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3e année secondaire

Les exposants négatifs - ce qu'il faut retenir

La définition et comment l'appliquer.

Définition

Quel que soit

n

et quel que soit

x \neq 0

x^{- n}

est l'inverse de

x^{n}

x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}

La vidéo.

Exemples

$3^{- 5} = \frac{1}{3^{5}}$ ‍
$\frac{1}{2^{8}} = 2^{- 8}$ ‍
$y^{- 2} = \frac{1}{y^{2}}$ ‍
${(\frac{8}{6})}^{- 3} = {(\frac{6}{8})}^{3}$ ‍

Application

Exercice 1

Cocher la bonne réponse.

4^{- 3} = ?

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Cette définition est-elle cohérente avec la définition d'une puissance d'exposant positif ?

La réponse est "oui". Nous allons le montrer sur un exemple :

On considère la suite des puissances de $2$ ‍.

$n$ ‍	$2^{n}$ ‍
$3$ ‍	$2^{3} = 8$ ‍
$2$ ‍	$2^{2} = 4$ ‍
$1$ ‍	$2^{1} = 2$ ‍
$0$ ‍	$2^{0} = 1$ ‍
$- 1$ ‍	$2^{- 1} = \frac{1}{2}$ ‍
$- 2$ ‍	$2^{- 2} = \frac{1}{4}$ ‍

Chacun des termes de la suite est égal au quotient du terme précédent par

2

. Autrement dit pour passer d'un terme au suivant, on le divise par

2

. Par définition de

2^{n}

n > 0

, c'est vrai si

n

est strictement positif, Par définition

2^{0} = 1

, donc c'est vrai si

n = 0

. Et par définition de

x^{- n}

n > 0

, c'est vrai aussi si

n

est strictement négatif.

Est-elle cohérente avec les règles de calcul sur les puissances ?

\frac{x^{n}}{x^{m}} = x^{n - m}

. Voici un exemple ou

n - m

est négatif :

\begin{aligned} \frac{2^{2}}{2^{3}} & = 2^{2 - 3} \\ = 2^{- 1} \end{aligned}

Mais on peut calculer ce quotient directement :

\begin{aligned} \frac{2^{2}}{2^{3}} & = \frac{2 \times 2}{2 \times 2 \times 2} \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}

Et on retrouve bien que

2^{- 1} = \frac{1}{2}

x^{n} \times x^{m} = x^{n + m}

. Voici un exemple où

m

est négatif :

\begin{aligned} 2^{2} \times 2^{- 2} & = 2^{2 + (- 2)} \\ = 2^{0} \\ = 1 \end{aligned}

D'après la définition...

\begin{aligned} 2^{2} \times 2^{- 2} & = 2^{2} \times \frac{1}{2^{2}} \\ = \frac{2^{2}}{2^{2}} \\ = 1 \end{aligned}

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Anouar Mehdi
Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de Anouar Mehdi «additionner deux chiffres ... »
additionner deux chiffres de mème puissances négatives
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