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3e année secondaire

Cours : 3e année secondaire > Chapitre 3

Leçon 5: Fractions rationnelles : Définitions et simplification

Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?

La définition. Les valeurs de la variable pour lesquelles une fraction rationnelle n'est pas définie.

Le sujet traité

C'est une première leçon sur les fractions rationnelles. On va voir comment trouver les valeurs de x pour lesquelles une fraction rationnelle n'est pas définie.

Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?

Un monôme est une expression de la forme a, x, start superscript, n, end superscript où a est un réel et n un entier et un polynôme est une somme de monômes.

Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Autrement dit, c'est une fraction dont le numérateur et la dénominateur sont des polynômes.

Voici trois exemples de fractions rationnelles :

start fraction, 1, divided by, x, end fraction
start fraction, x, plus, 5, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 4, end fraction
start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis, divided by, x, minus, 6, end fraction

Le numérateur peut être une constante et les polynômes peuvent être écrits sous diverses formes.

Les valeurs pour lesquelles une fraction rationnelle n'est pas définie

Soit la fraction rationnelle start fraction, 2, x, plus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction.

On peut calculer sa valeur pour différentes valeurs de x. Par exemple, quelle est sa valeur si start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd, space, question mark

\begin{aligned} \dfrac{2×\blueD{1}+3}{\blueD1-2} &= \dfrac{5}{-1} =\goldD{-5} \end{aligned}

Si start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd la fraction est égale à start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.

Et si start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd ?

\begin{aligned}\dfrac{2×\blueD{2}+3}{\blueD2-2} &= \dfrac{7}{0}\\ \\ &\text{la fraction }\goldD{\text{n'est pas définie !}} \\ \end{aligned}

Si x, equals, 2 alors le dénominateur de la fraction est égal à 0. On ne peut pas diviser par 0 donc la fraction n'est pas définie si start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd.

L'ensemble de définition d'une fraction rationnelle

L'ensemble de définition d'une expression est l'ensemble des valeurs de la variable pour lesquelles l'expression est définie.

Dans le cas d'une fraction rationnelle, c'est l'ensemble des valeurs de la variable pour lesquelles le dénominateur est différent de 0 car on ne peut pas diviser par 0.

Autrement dit, les seuls réels qui n'appartiennent pas à l'ensemble de définition d'une fraction rationnelle sont les réels qui annulent le dénominateur.

Exemple : L'ensemble de définition de start fraction, x, plus, 1, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, end fraction

On calcule les valeurs qui annulent le dénominateur :

\begin{aligned} (x-3)&(x+4)= 0 \\\\ \swarrow \quad&\quad \searrow \\\\ x-3=0 \quad &\text{ou} \quad x+4=0 \\\\ x = 3 \quad&\text{ou} \quad x=-4 \end{aligned}

Donc son ensemble de définition est l'ensemble des réels privé de start text, 3, end text et de start text, negative, 4, end text, ou tout réel tel que x, does not equal, 3, start text, space, e, t, space, end text, x, does not equal, 4

À vous !

Exercice 1

Quel est l'ensemble de définition de start fraction, x, plus, 1, divided by, x, minus, 7, end fraction question mark

(Choix A)
tout x réel tel que x, does not equal, minus, 7
(Choix B)
tout x réel tel que x, does not equal, minus, 1
(Choix C)
tout x réel tel que x, does not equal, 1
(Choix D)
tout x réel tel que x, does not equal, 7

Exercice 2

Quel est l'ensemble de définition de start fraction, 3, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 1, end fraction question mark

(Choix A)
tout x réel tel que x, does not equal, minus, 1
(Choix B)
tout x réel tel que x, does not equal, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
(Choix C)
tout x réel tel que x, does not equal, start fraction, 7, divided by, 3, end fraction
(Choix D)
tout x réel tel que x, does not equal, 7

Exercice 3

Quel est l'ensemble de définition de start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction question mark

(Choix A)
tout x réel tel que x, does not equal, minus, 1
(Choix B)
tout x réel tel que x, does not equal, 0
(Choix C)
tout x réel tel que x, does not equal, 0, start text, space, e, t, space, end text, x, does not equal, 1
(Choix D)
tout x réel tel que x, does not equal, 0, start text, space, e, t, space, end text, x, does not equal, minus, 1

Exercice 4

Quel est l'ensemble de définition de start fraction, x, minus, 3, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction question mark

(Choix A)
l'ensemble des réels
(Choix B)
tout x réel tel que x, does not equal, 3
(Choix C)
tout x réel tel que x, does not equal, 8
(Choix D)
tout x réel tel que x, does not equal, minus, 2, start text, space, e, t, space, end text, x, does not equal, 4

Exercice 5

Quel est l'ensemble de définition de start fraction, x, plus, 2, divided by, x, squared, plus, 4, end fraction question mark

(Choix A)
l'ensemble des réels
(Choix B)
tout x réel tel que x, does not equal, minus, 2
(Choix C)
tout x réel tel que x, does not equal, 2
(Choix D)
tout x réel tel que x, does not equal, plus minus, 2

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😊
Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de 😊 «j'ai pas compris le derni ... »
j'ai pas compris le dernier exemple
Bouton qui renvoie à la page de connexionCommentez le post de 😊 «j'ai pas compris le derni ... »
(1 vote)
Réponse
- Alex
  Posté il y a il y a 8 mois. Lien direct vers le message de Alex «x^2 est toujours positif ... »
  x^2 est toujours positif ou nul sur R et 4 est strictement supérieur à 0, donc x^2+4 est forcément supérieur à 0 et donc ne s'annule pas sur R.
  
  Si le dénominateur ne s'annule pas sur R, la fonction est définie partout et donc x peut prendre n'importe quelle valeur réelle.
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Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?

Les valeurs pour lesquelles une fraction rationnelle n'est pas définie

L'ensemble de définition d'une fraction rationnelle

Exemple : L'ensemble de définition de x+1(x−3)(x+4)\dfrac{x+1}{(x-3)(x+4)}(x−3)(x+4)x+1​start fraction, x, plus, 1, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, end fraction

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Exemple : L'ensemble de définition de start fraction, x, plus, 1, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, end fraction