If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

3e année secondaire

Cours : 3e année secondaire > Chapitre 3 

Leçon 5: Fractions rationnelles : Définitions et simplification
Mathématiques
3e année secondaire
Algèbre : Factorisation de polynômes et fractions rationnelles
Fractions rationnelles : Définitions et simplification
© 2023 Khan AcademyConditions d'utilisation (en anglais)Politique de confidentialitéUtilisation de cookies

Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?

Google Classroom
La définition. Les valeurs de la variable pour lesquelles une fraction rationnelle n'est pas définie.

Le sujet traité

C'est une première leçon sur les fractions rationnelles. On va voir comment trouver les valeurs de x pour lesquelles une fraction rationnelle n'est pas définie.

Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?

Un monôme est une expression de la forme a, x, start superscript, n, end superscript où a est un réel et n un entier et un polynôme est une somme de monômes.
Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Autrement dit, c'est une fraction dont le numérateur et la dénominateur sont des polynômes.
Voici trois exemples de fractions rationnelles :
  • start fraction, 1, divided by, x, end fraction
  • start fraction, x, plus, 5, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 4, end fraction
  • start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis, divided by, x, minus, 6, end fraction
Le numérateur peut être une constante et les polynômes peuvent être écrits sous diverses formes.

Les valeurs pour lesquelles une fraction rationnelle n'est pas définie

Soit la fraction rationnelle start fraction, 2, x, plus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction.
On peut calculer sa valeur pour différentes valeurs de x. Par exemple, quelle est sa valeur si start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd, space, question mark
2×1+31−2=5−1=−5\begin{aligned} \dfrac{2×\blueD{1}+3}{\blueD1-2} &= \dfrac{5}{-1} =\goldD{-5} \end{aligned}
Si start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd la fraction est égale à start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Et si start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd ?
2×2+32−2=70la fraction n’est pas deˊfinie !\begin{aligned}\dfrac{2×\blueD{2}+3}{\blueD2-2} &= \dfrac{7}{0}\\ \\ &\text{la fraction }\goldD{\text{n'est pas définie !}} \\ \end{aligned}
Si x, equals, 2 alors le dénominateur de la fraction est égal à 0. On ne peut pas diviser par 0 donc la fraction n'est pas définie si start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd.

L'ensemble de définition d'une fraction rationnelle

L'ensemble de définition d'une expression est l'ensemble des valeurs de la variable pour lesquelles l'expression est définie.
Dans le cas d'une fraction rationnelle, c'est l'ensemble des valeurs de la variable pour lesquelles le dénominateur est différent de 0 car on ne peut pas diviser par 0.
Autrement dit, les seuls réels qui n'appartiennent pas à l'ensemble de définition d'une fraction rationnelle sont les réels qui annulent le dénominateur.

Exemple : L'ensemble de définition de start fraction, x, plus, 1, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, end fraction

On calcule les valeurs qui annulent le dénominateur :
(x−3)(x+4)=0↙↘x−3=0oux+4=0x=3oux=−4\begin{aligned} (x-3)&(x+4)= 0 \\\\ \swarrow \quad&\quad \searrow \\\\ x-3=0 \quad &\text{ou} \quad x+4=0 \\\\ x = 3 \quad&\text{ou} \quad x=-4 \end{aligned}
Donc son ensemble de définition est l'ensemble des réels privé de start text, 3, end text et de start text, negative, 4, end text, ou tout réel tel que x, does not equal, 3, start text, space, e, t, space, end text, x, does not equal, 4

À vous !

Exercice 1
Quel est l'ensemble de définition de start fraction, x, plus, 1, divided by, x, minus, 7, end fraction question mark
Choisissez une seule réponse :

Exercice 2
Quel est l'ensemble de définition de start fraction, 3, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 1, end fraction question mark
Choisissez une seule réponse :

Exercice 3
Quel est l'ensemble de définition de start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction question mark
Choisissez une seule réponse :

Exercice 4
Quel est l'ensemble de définition de start fraction, x, minus, 3, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction question mark
Choisissez une seule réponse :

Exercice 5
Quel est l'ensemble de définition de start fraction, x, plus, 2, divided by, x, squared, plus, 4, end fraction question mark
Choisissez une seule réponse :

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Connectez-vous
  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur 😊
    Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de 😊 «j'ai pas compris le derni ... »
    j'ai pas compris le dernier exemple
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Alex
      Posté il y a il y a un an. Lien direct vers le message de Alex «x^2 est toujours positif ... »
      x^2 est toujours positif ou nul sur R et 4 est strictement supérieur à 0, donc x^2+4 est forcément supérieur à 0 et donc ne s'annule pas sur R.

      Si le dénominateur ne s'annule pas sur R, la fonction est définie partout et donc x peut prendre n'importe quelle valeur réelle.
      (2 votes)
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.