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Contenu principal

Divisibilité d'un polynôme par un autre

La divisibilité dans l'ensemble des polynômes.

Rappel

Un monôme est une expression de la forme axn ou a est un nombre réel et n un entier naturel. Exemple : 3x2. Un polynôme est une somme algébrique de monômes. Exemple : 3x2+6x1.

Le sujet traité

Dans cette leçon, on étudie les diviseurs et les multiples d'un polynôme et la méthode à utiliser pour établir si un polynôme est diviseur d'un autre polynôme.

Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des entiers

Soient les entiers a, b et c. Si c=a×b, alors a et b sont des diviseurs de c.
Par exemple, 14=2×7, donc 2 et 7 sont des diviseurs de 14.
L'entier a est divisible par l'entier b si le quotient de a par b est un entier.
Par exemple, 153=5 et 155=3, donc 15 est divisible par 3 et par 5. mais 94=2,25, donc 9 n'est pas divisible par 4.
Les relations "est diviseur de.." et "est divisible par ..." sont réciproques l'une de l'autre.
14=2×7 équivaut à 142=7, donc 2 est un diviseur de 14 équivaut à 14 est divisible par 2.
14=2×72 est un diviseur de 14142=714 est divisible par 2
Dans l'autre sens, 153=5 donc 15=3×5 peut se traduire par : 15 est divisible par 3, donc 3 est un diviseur de 15.
153=515 est divisible par 315=3×53 est un diviseur de 15
De façon générale : Si a est un diviseur de b, alors b est divisible par a, et réciproquement.

Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des polynômes

Tout ceci s'applique aux polynômes.
Soient les polynômes P, Q et R. Si P=Q×R, alors Q et R sont des diviseurs de P.
Par exemple, 2x(x+3)=2x2+6x. Donc 2x et x+3 sont des diviseurs de 2x2+6x.
Et un polynôme est divisible par un autre polynôme si le quotient du premier par le deuxième est un polynôme.
par exemple, 6x23x=2x et 6x22x=3x, donc 6x2 est divisible par 3x et par 2x. En revanche, 4x2x2=2x, donc 4x n'est pas divisible par 2x2.
Deux autres exemples :
2x×(x+3)=2x2+6x2x est un diviseur de 2x2+6x2x2+6x2x=x+32x2+6x est divisible par 2x
6x23x=2x6x2 est divisible par 3x3x×(2x)=6x23x est un diviseur de 6x2
De façon générale, si les polynômes P, Q et R sont tels que P=Q×R, alors
  • Q et R sont des diviseurs du polynôme P.
  • P est divisible par Q et par R.

À vous !

1) 3x(x+2)=3x2+6x, donc
x+2 est
3x2+6x, et 3x2+6x est
x+2.

2) Un professeur a écrit au tableau :
(3x2)×(4x)=12x3
Marin en a déduit que 3x2 est un diviseur de 12x3.
Judith en a déduit 12x3 est divisible par 4x.
Qui a raison ?
Choisissez une seule réponse :

Diviseurs d'un polynôme - Divisibilité d'un polynôme par un autre

Exemple 1 : 24x4 est-il divisible par 8x3?

Pour répondre à la question on simplifie le quotient 24x48x3. Si le résultat est un monôme, alors 24x4 est divisible par 8x3. Sinon, 24x4 n'est pas divisible par 8x3.
24x48x3=248×x4x3=3×x1aman=amn=3x
3x est un monôme, donc 24x4 est divisible par 8x3. Et 8x3 est un diviseur de 24x4.

Exemple 2 : 4x6 est-il un diviseur de 32x3 ?

Pour savoir si 4x6 est un diviseur de 32x3 on étudie si 32x3 est divisible par 4x6. Pour cela, on simplifie le quotient 32x34x6.
32x34x6=324×x3x6=8×x3aman=amn=8×1x3am=1am=8x3
8x3 n'est pas un monôme, donc 4x6 n'est pas un diviseur de 32x3.

A retenir

Pour établir si le polynôme P est divisible par le polynôme Q, ou ce qui revient au même si le polynôme Q est un diviseur du polynôme P, on étudie le quotient P(x)Q(x).
Si ce quotient est un polynôme, alors le polynôme P est divisible par le polynôme Q, et le polynôme Q est un diviseur du polynôme P

À vous !

3) 30x4 est-il divisible par 2x2?
Choisissez une seule réponse :

4) 12x2 est-il un diviseur de 6x?
Choisissez une seule réponse :

Un dernier exercice

5) Ces monômes sont-ils des diviseurs de 15x2y6?
diviseur
N'est pas un diviseur
3x2y5
5x
10x4y3

6) L'aire du rectangle de largeur x+1 cm et de longueur x+4 cm est égale à x2+5x+4 cm2.
Les diviseurs de x2+5x+4 sont :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Quel est l'intérêt de chercher les diviseurs d'un polynôme ?

La recherche des diviseurs d'un nombre entier est utile car elle a beaucoup d'applications et il en est de même avec les polynômes !
En particulier, elle est utile pour résoudre les équations du second degré et pour simplifier les fractions rationnelles.
Ceci est traité dans les leçons :
  • Résoudre une équation du second degré en factorisant
  • Simplifier une fraction rationnelle

Quelle est la prochaine leçon ?

Dans la prochaine leçon, nous étudierons comment diviser un monôme par un autre monôme.

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