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Factoriser le développement du carré d'une somme ou d'une différence

Comment reconnaître les expressions de la forme a² + 2ab + b² ou a² - 2ab + b² et utiliser les identités remarquables a² + 2ab + b² =(a + b)² et a² - 2ab + b² = (a-b)²
Factoriser un polynôme c'est l'écrire sous forme d'un produit.
Cette leçon vous permet de vous entraîner à déceler le développement du carré d'une somme ou d'une différence dans un polynôme et à appliquer l'identité remarquable correspondante. Reportez-vous si nécessaire à cette vidéo qui traite de ces identités remarquables.

Factoriser un trinôme s'il est le développement d'un carré

Pour développer le carré d'une somme ou le carré d'une différence, on utilise les identités :
  • (a+b)2=a2+2ab+b2
  • (ab)2=a22ab+b2
Par exemple, pour développer (x+5)2, on utilise la première identité avec a=x et b=5, et on obtient :
(x+5)2=x2+2×x×5+52=x2+10x+25
Vous pouvez vérifier en utilisant la double distributivité pour développer (x+5)2.
On peut écrire ces identités dans l'autre sens. On met alors une somme algébrique sous la forme d'un produit. C'est pourquoi ces identités permettent de factoriser les polynômes de la forme a2±2ab+b2.
  • a2+2ab+b2 =(a+b)2
  • a22ab+b2 =(ab)2
Par exemple, si a=x et b=5, on factorise x2+10x+25 en utilisant la première identité :
x2+10x+25=x2+2×x×5+52=(x+5)2
Les expressions de ce type sont des développements du carré d'une somme algébrique.
Voici quelques exemples.

Exemple 1 : La factorisation de x2+8x+16

x2=x2 et 16=42, donc le premier et le dernier terme sont respectivement le carré de x et le carré de 4. Le terme du milieu est le double produit de x par 4 : 2×x×4=8x.
Donc ce polynôme est le développement du carré d'une somme et on peut utiliser l'identité
a2+2ab+b2 =(a+b)2
IIci, a=x et b=4, donc :
x2+8x+16=x2+2×x×4+42=(x+4)2
Pour vérifier, on peut développer (x+4)2 :
(x+4)2=x2+2×x×4+42=x2+8x+16

À vous !

1) Le trinôme x2+6x+9 est égal à :
Choisissez une seule réponse :

1) Le trinôme x26x+9 est égal à :
Choisissez une seule réponse :

3) Factoriser x2+14x+49.
 

Exemple 2 : Factoriser 4x2+12x+9

Le coefficient du terme du second degré peut être différent de 1.
Dans le trinôme 4x2+12x+9, le premier terme est 4x2=(2x)2 et le dernier terme est 9=32, donc ces deux termes sont respectivement le carré de 2x et le carré de 3. Le terme du milieu est le double produit de 2x par 3 : 2×2x×3=12x.
Donc 4x2+12x+9 est le développement du carré d'une somme et on peut appliquer l'identité
a2+2ab+b2 =(a+b)2
a=2x et b=3, donc
4x2+12x+9=(2x)2+2×2x×3+32=(2x+3)2
Pour vérifier, on peut développer (2x+3)2.

À vous !

4) Le trinôme 9x2+30x+25 est égal à :
Choisissez une seule réponse :

5) Factoriser 4x220x+25.
 

Un dernier exercice

6*) Factoriser x4+2x2+1.
 

7*) Factoriser 9x2+24xy+16y2.
 

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