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3e année secondaire

Cours : 3e année secondaire > Chapitre 3 

Leçon 1: Factorisation par mise en évidence d'un facteur commun
Mathématiques
3e année secondaire
Algèbre : Factorisation de polynômes et fractions rationnelles
Factorisation par mise en évidence d'un facteur commun
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Diviser un monôme par un autre monôme

Google Classroom
Comment obtenir la décomposition maximale d'un monôme et le facteur manquant dans la décomposition d'un monôme.

Les prérequis

Un monôme est une expression de la forme a, x, start superscript, n, end superscript ou a est un nombre réel et n un entier naturel. Exemple : 3, x, squared. Un polynôme est une somme algébrique de monômes. Exemple : 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.
Si A, equals, B, times, C, alors B et C sont des diviseurs de A, et A est divisible par B et par C. Reportez-vous éventuellement à la leçon Divisibilité d'un polynôme par un autre.

Le sujet traité

Dans cette leçon on va apprendre à décomposer un monôme en un produit de facteurs. Pour cela on va s'aider de ce que l'on sait déjà de la décomposition d'un entier en facteurs premiers.

Qu'est-ce que décomposer un monôme ?

Décomposer un monôme consiste à l'écrire sous forme d'un produit d'au moins deux monômes.
Voici, par exemple, plusieurs décompositions possibles du monôme 8, x, start superscript, 5, end superscript :
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, squared, right parenthesis, ×, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 8, x, right parenthesis, ×, left parenthesis, x, start superscript, 4, end superscript, right parenthesis
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, ×, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, ×, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, ×, left parenthesis, x, squared, right parenthesis
On peut vérifier qu'en effectuant les produits donnés on retrouve bien 8, x, start superscript, 5, end superscript.

Une question

On a demandé à trois élèves, André, Ahmed et Arthur de décomposer le monôme 20, x, start superscript, 6, end superscript en un produit de deux monômes. Voici leurs réponses :
AndréAhmedArthur
20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 10, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis, left parenthesis, 5, x, cubed, right parenthesis20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 20, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis
1) Quels sont ceux qui ont donné une réponse exacte ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

Décomposer un monôme au maximum

Rappel : décomposition d'un entier

Tout nombre entier peut se décomposer en un produit de facteurs premiers.
Par exemple 30, equals, 2, times, 3, times, 5.

Et maintenant les monômes...

Pour décomposer au maximum un monôme, on décompose le coefficient numérique en un produit de facteurs premiers ET on écrit la partie littérale sous forme d'un produit de facteurs d'exposant égal à1.
Par exemple pour trouver la décomposition maximale du monôme 10, x, cubed,on commence par décomposer le coefficient 10 en un produit de facteurs premiers 2, times, 5 puis on écrit x, cubed sous forme du produit x, times, x, times, x. Donc la décomposition maximale de 10, x, cubed est :
10, x, cubed, equals, 2, times, 5, times, x, times, x, times, x

À vous !

2) Lequel de ces produits est la décomposition maximale de 6, x, squared, question mark
Choisissez une seule réponse :

3) Lequel de ces produits est la décomposition maximale de 14, x, start superscript, 4, end superscript, question mark
Choisissez une seule réponse :

Retrouver le facteur manquant dans la décomposition d'un monôme

Rappel : décomposition d'un entier

On sait qu'un entier b vérifie 56, equals, 8, b. Comment trouver b, question mark
Tout simplement en divisant 56 par 8. On obtient b, equals, 7.

Et maintenant les monômes...

On peut faire la même chose avec les monômes. Si, par exemple, on sait que le monôme C, left parenthesis, x, right parenthesis est tel que 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, 4, x, cubed, ×, C, left parenthesis, x, right parenthesis on peut trouver C, left parenthesis, x, right parenthesis en divisant 8, x, start superscript, 5, end superscript par 4, x, cubed :
8x5=4x3×C(x)on divise les deux membres par 4x3:8x54x3=4x3×C(x)4x3on simplifie : 2x2=C(x)\begin{aligned}8x^5&=4x^3×C(x)\\ \\ \small{\gray{\text{on divise les deux membres par }4x^3 : }}\dfrac{8x^5}{4x^3}&=\dfrac{4x^3×C(x)}{4x^3}&\\ \\\\\\ \small{\gray{\text{on simplifie : }}}2x^2&=C(x)&& \end{aligned}
On vérifie en montrant que le produit de 4, x, cubed par 2, x, squared est bien égal à 8, x, start superscript, 5, end superscript.
(4x3)(2x2)=4×2×x3×x2=8x5\begin{aligned}(\purpleC{4}\tealD {x^3})(\purpleC{2}\tealD{x^2})&=\purpleC 4\times \purpleC{2}\times \tealD {x^3}\times \tealD{x^2}=\purpleC{8}\tealD{x^5} \end{aligned}

À vous !

4) Trouver le monôme B, left parenthesis, x, right parenthesis tel que :
28, x, start superscript, 5, end superscript, equals, 7, x, ×, B, left parenthesis, x, right parenthesis
Choisissez une seule réponse :

4) Trouver le monôme C, left parenthesis, x, right parenthesis tel que :
40, x, start superscript, 9, end superscript, equals, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis, ×, C, left parenthesis, x, right parenthesis
C, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Unicité de la décomposition maximale

Il existe plusieurs façons de décomposer 12 sous forme d'un produit de nombres entiers. En voici des exemples :
  • 12, equals, 2, times, 6
  • 12, equals, 3, times, 4
  • 12, equals, 12, times, 1
  • 12, equals, 2, times, 2, times, 3
Mais la décomposition de 12 en un produit de facteurs premiers est unique et c'est 2, times, 2, times, 3.
C'est la même chose pour les monômes. Il existe plusieurs façons de décomposer 18, x, cubed en un produit de monômes. En voici quelques exemples :
  • 18, x, cubed, equals, 2, times, 9, times, x, cubed
  • 18, x, cubed, equals, 3, times, 6, times, x, times, x, squared
  • 18, x, cubed, equals, 2, times, 3, times, 3, times, x, cubed
Mais il n'y a qu'une décomposition maximale !
18, x, cubed, equals, 2, times, 3, times, 3, times, x, times, x, times, x

Un dernier exercice

6) Trouver la décomposition maximale de 22, x, y, squared.
22, x, y, squared, equals

7) L'aire du rectangle est égale à 24, x, cubed mètres carrés et sa longueur est égale à 4, x, squared mètres.
Quelle est sa largeur l ?
l, equals

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