Qu'est-ce qu'une racine cubique ?

alors dans les vidéos précédentes on s'est un petit peu familiarisé avec la notion de racine carrée donc maintenant on sait que par exemple dire que cette élevée au carré est égale à 49 ça c'est quelque chose qui est vraie cette élevée au carré c'est cette fois 7 et ça fait quarante neuf et bien cette relation là en fait elle est exactement équivalente à celle ci 7 est égal à racine carrée de 49,7 est égal à racine carrée voilà c'est de relation la disent exactement la même chose et on peut aller un petit peu plus grands on peut dire par exemple que ce racine carrée de 49 donc ça en fait c'est le nombre qu'il faut élever au carré pour avoir 49 et bien si je prends racine carrée de 49 et que je l'élève au carré eh bien ça ça me donne 49 voilà et plus en général si je prends un nombre x et si je prends sa racine carrée qu'ensuite je l'élève au carré et bien j'obtiens le nombre x lui même donc racine carrée 2x élevée au carré est égal à x a c'est vrai pour tous les nombreux x il faut quand même faire une petite restriction pour l'instant c'est que si on parle de nombreux réel en fait il faut que le nombre x qui est là ce nombre là ce soit un nombre positif ou nul positif ou nul positif ou nuls parce que en fait si je prends un nombre négatif que j'élève au carré j'obtiens quelque chose de positif donc pour l'instant quand on parle de nombreux réel prendre la racine carrée d'un nombre c'est possible seulement si ce nombre là est positif ou nuls tu verras que quand tu avanceras dans ta carrière mathématiques tu verras que c'est un petit peu différent rencontre d'autres types de nombre dont on peut prendre la racine carrée mais pour l'instant on va s'en tenir à ça donc la racine carrée d'un nombre ça existe si le nombre en question est positif ou nuls alors on peut faire un petit aparté aussi sur le vocabulaire pourquoi est-ce qu'on dise est élevée au carré et pourquoi est ce qu'on dit racine carrée et bien ça en fait ça vient de la géométrie est par exemple si je prends un carré je prends un quart et voilà je vais faire et c'est moi ça c'est un carré est pas très joliment fait mais c'est un carré et si je dis que c'est un carré de côté cette donc ce côté là vaut 7 pour longueur 7 et celui ci a pour l'ogre longueur c'est aussi et donc je sais que son maire pour tout l'air de ce carré ici et bien c'est cette fois 7 donc c'est cette élevée au carré s'est élevé aux caresses fait 49 donc tu vois que là on comprend pourquoi on dise est élevée au carré et bien c lire la forme carrée dont on calcule en fait l'air alors là on a pris un car et dont on connaissait la longueur du côté et on a calculé son air on peut faire l' inverse c'est à dire que si on prend un quart et je vais faire un carré voilà et si on sait que l'air de ce carré l'air de ce carré ici et bien c'est x en unités de mesures de surface et la question qu'on se pose c'est quelle est la longueur du côté de ce carré et bien en fait le côté de ce carré et bien ses racines carrées 2x donc ce côté à une longueur de racine carrée 2x et ce côté là aussi alors voilà ça c'est pour tout montrer et expliquer un petit peu d'où vient ce vocabulaire racine carrée est élevée au carré ça veut dire de cette forme là et justement ce côté géométriques père va permettre peut-être de comprendre un petit peu ce dont on va parler dans cette vidéo parce qu'on va pas parler de racine carrée ça on a fait déjà dans d'autres vidéos on va parler ici de racine cubique et en fait l'idée c'est que si tu prends un cube alors je vais dessiner un cube voilà je fais c'est de dessiner un cube rapidement voilà ça c'est un cube et on va dire que le saut kubla a pour coter de donc ce côté là à une longueur de 2 cela auteur aussi et puis ce côté là à une longueur de 2 aussi le volume de ce cube dont celle calculée ses deux occupants ces 2 x 2 x 2 ce qu'on dit comme ça c'est 2 élevé à la puissance 3 est aujourd'hui aussi deux élevés occupe justement parce que c'est lié au volume d'un cube alors de au cube évidemment ça ça fait 8 donc on sait que ce cube à un volume de 8 unités de mesure de volume et ici aussi on peut prendre le problème à l'envers c'est à dire se donner un cube on va prendre un cube dont on connaît le volume je dessine notre cube rapidement c'est pas très joli voilà et je sais que ce cube à un volume de 8 donc le volume ici c'est 8 la question que le conte fasse poser c'est qu'elle est le côté de ce cube donc quelle est la longueur de ce côté là par exemple ou de celui ci enfin ici c'est un cube donc toutes les tous les côtés ont la même longueur ce côté là à une longueur de x ce côté là aussi alors comment est ce qu'on peut faire mais ici on peut tout simplement se dire que le volume se sera x élevé à la puissance 3 1 x élevé à la puissance 3 est donc ce volume est égal à 8 donc on peut définir la longueur du côté de ce cube par cette relation là on sait que si j'élève ce côté ^ 3 donc xlv ^ 3 ou bien on dit aussi x au cube eh bien ça donne 8 ça c'est une manière de dire mais on peut aussi faire comme tout à l'heure avec le carré prendre la racine mais ici ça sera pas la racine carrée ça va être la racine cubique donc on peut dire ça aussi comme ça peut dire que x est égal à racine alors on va utiliser symbole racines de 8,6 j'utilise ce symbole comme ça eh bien ça va en fait des noter la racine carrée 1 donc pour différencier ça on va mettre un petit roi ici donc ici ça se lit x est égal à racine cubique de 8 et en fait ici le symbole racine carrée on devrait écrire comme ça avec un petit de ici pour dire que celle inverse du car est dit pour spécifier que c'est la racine carrée mais en fait quand il ya rien ici ça veut dire qu'on parle de la racine carrée en revanche pour la racine cubique il faut absolument mettre le 3 ici pour ne pas confondre avec la racine carrée et en fait ici c'est une manière de dire que le nombre x 6 jeux l'élève à la puissance 3 et bien j'obtiens 8 et c'est ça la racine cubique de 8 quelques exemples quand même pour appliquer tout ça si je cherche par exemple un nombre x qui est égale à la racine cubique de 27 racine cubique de 27 une autre manière de dire ça c'est que si je prends ce nombreux x que je l'élève ^ 3 eh bien je dois obtenir 27 donc si je prends un hic c'est que je multiplie trois fois par lui-même x x x x x eh bien j'ai obtient 27 donc là évidemment le nombre auquel on pense c'est 3 puisque trois élevé à la puissance 3 c'est 3 x 3 x 3 c'est à dire 27 donc x est égal à 3 alors je voudrais poser une question assez importante là maintenant pour comparer un petit peu la racine cubique et la racine carrée tout à l'heure on a dit qu'on peut prendre la racine carrée d'un nombre seulement si c'est un nombre positif ou nuls et ça c'est parce qu'un carré est toujours positif est ce que c'est la même chose avec la racine cubique autrement dit est-ce que par exemple je peux prendre la racine cubique de -64 est-ce que racine cubique de -64 existe donc on va réfléchir un petit peu à ça en supposant que c'est ça existe je vais appeler se trace in public de -64 x je l'appelle x et dire ça ça revient exactement au même que dire que moins 64 et bien c'est x élevé à la puissance 3 1 ça c'est vraiment la définition de la racine cubique donc il faudrait que je trouve un nombre élevé à la puissance 3 qui me donne ce -64 alors est ce que c'est possible est ce que c'est possible qu'un nombre élevé à la puissance 3 soit négatif en fait oui puisque si tu prends par exemple - 4 - 4 - 4 élevé à la puissance 3 c'est moins quatre fois moins quatre fois moins 4 - 4 fois moins quatre fois moins quatre mois quatre fois moins 4 ça fait 16 donc ça fait seize fois moins 4 et 16 fois moins quatre ça fait moins 64 donc effectivement on trouve un nombre c'est moins quatre dont le cube est égal à -64 ce qui veut dire que finalement on peut définir la racine cubique de -64 et on trouve que cette racine cubique cx égal moins quatre la racine cubique de -64 c'est moins 4 donc autant avec nos connaissances actuelles on peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif mais par contre on peut prendre la racine cubique d'un nombre négatif ça c'est vraiment une différence importante à comprendre donc maintenant tu connais les racines carrées tu connais les racines public et ses racines là ont une interprétation géométriques comme ça assez simple on pourrait imaginer tu rencontreras ça plus tard dans ta carrière mathématiques des racines quatrième des racines 5e et 1 ci dessus enfin pour l'instant on va pas en parler on peut faire une petite remarque quand même c'est que ici tu vois j'ai calculé la racine cubique de 27 j'ai trouvé que c'était 3 mais en fait c'est parce que je savais déjà que trois au cube était égal à 27 c'est pas toujours évident de faire ça donc par exemple si je te donne si je te demande de trouver la racine cubique 225 tu sais pas forcément le calcul est tout de suite donc comment est ce qu'on fait pour calculer une racine cubique c'est pas toujours simple il ya une manière de faire qui serait de décomposer le nombre en question donc par exemple dire que 125 ben c'est cinq fois 25 déjà et puis 25 c'est 5 fois 5 donc finalement en décomposant comme ça on voit que 125 c 5 x 5 x 5 donc ces 5 occupent donc finalement la racine cubique 225 c'est la racine cubique 2,5 au cube et ça évidemment basse et 5 puisque c'est le nombre qu'il faut élever au cube pour trouver 125 alors là en fait on a eu de la chance parce que ce nombre là était un cube donc on a pu l'exprimer comme ça mais en général il n'y a pas de moyen très simple de calculer la racine qui est public d'un nombre d'ailleurs c'est pareil pour la racine carrée c'est pas toujours facile de calculer une racine car elle est en fait il n'ya pas de moyens mécaniques qui marche dans tous les cas pour calculer une racine cubique ou une racine carrée