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3e année secondaire

Cours : 3e année secondaire > Chapitre 3 

Leçon 2: Factorisation par groupements (somme et produit)
Mathématiques
3e année secondaire
Algèbre : Factorisation de polynômes et fractions rationnelles
Factorisation par groupements (somme et produit)
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Préambule à la méthode de factorisation d'un trinôme du second degré en décomposant le terme en x

Google Classroom
Ce préambule pour comprendre d'où vient la méthode pour factoriser un trinôme quand le coefficient du terme du second degré est différent de 1.

Prérequis

Factoriser un polynôme c'est l'écrire sous forme d'un produit.
Reportez-vous, si nécessaire, à la leçon Factoriser un polynôme si ses termes ont des facteurs communs.

Le sujet traité

Cette leçon est une introduction à une méthode qui permet de factoriser certains trinômes de la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c si a, does not equal, 1. Le but est que vous compreniez d'où vient cette méthode.

Exemple 1 : Factoriser 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12

Les termes de 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12 n'ont pas de facteur commun. L'idée est de regrouper d'une part les deux premiers termes, d'autre part les deux derniers termes et de les factoriser séparément. On les regroupe en utilisant des parenthèses :
start underbrace, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 8, x, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, end text, end subscript, plus, start underbrace, left parenthesis, 3, x, plus, 12, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, end text, end subscript
On met 2, x en facteur dans les deux premiers termes et on met 3 en facteur dans les deux derniers termes :
2, x, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis
Maintenant, on peut mettre start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05 en facteur :
2, x, left parenthesis, start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis
On a factorisé le polynôme ! Pour vérifier qu'il n'y a pas d'erreur, on peut effectuer le produit obtenu.

Exemple 2 : Factoriser 3, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 8

Voici un deuxième exemple traité.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)=3x(x+2)+4(x+2)=3x(x+2)+4(x+2)=(x+2)(3x+4) \begin{aligned}&\phantom{=}3x^2+6x+4x+8\\\\ &=(3x^2+6x)+(4x+8)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=3x({x+2})+4({x+2})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=3x(\goldD{x+2})+4(\goldD{x+2})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=(\goldD{x+2})(3x+4)&&\small{\gray{\text{ } }} \end{aligned}
3, x, squared, plus, 10, x, plus, 8, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis.

À vous !

1) Factoriser 9, x, squared, plus, 6, x, plus, 12, x, plus, 8.
Choisissez une seule réponse :

2) Factoriser 5, x, squared, plus, 10, x, plus, 2, x, plus, 4.
 

3) Factoriser 8, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 3.
 

Exemple 3 : Factoriser 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8

Voici un cas où les coefficients des termes en x sont négatifs.
Voici les étapes de la factorisation de 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8.
0=3x2−6x−4x+8(1)=(3x2−6x)+(−4x+8)(2)=3x(x−2)+(−4)(x−2)(3)=3x(x−2)−4(x−2)(4)=3x(x−2)−4(x−2)(5)=(x−2)(3x−4)\begin{aligned}\phantom{0}&&&\phantom{=}3x^2-6x-4x+8\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=(3x^2-6x)+(-4x+8)&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x(x-2)+(-4)(x-2)&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x(x-2)-4(x-2)&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\goldD{x-2})-4(\goldD{x-2})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\goldD{x-2})(3x-4)&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ \end{aligned}
Donc 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis. Pour vérifier, on peut effectuer le produit.
Voici les réponses aux deux questions que vous vous posez peut-être...
Pourquoi ce signe "+" entre les deux parenthèses qui n'existe pas dans le polynôme donné ?
À l'étape start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd, on a mis un signe "+" entre left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis et left parenthesis, minus, 4, x, plus, 8, right parenthesis. De cette façon la deuxième parenthèse contient bien le troisième terme du polynôme qui est left parenthesis, minus, 4, x, right parenthesis et le quatrième terme.
Écrire que 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8 est égal à left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, 4, x, plus, 8, right parenthesis aurait été une erreur. Car left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, 4, x, plus, 8, right parenthesis, equals, 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, start color #ca337c, minus, 8, end color #ca337c, et ce polynôme n'est pas égal au polynôme donné.
Pourquoi mettre minus, 4 en facteur plutôt que 4, space, question mark
À l'étape start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd, on a mis minus, 4 en facteur de façon à obtenir le facteur commun left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Si on avait mis 4 en facteur, on aurait obtenu :
(3x2−6x)+(−4x+8)=3x(x−2)+4(−x+2)\begin{aligned}(3x^2-6x)+(-4x+8)&=3x(\goldD{x-2})+4(\purpleC{-x+2})\\ \end{aligned}
Attention à ne pas faire d'erreur si le coefficient du terme en x est négatif !

À vous !

4) Factoriser 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, x, plus, 6.
Choisissez une seule réponse :

5) Factoriser 3, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, x, minus, 10.
 

6) Factoriser 3, x, squared, plus, 6, x, minus, x, minus, 2.
 

Un dernier exercice

7) Factoriser 2, x, cubed, plus, 10, x, squared, plus, 3, x, plus, 15.
 

Peut-on toujours factoriser de cette façon ?

La réponse est non, car il faut que les termes qui sont entre parenthèses aient un facteur commun.
Par exemple, on peut factoriser ainsi 3, x, squared, plus, 9, x, plus, 2, x, plus, 6 car 3, x, squared, plus, 9, x et 2, x, plus, 6 ont un facteur commun :
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)\begin{aligned}(3x^2+9x)+(2x+6)&=3x(\goldD{x+3})+2(\goldD{x+3})\\ \end{aligned}
Mais pas 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 4, x, plus, 12, car 2, x, squared, plus, 3, x et 4, x, plus, 12 n'ont pas de facteur commun :
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)\begin{aligned}(2x^2+3x)+(4x+12)&=x(\goldD{2x+3})+4(\purpleC{x+3})\\ \end{aligned}

Pour factoriser un trinôme du second degré on peut toujours décomposer astucieusement le terme en x.

Par exemple, on peut décomposer le terme en x du trinôme 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3 de la façon suivante :
2, x, squared, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3
Puis en déduire facilement que 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis.
Ceci fera l'objet d'une autre leçon.

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