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3e année secondaire

Cours : 3e année secondaire > Chapitre 3

Leçon 3: Factorisation grâce aux identités remarquables

Factoriser une différence de deux carrés

Factoriser un polynôme c'est l'écrire sous forme d'un produit.

Cette leçon vous permet de vous entraîner à déceler une différence de deux carrés dans un polynôme et à appliquer l'identité remarquable correspondante.

Factoriser une différence de deux carrés

L'identité remarquable est :

start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis

Par exemple si a, equals, x et b, equals, 2, on obtient :

\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}

Donc x, squared, minus, 4, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Pour vérifier on peut développer le deuxième membre :

\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}

Voici d'autres exemples.

Exemple 1 : La factorisation de x, squared, minus, 16

x, squared et 16 sont des carrés car x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared and 16, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared :

x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared

Ce polynôme est une différence de deux carrés. Pour le factoriser on utilise l'identité remarquable :

start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd et start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, donc

left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, minus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis

Pour vérifier, on peut effectuer le produit left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.

[détail]

À vous !

1) x, squared, minus, 25 est égal à :

(Choix A)
left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis
(Choix B)
left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis
(Choix C)
left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis

[J'ai besoin d'aide.]

2) Factoriser x, squared, minus, 100.

[J'ai besoin d'aide.]

Une question

3) Peut-on utiliser cette identité remarquable pour factoriser x, squared, plus, 25, space, question mark

[J'ai besoin d'aide.]

Exemple 2 : La factorisation de 4, x, squared, minus, 9

Là aussi on a affaire à une différence de deux carrés.

4, x, squared et 9 sont des carrés car 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared et 9, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, squared. Donc :

\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-\greenD{3}^2=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}

Pour vérifier, on peut effectuer le produit left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis.

[détail]

À vous !

4) 25, x, squared, minus, 4 est égal à :

(Choix A)
left parenthesis, 25, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis
(Choix B)
left parenthesis, 25, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis
(Choix C)
left parenthesis, 5, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 5, x, minus, 2, right parenthesis
(Choix D)
left parenthesis, 25, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, 25, x, minus, 4, right parenthesis