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3e année secondaire
Cours : 3e année secondaire > Chapitre 3
Leçon 2: Factorisation par groupements (somme et produit)- Factoriser un trinôme de la forme x² + bx + c
- Factoriser un trinôme lorsque le coefficient du terme du second degré est égal à 1 - deux exercices
- Exercices-type : Factoriser un trinôme du second degré de la forme x² + bx + c
- Factoriser un trinôme de la forme x² + bx + c - exemple 2
- Factoriser un trinôme lorsque le coefficient du terme du second degré est égal à 1 - une méthode
- Factoriser un trinôme de la forme x² + bx + c - autres exemples
- Factoriser un trinôme du second degré de la forme x² + bx + c
- Préambule à la méthode de factorisation d'un trinôme du second degré en décomposant le terme en x
- Factoriser un trinôme en décomposant le terme en x
- Factoriser un trinôme de la forme ax² + bx + c, où a ≠ 1, en décomposant le terme bx
- Factoriser un trinôme en décomposant le terme en x - exemple 1
- Factoriser un trinôme en décomposant le terme en x - exemple 2
- Factoriser un trinôme en décomposant le terme en x
- Exemple de factorisation d'un polynôme du 1er degré de 2 variables
Factoriser un trinôme lorsque le coefficient du terme du second degré est égal à 1 - une méthode
Comment écrire un trinôme de la forme x² + bx + c sous forme d'un produit de facteurs. Par exemple comment établir que x²+5x+6=(x+2)(x+3)
Rappel : Multiplier deux binômes
Soit le produit .
On applique la double distributivité de la multiplication sur l'addition.
Donc, .
Mais ce qui nous intéresse ici n'est pas de montrer que le produit de par est égal à . C'est l'opération inverse : en partant de , comment trouver les facteurs et
Factoriser un trinôme
Pour factoriser un trinôme de la forme , la méthode est de trouver les entiers dont la somme est le coefficient du terme en , c'est-à-dire et dont le produit est le terme constant, c'est-à-dire . Vous trouverez plus bas la justification de cette méthode.
On vient de voir que . On vérifie que et sont bien les entiers tels que et .
Voici un exemple.
Exemple 1 : Factoriser
Pour factoriser , on cherche les deux entiers dont le produit est le terme constant, c'est-à-dire , et dont la somme est le coefficient de , c'est-à-dire .
Les deux facteurs sont : et .
Et on peut écrire :
Pour vérifier, on calcule le produit des deux binômes :
Le produit de par est bien égal à .
À vous !
Voici d'autres exemples.
Exemple 2 : Factoriser
Pour factoriser , on cherche les deux entiers dont le produit est , et dont la somme est .
Les deux facteurs sont : et .
On obtient :
Une remarque : Les entiers qu'il fallait trouver pour factoriser sont tous les deux négatifs et . C'est normal puisque leur produit est positif alors que leur somme est négative.
C'est un résultat général : si est positif et négatif, les deux entiers qu'il faut trouver pour factoriser sont tous les deux négatifs.
Exemple 3 : Factoriser
Pour factoriser , on cherche les deux entiers dont le produit est , et dont la somme est .
Les deux facteurs sont : et .
On obtient :
Une remarque : L'un des entiers qu'il fallait trouver pour factoriser est négatif et l'autre est positif et . C'est normal puisque leur produit est négatif.
C'est un résultat général : si est négatif, les deux entiers qu'il faut trouver pour factoriser sont de signes contraires.
À retenir
Pour factoriser , on doit trouver les deux entiers dont le produit est et dont la somme est .
Si et sont les entiers tels que et , alors .
À vous !
Justification
On reprend l'exemple du trinôme .
Voici de nouveau le produit de par :
Le coefficient du terme en est la somme de et de , et le terme constant est le produit de par .
L'identité
Au lieu de calculer le produit , on calcule le produit :
Quel que soit ,
Et, dans l'autre sens : quel que soit ,
Quel que soit , est de la forme . Donc si les entiers et sont tels que et , alors
Une question
A quelles conditions peut-on utiliser cette méthode ?
Il faut que la factorisation du trinôme soit de la forme où et sont deux entiers.
Donc le coefficient de doit être , car si on effectue le produit , le coefficient de est égal à .
Mais cette condition ne suffit pas. Par exemple, il n'est pas possible d'utiliser cette méthode pour factoriser le trinôme , car il n'existe pas d'entiers dont la somme et le produit soient égaux à . Remarque : est un cas très particulier car vous verrez plus tard qu'il n'est pas possible par aucune méthode de factoriser ce trinôme dans l'ensemble des réels.
Nous verrons dans les prochaines leçons d'autres méthodes pour factoriser un trinôme.
Un dernier exercice
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- Y'aurait pas une erreur dans Exemple 3 x^2 - x + 6 au lieu de -6 ?(3 votes)
- Bonjour
Non si m= -3 et n= -2(1 vote)