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Un système de 3 équations à 3 inconnues qui n'a pas de solution

Où l'on montre pourquoi le système donné n'a pas de solution. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

combien de solutions le système suivant admet-il une seule aucune ou bien une infinité dans le système en question c'est celui ci donc tu vois c'est un système de trois équations linéaire avec trois inconnus x y et z donc là en fait ce qu'on va faire c'est essayer de résoudre ce système pour arriver finalement à quelque chose qui sera x égale y égal à égal donc ça c'est dans le cas où il ya une seule solution ou bien une autre possibilité c'est qu'on arrive à quelque chose d'absurde donc dans ce cas là on pourra conclure qu'il ya aucune solution et puis enfin dans le troisième cas on va arriver à une qualité toujours vrai et dans ce cas là on dira que le système à une infinité de solutions donc pour l'instant ce qu'on doit faire c'est résoudre ce système et tu te rappelles que il ya plusieurs techniques pour résoudre ce système là parce que je vais faire c'est résoudre ce système par combinaison donc je vais en fait essayer de combiner les différentes équation alors il ya plusieurs façons de faire ça la première se serait de combiner les deux première équation ces deux là je pourrais aussi combiner la deuxième et la troisième ou même la première et la troisième voie là c'est les trois façons de faire alors l'objectif quand on fait des combinaisons linéaire comme celle ci comme celle que je viens te donner c'est d'éliminer une des variables pour avoir une équation avec les deux variables restantes donc par exemple je peux essayer de combiner les deux premières c'est ce que je vais faire je vais essayer de combiner ces deux là la première et la deuxième et je vais faire une combinaison de ces deux équations là pour essayer d'éliminer l'inconnu x et donc pour remplacer la première équation par exemple par une équation équivalente mais dans laquelle il n'y aura plus que les deux inconnus y et z alors ici en fait ce que je vais faire c'est l'âge et 2x et en dans l'équation du dessous g 8 x donc ce qu'il faudrait faire c'est multiplier celle-ci par quelque chose multiplier la première équation par quelque chose pour avoir 1 8x issia lorsque je vais faire en fait c'est 4 fois la ligne 1 et puis je vais ensuite soustraire la ligne 2 donc je vais faire quatre fois la ligne 1 - la ligne de leur camp jeudi quatre fois la ligne 1 c'est que je dois x 4 toute cette équation là alors ça ça va me donner je vais l'écrire comme ça je vais multiplier par 4 toute la première équation donc ça me donne 4 x 2 x c'est-à-dire 8 x - 4 x 4 y donc moins 16 y +4 z égale 4 x 3 12 là j'ai vraiment réécrit cette équation l'art multipliant tout par quatre ensuite je vais écrire la deuxième donc moins 4 x plus y - deux aides égal moins 14 alors maintenant je vais continuer à travailler par combinaison à la place de la première équation ce que je vais faire c'est écrire la première - la deuxième comme ça je vais g 8 x ici et je vais en soustrayant les deux équations les 8 x vont s'annuler ici donc je vais faire ça alors je vais écrire ici la première équation celle-ci - celle-ci donc les 8 x - 8 x ça s'annule ensuite j'ai moins 16 y moins -2 y ça fait moins 16 y +2 y c'est à dire moins 14 y ensuite j'ai plus 15h56 z donc les aides vont s'annuler aussi ce qui est très pratique et donc j'obtiens -14 y à gauche du cygne égaler puis à droite 12 - 7 12 - 7 ça fait 5 donc je l'obtiens ça une égalité qui va me donner la valeur de y donc ça c'est ce que j'obtiens en faisant l1 - l2 ici première équation ensuite la deuxième je vais la réécrire tel quel 8x -2 y +4 z égale 7 et puis en dessous la troisième je leur ai écrit aussi sans rien changer - 2 aide égale moins 14 voilà alors je continue ici je vais réécrire la première équation qui est très pratique elle me donne la valeur de y donc y est égal à 5 / - 14 ça c'est une première chose et puis ensuite je vais réécrire la deuxième sans rien changer 8x - 2 y plus quatre z égal 7 voilà et puis la troisième je vais la réécrire mais en fait en gardant la même idée en tête que tout à l'heure c'est à dire que je vais essayer de combiner la deuxième et la troisième est quoi si on maintenant donc ces deux là ces deux ici et de manière à éliminer la variable x alors pour faire ça je vais commencer déjà par réécrire la troisième équation aux multipliant par deux comme ça ici j'aurais moins 8 x et donc je pourrais additionner ensuite la deuxième et la troisième équation donc pour l'instant je fais ça je vais multiplier la troisième équation par deux donc je vais obtenir moins 8 x + 2 y ensuite moins de z32 donc moins quatre z égal moins 14 fois 2 c'est-à-dire moins 28 - 28 voilà alors là peut-être que tu vois ce qui se passe en fait ici on a deux équations qui sont absolument incompatibles mais si tu veux on va voir un peu plus loin parce que ça représente ici en fait je vais pouvoir donc réécrire la première équation c'est y égal 5 / - 14 ça c'est la valeur de y la deuxième je vais la réécrire tel quel 8x -2 y +4 z égale 7 et puis la troisième je vais la remplacer par la deuxième de plus la troisième alors quand je fais ça plus à terme à terme g 8 x - 8 x qui s'annulent si tu veux je peux l'écrire comme ça quand je fais la première plus la deuxième j'obtiens 8x - 8 x ça fait zéro x ensuite -2 y + 2 y ça fait zéro y ensuite plus qu'à 13 - quatre z ça fait zéro z et de l'autre côté jet set -28 7 - 28 ça fait moins 21 donc ici ce que j'obtiens en fait c'est cette équation la zéro x + 0 y -0 z égales - 21 mai tout ce qui est ici là à gauche du signe égal ça fait zéro donc j'obtiens cette équation la zéro égales - 21 ca c absolument impossible 0 n'est évidemment pas égal à -21 donc tu vois que en travaillant par combinaison notre système on arrive à un système qui contient une équation impossible et ça ça veut dire que ce système là n'a aucune solution donc la réponse c'est ça de systèmes suivants n'admet aucune solution