©ressant c'est de regarder un petit peu mieux ce qu'on a dans la parenthĂšse puisque ici on a un plus un suresnes donc un plus un sur un million dans le cas que qu'on va calculer tout Ă  l'heure donc c'est quelque chose qui est plus grand que 1 mais plus n est grand plus qu'il ya dans la parenthĂšse est proche de 1 donc ça sera jamais exactement 1 mais en fait on se rapproche de plus en plus de cinq ans et grandi ici et donc voilĂ  ces deux tendances la selon ce qu'ont pensĂ© d'une certaine maniĂšre on peut dire ça comme ça et pour comprendre un peu mieux on peut aussi se dire que quand on a un Ă©levĂ© Ă  la puissance 1 million bien ça fait 1 million donc ici on a un tout petit peu plus que 1 Ă©levĂ© Ă  la puissance 1 million donc ça devrait ĂȘtre pas trĂšs loin de 1 non plus donc c'est ce que je disais tout Ă  l'heure c'est tendance ce qu'on pense et on va le voir tout de suite lĂ  maintenant je vais appuyer sur cette touche en prĂ©voit la tacc et j'obtiens cette valeur 2,718 280 469 effectivement ici les dĂ©cimales se continue normalement et donc ça confirme ce que je disais on n'a pas du tout quelque chose de trĂšs trĂšs grands 2,72 Ă  peu prĂšs donc c'est pas trĂšs grand c'est mĂȘme assez petit par rapport Ă  ce qu'on pouvait imaginer et on va confirmer ce fait lĂ  en faisant un autre exemple alors ici je vais faire le mĂȘme calcul mais avec un une valeur de haine encore plus grande alors un plus 1 / lĂ  je vais prendre 10 millions et je vais utiliser les puissances de 10 la notation scientifique donc c'est 10 puissance cette voie lĂ  10 puissance 7 je ferme la parenthĂšse et je vais Ă©lever sa Ă  la puissance 10 puissance est donc 10 puissance 7 et je ferme la parenthĂšse donc lĂ  j'ai un plus un sur dix millions et levait la puissance 10 millions alors on va voir je ne sais pas si la calculatrice peut calculer ça mais oui trĂšs bien ça nous donne 2,7 1,8 de 8 1 693 donc tu vois que lĂ  les cinq premiĂšres dĂ©cimales sont les mĂȘmes et on a une diffĂ©rence Ă  partir du du coĂ»t de la 6Ăšme dĂ©cimales alors je vais continuer avec une valeur de haine encore plus grande je vais prendre 100 millions donc un plus 1 / alors 100 millions ses 10 puissance 8/10 puissent ensuite je ferme la parenthĂšse et je ferme la grande parenthĂšse Ă©levĂ© Ă  la puissance 10 puis sans suite et on va voir ça me donne 2 718 288 115 ici encore le dĂ©veloppement dĂ©cimales et le mĂȘme jusqu'Ă  la position 5 c'est Ă  partir de ce chiffre lĂ  que la valeur change alors ce qui se passait quand fait plus on prend des valeurs de haine grande plus on s'approche petit Ă  petit de la valeur du nombreux alors cette valeur lĂ  je peux la calculer ici et 22 donner une valeur approchĂ© que laquelle la calculatrice va calculer c'est eux Ă©levĂ©s Ă  la puissance 1 et c'est donc voilĂ  on retrouve pratiquement la mĂȘme que celle qu'on a calculĂ© tout Ă  l'heure et donc finalement ce qui se passe c'est que cette suite la 1 + 1 sur rennes Ă©levĂ© Ă  la puissance n et bien en fait elle n'est pas divergentes elle ne va pas ça limite n'est pas l'infini et on peut l'Ă©crire comme ça la limite quand elle tend vers plus l'infini de cette suite et bien c'est un nombre un nombre qu'on appelle eux donc c'est ce nombre dont je t'avais dĂ©jĂ  parlĂ© et dont la valeur est Ă  peu prĂšs deux virgules je vais reprendre ce qui est Ă©crit ici 2.718 de 8 1 8 donc c'est environ 2,7 1,8 de 8 1 8 et ainsi de suite et en fait ce qui est intĂ©ressant c'est que le dĂ©veloppement dĂ©cimale de ce nombre-lĂ  ne se termine jamais c'est exactement comme le nombre pi que tu connais qui est le rapport entre la circonfĂ©rence et le diamĂštre d'un cercle ce sont des nombres qu'on appelle des nombres transcendant dont le dĂ©veloppement de dĂ©cimales est infini et ne se rĂ©pĂšte jamais voilĂ  donc ce nombreux comme le nombre pi comme l'unitĂ© imaginaire des complexes le nombreux y ce sont des nombres qui ont une importance vraiment fondamental dans la nature et qu'on retrouve dans pleins pleins de domaines donc ça tu verras d'autres vidĂ©os sur la khan academy lĂ  dessus et en particulier ce qui est assez surprenant est assez fascinant c'est que ces trois nombres la e i Ă©pis sont liĂ©s par une relation trĂšs trĂšs simple que tu apprendras par la suite