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3e année secondaire
Cours : 3e année secondaire > Chapitre 3
Leçon 5: Fractions rationnelles : Définitions et simplification- Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?
- Pourquoi la division par zéro n'est-elle pas définie ?
- Division par zéro et fractions non définies
- Simplifier une fraction rationnelle en divisant ses deux termes par un monôme
- Simplifier une fraction rationnelle- déceler une erreur
- Simplifier une fraction rationnelle - 1
- Simplifier une fraction rationnelle : Les bases
- Simplifier une fraction rationnelle - 4
- Simplifier une fraction rationnelle
- Simplifier une fraction rationnelle - 2
- Simplifier une fraction rationnelle
- Simplifier une fraction rationnelle - 5
- Simplifier une fraction rationnelle - 3
- Des fractions dont le numérateur ou le dénominateur sont des fractions
- Des fractions dont le numérateur ou le dénominateur sont des fractions
Simplifier une fraction rationnelle : Les bases
Comment simplifier une fraction rationnelle.
Prérequis :
Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Une fraction rationnelle n'est pas définie si son dénominateur est égal à 0.
Par exemple, l'ensemble de définition de la fraction rationnelle start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction est l'ensemble des réels privé de start text, negative, 1, end text. Autrement dit cette fraction est définie pour tout x, does not equal, minus, 1.
Le sujet traité
Cette leçon porte sur la simplification d'une fraction rationnelle.
Introduction
Une fraction rationnelle est simplifiée si son numérateur et son dénominateur n'ont pas de facteur commun.
La méthode pour simplifier une fraction rationnelle est analogue à la méthode utilisée pour simplifier une fraction numérique.
Par exemple, quand on simplifie start fraction, 6, divided by, 8, end fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par 2 et on obtient start fraction, 3, divided by, 4, end fraction.
Exemple 1 - Simplifier start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction
1 - On factorise les deux termes de la fraction
Pour savoir si le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs, il faut les factoriser !
2 - On écrit les conditions
La factorisation du dénominateur permet de déterminer quelles sont les valeurs de x pour lesquelles la fraction n'est pas définie.
Les conditions sont start color #11accd, x, does not equal, 0, end color #11accd et start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 5, end color #aa87ff.
3 - On simplifie
On peut simplifier par x.
4 - La fraction simplifiée
La fraction rationnelle donnée existe si x, does not equal, 0 et x, does not equal, minus, 5. La fraction simplifiée existe aux mêmes conditions.
On doit écrire la condition x, does not equal, 0, mais il n'est pas nécessaire d'écrire la condition x, does not equal, minus, 5 car elle est "visible" puisque le dénominateur de la fraction simplifiée est x, plus, 5.
La fraction simplifiée est :
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction si x, does not equal, 0
Une remarque sur l'égalité de deux fractions rationnelles
Fraction rationnelle | Forme simplifiée | |
---|---|---|
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction | start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction si x, does not equal, 0 |
Ces deux fractions rationnelles sont égales. Elles prennent la même valeur pour toute valeur de x pour laquelle elles sont définies.
Fraction rationnelle | Fraction simplifiée | ||
---|---|---|---|
Valeur si start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff | |||
Remarque | On a simplifié par start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff. | La fraction est déjà simplifiée car on a déjà simplifié par x left parenthesisc'est-à-dire ici par start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff, right parenthesis. |
Les deux fractions doivent avoir la même valeur pour tout x. Mais que se passe-t-il si x est égal à l'une des valeurs pour lesquelles la fraction rationnelle donnée n'est pas définie. Par exemple, ici, si start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff.
Fraction rationnelle | Fraction simplifiée | ||
---|---|---|---|
Valeur si start color #aa87ff, x, equals, 0, end color #aa87ff |
La fraction rationnelle donnée n'est définie que si x, does not equal, 0, donc on doit écrire la condition x, does not equal, 0.
Attention !
Dans la fraction ci-dessous, il ne faut pas céder à la tentation de simplifier par x, car le numérateur et le dénominateur sont des sommes et non des produits
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10 space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Pour vous en persuader, on prend un exemple numérique. Si start color #aa87ff, x, equals, 2, end color #aa87ff :
start fraction, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 3, divided by, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, 5, end fraction, space, space, start color #e07d10, does not equal, end color #e07d10space, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
On ne peut simplifier une fraction rationnelle que si son numérateur et son dénominateur sont des produits.
La marche à suivre
- 1 - On factorise le numérateur et le dénominateur.
- 2 - On écrit à quelles conditions la fraction rationnelle existe.
- 3- On simplifie par les facteurs communs.
- 4- On écrit les conditions devenues "invisibles" du fait de cette simplification.
À vous !
Exemple 2 - Simplifier start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction
1 - On factorise les deux termes de la fraction
2 - On écrit les conditions
Les conditions sont start color #11accd, x, does not equal, minus, 2, end color #11accd et start color #aa87ff, x, does not equal, minus, 3, end color #aa87ff.
3 - On simplifie
On peut simplifier par start color #01a995, x, plus, 3, end color #01a995.
4 - La fraction simplifiée
La fraction simplifiée est :
start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction si x, does not equal, minus, 3
La fraction rationnelle donnée est définie si x, does not equal, minus, 2 et x, does not equal, minus, 3. On doit écrire la condition x, does not equal, minus, 3 mais il n'est pas nécessaire d'écrire la condition x, does not equal, minus, 2 car elle est "visible" puisque le dénominateur de la fraction simplifiée est x, plus, 2.
A vous !
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- Bonjour !
Je ne comprend pas comment, et quand, déterminer les conditions d'existence...On peut m'aider ?
Merci !(1 vote)- Bonjour,
Je pense que tu es perdue car il y a deux problèmes différents, avec ces conditions d'existence :
- D'une part, quand on étudie une fonction rationnelle (=donnée sous forme de fraction), celle-ci n'existe pas si son dénominateur est nul. On va toujours spécifier ses conditions d'existence, en rejetant les valeurs de x qui rendent son dénominateur nul.
- D'autre part, et c'est l'objet de cet article, tu peux "simplement" avoir envie de simplifier une fraction rationnelle, c'est à dire l'écrire sous une forme plus simple, mais avec ta fraction d'origine qui a toujours la même valeur que ta fraction simplifiée. Et ce "toujours" veut dire : pour toutes les valeurs de x.
Or, quand tu simplifies une fraction, tu fais disparaître du dénominateur un des facteurs. Et ce facteur peut être nul pour une certaine valeur de x (x=0 dans l'exemple 1, x=-3 dans l'exemple 2).
Comme il a disparu, dans la fraction simplifiée, tu dois spécifier que les deux fractions ne sont égales que si x est différent de ces valeurs-là : celles qui rendaient le dénominateur de la fraction d'origine nul, mais qui ne créent pas de problèmes avec la fraction simplifiée.
Si ce n'est toujours pas clair, relis bien le paragraphe accessible en cliquant sur "Explication" dans l'exemple 1, ou regarde cette vidéo : https://fr.khanacademy.org/math/3eme-annee-secondaire/xd903d14ae2b1276e:algebre-factorisation-de-polynomes-et-fractions-rationnelles/xd903d14ae2b1276e:fractions-rationnelles-definitions-et-simplification/v/simplifying-rational-expressions-introduction(3 votes)
- Bonsoir, comment peut-on simplifie f (x)= 8x(au carré)-10x +3
Sur 6x (au carré)-x -1(1 vote)- Du quel voulait tu parler? je suppose que c'est la dernière proposition, mais ce n'est pas très clair :
- f(x) = 8x² - 10x + 3/(6x² - x - 1)
- f(x) = 8x² - 10x + 3/(6x² - x) -1
- f(x) = 8x² - 10x + 3/6x² - x - 1(1 vote)
- pour l'ex 3 c'est pas plutot x ne doit pas etre egale a -1?(1 vote)
- Vous avez mal lu le corrigé de l'exercice 3.
Il s'agit de trouver quelle est la fraction rationnelle plus simple égale à F(x)=(x²-3x+2)/(x²-1)
F(x) n'est pas définie si x = 1 et si x = -1
Quand on simplifie F(x), on obtient (x-2)/(x+1)
Si x = 1, (x-2)/(x+1) N'EST PAS EGALE à F(x), puisque F(x) n'est pas définie pour x=1.
C'est pour cela qu'il faut préciser que (x-2)(x+1) = F(x) à condition que x ≠ 1.
Mais, bien sûr, Il est clair que ni l'une ni l'autre de ces deux fractions n'est définie si x = -1.(1 vote)