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3e année secondaire

Cours : 3e année secondaire > Chapitre 3

Leçon 2: Factorisation par groupements (somme et produit)

Factoriser un trinôme lorsque le coefficient du terme du second degré est égal à 1 - une méthode

Comment écrire un trinôme de la forme x² + bx + c sous forme d'un produit de facteurs. Par exemple comment établir que x²+5x+6=(x+2)(x+3)

Prérequis

Factoriser un polynôme c'est l'écrire sous forme d'un produit.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la factorisation des trinômes du second degré de la forme

x^{2} + b x + c

Rappel : Multiplier deux binômes

Soit le produit

(x + 2) (x + 4)

On applique la double distributivité de la multiplication sur l'addition.

\begin{aligned} (x + 2) (x + 4) & = (x + 2) \times x + (x + 2) \times 4 \\ = x^{2} + 2 x + 4 x + 8 \\ = x^{2} + 6 x + 8 \end{aligned}

[Une autre explication.]

Donc,

(x + 2) (x + 4) = x^{2} + 6 x + 8

Mais ce qui nous intéresse ici n'est pas de montrer que le produit de

x + 2

par

x + 4

est égal à

x^{2} + 6 x + 8

. C'est l'opération inverse : en partant de

x^{2} + 6 x + 8

, comment trouver les facteurs

x + 2

x + 4 ?

Factoriser un trinôme

Pour factoriser un trinôme de la forme

x^{2} + b x + c

, la méthode est de trouver les entiers dont la somme est le coefficient du terme en

x

, c'est-à-dire

b

et dont le produit est le terme constant, c'est-à-dire

c

. Vous trouverez plus bas la justification de cette méthode.

On vient de voir que

x^{2} + 6 x + 8 = (x + 2) (x + 4)

. On vérifie que

2

4

sont bien les entiers tels que

2 + 4 = 6

2 \times 4 = 8

Voici un exemple.

Exemple 1 : Factoriser $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

Pour factoriser

x^{2} + 5 x + 6

, on cherche les deux entiers dont le produit est le terme constant, c'est-à-dire

6

, et dont la somme est le coefficient de

x

, c'est-à-dire

5

2 \times 3 = 6

2 + 3 = 5

, donc ces deux entiers sont

2

3

[Comment trouve-t-on ces deux entiers ?]

Les deux facteurs sont :

(x + 2)

(x + 3)

Et on peut écrire :

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ‍

Pour vérifier, on calcule le produit des deux binômes :

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) \times x + (x + 2) \times 3 \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 \\ = x^{2} + 5 x + 6 \end{aligned}$ ‍

Le produit de

x + 2

par

x + 3

est bien égal à

x^{2} + 5 x + 6

À vous !

1) Factoriser $x^{2} + 7 x + 10$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

2) Factoriser $x^{2} + 9 x + 20$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Voici d'autres exemples.

Exemple 2 : Factoriser $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

Pour factoriser

x^{2} + - 5 x + 6

, on cherche les deux entiers dont le produit est

6

, et dont la somme est

- 5

- 2 \times (- 3) = 6

- 2 + (- 3) = - 5

, donc ces deux entiers sont

- 2

- 3

[Comment trouve-t-on ces deux entiers ?]

Les deux facteurs sont :

(x + (- 2))

(x + (- 3))

On obtient :

$\begin{aligned} x^{2} - 5 x + 6 & = (x + (- 2)) (x + (- 3)) \\ = (x - 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

[Comment le vérifier ?]

Une remarque : Les entiers qu'il fallait trouver pour factoriser

x^{2} - 5 x + 6

sont tous les deux négatifs

(- 2

- 3)

. C'est normal puisque leur produit est positif alors que leur somme est négative.

C'est un résultat général : si

c

est positif et

b

négatif, les deux entiers qu'il faut trouver pour factoriser

x^{2} + b x + c

sont tous les deux négatifs.

Exemple 3 : Factoriser $x^{2} - x - 6$ ‍

x^{2} - x - 6 = x^{2} - 1 x - 6

Pour factoriser

x^{2} - 1 x - 6

, on cherche les deux entiers dont le produit est

- 6

, et dont la somme est

- 1

2 \times (- 3) = - 6

2 + (- 3) = - 1

, donc ces deux entiers sont

2

- 3

[Comment trouve-t-on ces deux entiers ?]

Les deux facteurs sont :

(x + 2)

(x + (- 3))

On obtient :

$\begin{aligned} x^{2} - x - 6 & = (x + 2) (x + (- 3)) \\ = (x + 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

[Comment le vérifier ?]

Une remarque : L'un des entiers qu'il fallait trouver pour factoriser

x^{2} - x - 6

est négatif et l'autre est positif

(2

- 3)

. C'est normal puisque leur produit est négatif.

C'est un résultat général : si

c

est négatif, les deux entiers qu'il faut trouver pour factoriser

x^{2} + b x + c

sont de signes contraires.

À retenir

Pour factoriser

x^{2} + b x + c

, on doit trouver les deux entiers dont le produit est

c

et dont la somme est

b

m

n

sont les entiers tels que

c = m n

b = m + n

, alors

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)

À vous !

3) Factoriser $x^{2} - 8 x - 9$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

4) Factoriser $x^{2} - 10 x + 24$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

5) Factoriser $x^{2} + 7 x - 30$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Justification

On reprend l'exemple du trinôme

x^{2} + 5 x + 6

Voici de nouveau le produit de

x + 2

par

x + 3

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) \times x + (x + 2) \times 3 \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \times 3 \\ = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \times 3 \end{aligned}$ ‍

Le coefficient du terme en

x

est la somme de

2

et de

3

, et le terme constant est le produit de

2

par

3

L'identité $x^{2} + (m + n) x + m n = (x + m) (x + n)$ ‍

Au lieu de calculer le produit

(x + 2) (x + 3)

, on calcule le produit

(x + m) (x + n)

$\begin{aligned} (x + m) (x + n) & = (x + m) \times x + (x + m) \times n \\ = x^{2} + m x + n x + m \times n \\ = x^{2} + (m + n) x + m \times n \end{aligned}$ ‍

Quel que soit

x

$(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + m \times n$ ‍

Et, dans l'autre sens : quel que soit $x$ ‍, $x^{2} + (m + n) x + m n = (x + m) (x + n)$ ‍

Quel que soit

x

x^{2} + b x + c

est de la forme

x^{2} + (m + n) x + m \times n

. Donc si les entiers

m

n

sont tels que

b = m + n

c = m \times n

, alors

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)

Une question

6) Peut-on utiliser cette méthode pour factoriser $2 x^{2} + 3 x + 1 ?$ ‍

[J'ai besoin d'aide.]

A quelles conditions peut-on utiliser cette méthode ?

Il faut que la factorisation du trinôme soit de la forme

(x + m) (x + n)

où

m

n

sont deux entiers.

Donc le coefficient de

x^{2}

doit être

1

, car si on effectue le produit

(x + m) (x + n)

, le coefficient de

x^{2}

est égal à

1

Mais cette condition ne suffit pas. Par exemple, il n'est pas possible d'utiliser cette méthode pour factoriser le trinôme

x^{2} + 2 x + 2

, car il n'existe pas d'entiers dont la somme et le produit soient égaux à

2

. Remarque :

x^{2} + 2 x + 2

est un cas très particulier car vous verrez plus tard qu'il n'est pas possible par aucune méthode de factoriser ce trinôme dans l'ensemble des réels.

Nous verrons dans les prochaines leçons d'autres méthodes pour factoriser un trinôme.

Un dernier exercice

7*) Factoriser $x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

8*) Factoriser $x^{4} - 5 x^{2} + 6$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

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Trier par :

Marc Pechaud
Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de Marc Pechaud «Y'aurait pas une erreur d ... »
Y'aurait pas une erreur dans Exemple 3 x^2 - x + 6 au lieu de -6 ?
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(3 votes)
Réponse
- ASSILEM666
  Posté il y a il y a 5 mois. Lien direct vers le message de ASSILEM666 «Bonjour Non si m= -3 et n ... »
  Bonjour
  Non si m= -3 et n= -2
  Bouton qui renvoie à la page de connexion
  (1 vote)

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Prérequis

Le sujet traité

Rappel : Multiplier deux binômes

Factoriser un trinôme

Exemple 1 : Factoriser x2+5x+6‍

À vous !

Exemple 2 : Factoriser x2−5x+6‍

Exemple 3 : Factoriser x2−x−6‍

À retenir

À vous !

Justification

L'identité x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)‍

Une question

A quelles conditions peut-on utiliser cette méthode ?

Un dernier exercice

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Exemple 1 : Factoriser $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

Exemple 2 : Factoriser $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

Exemple 3 : Factoriser $x^{2} - x - 6$ ‍

L'identité $x^{2} + (m + n) x + m n = (x + m) (x + n)$ ‍