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Contenu principal

Factoriser un trinôme lorsque le coefficient du terme du second degré est égal à 1 - une méthode

Comment écrire un trinôme de la forme x² + bx + c sous forme d'un produit de facteurs. Par exemple comment établir que  x²+5x+6=(x+2)(x+3)

Prérequis

Factoriser un polynôme c'est l'écrire sous forme d'un produit.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la factorisation des trinômes du second degré de la forme x2+bx+c.

Rappel : Multiplier deux binômes

Soit le produit (x+2)(x+4).
On applique la double distributivité de la multiplication sur l'addition.
(x+2)(x+4)=(x+2)×x+(x+2)×4=x2+2x+4x+8=x2+6x+8
Donc, (x+2)(x+4)=x2+6x+8.
Mais ce qui nous intéresse ici n'est pas de montrer que le produit de x+2 par x+4 est égal à x2+6x+8. C'est l'opération inverse : en partant de x2+6x+8, comment trouver les facteurs x+2 et x+4 ?

Factoriser un trinôme

Pour factoriser un trinôme de la forme x2+bx+c, la méthode est de trouver les entiers dont la somme est le coefficient du terme en x, c'est-à-dire b et dont le produit est le terme constant, c'est-à-dire c. Vous trouverez plus bas la justification de cette méthode.
On vient de voir que x2+6x+8=(x+2)(x+4). On vérifie que 2 et 4 sont bien les entiers tels que 2+4=6 et 2×4=8.
Voici un exemple.

Exemple 1 : Factoriser x2+5x+6

Pour factoriser x2+5x+6, on cherche les deux entiers dont le produit est le terme constant, c'est-à-dire 6, et dont la somme est le coefficient de x, c'est-à-dire 5.
2×3=6 et 2+3=5, donc ces deux entiers sont 2 et 3.
Les deux facteurs sont : (x+2) et (x+3).
Et on peut écrire :
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
Pour vérifier, on calcule le produit des deux binômes :
(x+2)(x+3)=(x+2)×x+(x+2)×3=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
Le produit de x+2 par x+3 est bien égal à x2+5x+6.

À vous !

1) Factoriser x2+7x+10.
Choisissez une seule réponse :

2) Factoriser x2+9x+20.
 

Voici d'autres exemples.

Exemple 2 : Factoriser x25x+6

Pour factoriser x2+5x+6, on cherche les deux entiers dont le produit est 6, et dont la somme est 5.
2×(3)=6 et 2+(3)=5, donc ces deux entiers sont 2 et 3.
Les deux facteurs sont : (x+(2)) et (x+(3)).
On obtient :
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)
Une remarque : Les entiers qu'il fallait trouver pour factoriser x25x+6 sont tous les deux négatifs (2 et3). C'est normal puisque leur produit est positif alors que leur somme est négative.
C'est un résultat général : si c est positif et b négatif, les deux entiers qu'il faut trouver pour factoriser x2+bx+c sont tous les deux négatifs.

Exemple 3 : Factoriser x2x6

x2x6=x21x6.
Pour factoriser x21x6, on cherche les deux entiers dont le produit est 6, et dont la somme est 1.
2×(3)=6 et 2+(3)=1, donc ces deux entiers sont 2 et 3.
Les deux facteurs sont : (x+2) et (x+(3)).
On obtient :
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)
Une remarque : L'un des entiers qu'il fallait trouver pour factoriser x2x6 est négatif et l'autre est positif (2 et3). C'est normal puisque leur produit est négatif.
C'est un résultat général : si c est négatif, les deux entiers qu'il faut trouver pour factoriser x2+bx+c sont de signes contraires.

À retenir

Pour factoriser x2+bx+c, on doit trouver les deux entiers dont le produit est c et dont la somme est b.
Si m et n sont les entiers tels que c=mn et b=m+n, alors x2+bx+c=(x+m)(x+n).

À vous !

3) Factoriser x28x9.
 

4) Factoriser x210x+24.
 

5) Factoriser x2+7x30.
 

Justification

On reprend l'exemple du trinôme x2+5x+6.
Voici de nouveau le produit de x+2 par x+3 :
(x+2)(x+3)=(x+2)×x+(x+2)×3=x2+2x+3x+2×3=x2+(2+3)x+2×3
Le coefficient du terme en x est la somme de 2 et de 3, et le terme constant est le produit de 2 par 3.

L'identité   x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)

Au lieu de calculer le produit (x+2)(x+3), on calcule le produit (x+m)(x+n) :
(x+m)(x+n)=(x+m)×x+(x+m)×n=x2+mx+nx+m×n=x2+(m+n)x+m×n
Quel que soit x,
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+m×n
Et, dans l'autre sens : quel que soit x, x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)
Quel que soit x, x2+bx+c est de la forme x2+(m+n)x+m×n. Donc si les entiers m et n sont tels que b=m+n et c=m×n, alors x2+bx+c=(x+m)(x+n)

Une question

6) Peut-on utiliser cette méthode pour factoriser 2x2+3x+1?
Choisissez une seule réponse :

A quelles conditions peut-on utiliser cette méthode ?

Il faut que la factorisation du trinôme soit de la forme (x+m)(x+n)m et n sont deux entiers.
Donc le coefficient de x2 doit être 1, car si on effectue le produit (x+m)(x+n), le coefficient de x2 est égal à 1.
Mais cette condition ne suffit pas. Par exemple, il n'est pas possible d'utiliser cette méthode pour factoriser le trinôme x2+2x+2, car il n'existe pas d'entiers dont la somme et le produit soient égaux à 2. Remarque : x2+2x+2 est un cas très particulier car vous verrez plus tard qu'il n'est pas possible par aucune méthode de factoriser ce trinôme dans l'ensemble des réels.
Nous verrons dans les prochaines leçons d'autres méthodes pour factoriser un trinôme.

Un dernier exercice

7*) Factoriser x2+5xy+6y2.
 

8*) Factoriser x45x2+6.
 

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