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3e année secondaire

Cours : 3e année secondaire > Chapitre 3

Leçon 5: Fractions rationnelles : Définitions et simplification

Simplifier une fraction rationnelle

Comment simplifier une fraction rationnelle.

Prérequis :

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Une fraction rationnelle n'est pas définie si son dénominateur est égal à 0.

Par exemple, l'ensemble de définition de la fraction rationnelle start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction est l'ensemble des réels privé de start text, negative, 1, end text. Autrement dit cette fraction est définie pour tout x, does not equal, minus, 1.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la simplification d'une fraction rationnelle.

Introduction

Une fraction rationnelle est simplifiée si son numérateur et son dénominateur n'ont pas de facteur commun.

La méthode pour simplifier une fraction rationnelle est analogue à la méthode utilisée pour simplifier une fraction numérique.

Par exemple, quand on simplifie start fraction, 6, divided by, 8, end fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par 2 et on obtient start fraction, 3, divided by, 4, end fraction.

$\begin{aligned} \dfrac68= \dfrac{2\times 3}{2\times 4}\small{\gray{\text{}}}= \dfrac{\tealD{\cancel{2}}\times 3}{\tealD{\cancel{2}}\times 4}\small{\gray{\text{}}} = \dfrac{3}{4} &&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}$

Exemple 1 - Simplifier start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction

1 - On factorise les deux termes de la fraction

Pour savoir si le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs, il faut les factoriser !

start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction, equals, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction

2 - On écrit les conditions

La factorisation du dénominateur permet de déterminer quelles sont les valeurs de x pour lesquelles la fraction n'est pas définie.

Les conditions sont start color #11accd, x, does not equal, 0, end color #11accd et start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 5, end color #aa87ff.

start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, x, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction

3 - On simplifie

On peut simplifier par x.

$\begin{aligned}\dfrac{\tealD x(x+3)}{\tealD x(x+5)}&=\dfrac{\tealD {\cancel {x}}(x+3)}{\tealD{\cancel x}(x+5)}=\dfrac{x+3}{x+5} \end{aligned}$

4 - La fraction simplifiée

La fraction rationnelle donnée existe si x, does not equal, 0 et x, does not equal, minus, 5. La fraction simplifiée existe aux mêmes conditions.

On doit écrire la condition x, does not equal, 0, mais il n'est pas nécessaire d'écrire la condition x, does not equal, minus, 5 car elle est "visible" puisque le dénominateur de la fraction simplifiée est x, plus, 5.
[explication]

La fraction simplifiée est :

start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction si x, does not equal, 0

Une remarque sur l'égalité de deux fractions rationnelles

Fraction rationnelle	$\quad$	Forme simplifiée
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction	$\quad$	start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction si x, does not equal, 0

Ces deux fractions rationnelles sont égales. Elles prennent la même valeur pour toute valeur de x pour laquelle elles sont définies.

	Fraction rationnelle	$\quad$	Fraction simplifiée
Valeur si start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff	$\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{2})^2+3×\purpleC{2}}{(\purpleC{2})^2+5×\purpleC{2}}&=\dfrac{10}{14}\\\\&=\dfrac{\purpleC{{2}}\times 5}{\purpleC{{2}}\times 7}\\\\&=\dfrac{\purpleC{\cancel{2}}\times 5}{\purpleC{\cancel{2}}\times 7}\\\\&=\dfrac{5}{7}\end{aligned}$		$\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{2}+3}{\purpleC{2}+5}&=\dfrac{5}{7}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\end{aligned}$
Remarque	On a simplifié par start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.		La fraction est déjà simplifiée car on a déjà simplifié par x left parenthesisc'est-à-dire ici par start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff, right parenthesis.

Les deux fractions doivent avoir la même valeur pour tout x. Mais que se passe-t-il si x est égal à l'une des valeurs pour lesquelles la fraction rationnelle donnée n'est pas définie. Par exemple, ici, si start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff.

	Fraction rationnelle	$\quad$	Fraction simplifiée
Valeur si start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff	$\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{0})^2+3×\purpleC{0}}{(\purpleC{0})^2+5×\purpleC{0}}&=\dfrac{0}{0}\\\\&=\text{}\end{aligned}$		$\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{0}+3}{\purpleC{0}+5}&=\dfrac{3}{5}\\\\\\\\&\phantom{\text{undefined}}\end{aligned}$

La fraction rationnelle donnée n'est définie que si x, does not equal, 0, donc on doit écrire la condition x, does not equal, 0.

Attention !

Dans la fraction ci-dessous, il ne faut pas céder à la tentation de simplifier par x, car le numérateur et le dénominateur sont des sommes et non des produits

start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10 space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction

Pour vous en persuader, on prend un exemple numérique. Si start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff :

start fraction, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 3, divided by, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction

On ne peut simplifier une fraction rationnelle que si son numérateur et son dénominateur sont des produits.

La marche à suivre

1 - On factorise le numérateur et le dénominateur.
2 - On écrit à quelles conditions la fraction rationnelle existe.
3- On simplifie par les facteurs communs.
4- On écrit les conditions devenues "invisibles" du fait de cette simplification.

À vous !

6) La fraction rationnelle start fraction, 6, x, plus, 20, divided by, 2, x, plus, 10, end fraction est égale à :

(Choix A)
3, x, plus, 2 si x, does not equal, 0
(Choix B)
4, x, plus, 10 si x, does not equal, 0
(Choix C)
start fraction, 3, x, plus, 10, divided by, x, plus, 5, end fraction
(Choix D)
start fraction, 3, x, plus, 20, divided by, x, plus, 10, end fraction

[J'ai besoin d'aide.]

2) Simplifier start fraction, x, cubed, minus, 3, x, squared, divided by, 4, x, squared, minus, 5, x, end fraction.

si x, does not equal

[J'ai besoin d'aide.]

Exemple 2 - Simplifier start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction

1 - On factorise les deux termes de la fraction

start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction

[comment obtient-on cette factorisation ?]

2 - On écrit les conditions

Les conditions sont start color #11accd, x, does not equal, minus, 2, end color #11accd et start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 3, end color #aa87ff.

start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #11accd, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end color #11accd, start color #aa87ff, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #aa87ff, end fraction

3 - On simplifie

On peut simplifier par start color #01a995, x, plus, 3, end color #01a995.

$\begin{aligned}\dfrac{(x-3)\tealD{(x+3)}}{(x+2)\tealD{(x+3)}}&=\dfrac{(x-3)\tealD{\cancel{(x+3)}}}{(x+2)\tealD{\cancel{(x+3)}}}=\dfrac{x-3}{x+2} \end{aligned}$

4 - La fraction simplifiée

La fraction simplifiée est :

start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction si x, does not equal, minus, 3

La fraction rationnelle donnée est définie si x, does not equal, minus, 2 et x, does not equal, minus, 3. On doit écrire la condition x, does not equal, minus, 3 mais il n'est pas nécessaire d'écrire la condition x, does not equal, minus, 2 car elle est "visible" puisque le dénominateur de la fraction simplifiée est x, plus, 2.

A vous !

3) Simplifier start fraction, x, squared, minus, 3, x, plus, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction.

(Choix A)
3, x, minus, 2
(Choix B)
start fraction, x, plus, 2, divided by, x, minus, 1, end fraction pour tout x, does not equal, minus, 1
(Choix C)
start fraction, x, minus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction pour tout x, does not equal, 1

[J'ai besoin d'aide.]

4) La fraction rationnelle start fraction, x, squared, minus, 2, x, minus, 15, divided by, x, squared, plus, x, minus, 6, end fraction est égale à :

si x, does not equal

[J'ai besoin d'aide.]

Et ensuite ?

La leçon suivante est : Simplifier une fraction rationnelle 2. Les simplifications à effectuer sont un peu plus difficiles.

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Priscarla MONDZO
Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de Priscarla MONDZO «Bonsoir, comment peut-on ... »
Bonsoir, comment peut-on simplifie f (x)= 8x(au carré)-10x +3
Sur 6x (au carré)-x -1
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(1 vote)
Réponse
- Smaug-le-Terrible
  Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de Smaug-le-Terrible «Du quel voulait tu parler ... »
  Du quel voulait tu parler? je suppose que c'est la dernière proposition, mais ce n'est pas très clair :
  - f(x) = 8x² - 10x + 3/(6x² - x - 1)
  - f(x) = 8x² - 10x + 3/(6x² - x) -1
  - f(x) = 8x² - 10x + 3/6x² - x - 1
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Nabid Syed
Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de Nabid Syed «pour l'ex 3 c'est pas plu ... »
pour l'ex 3 c'est pas plutot x ne doit pas etre egale a -1?
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Réponse
- mgdenizet
  Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «Vous avez mal lu le corri ... »
  Vous avez mal lu le corrigé de l'exercice 3.
  Il s'agit de trouver quelle est la fraction rationnelle plus simple égale à F(x)=(x²-3x+2)/(x²-1)
  F(x) n'est pas définie si x = 1 et si x = -1
  Quand on simplifie F(x), on obtient (x-2)/(x+1)
  Si x = 1, (x-2)/(x+1) N'EST PAS EGALE à F(x), puisque F(x) n'est pas définie pour x=1.
  C'est pour cela qu'il faut préciser que (x-2)(x+1) = F(x) à condition que x ≠ 1.
  Mais, bien sûr, Il est clair que ni l'une ni l'autre de ces deux fractions n'est définie si x = -1.
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Introduction

Exemple 1 - Simplifier x2+3xx2+5x\dfrac{x^2+3x}{x^2+5x}x2+5xx2+3x​start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction

Une remarque sur l'égalité de deux fractions rationnelles

Attention !

La marche à suivre

À vous !

Exemple 2 - Simplifier x2−9x2+5x+6\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6}x2+5x+6x2−9​start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction

A vous !

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Exemple 1 - Simplifier start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction

Exemple 2 - Simplifier start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction