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3e année secondaire
Cours : 3e année secondaire > Chapitre 8
Leçon 2: Résolution par élimination d'une variable (combinaison d'équations)- Les cupcakes du roi : résoudre un système par addition
- Un système d'équations et deux balances
- Résoudre un système d'équations par addition
- Additionner ou soustraire deux équations membre à membre
- Comment résoudre un système du 1er degré par addition - un exemple simple
- Résoudre un système d'équations par élimination
- Système d'équations par combinaison (somme et différence de nombres)
- Résoudre un système par la méthode d'élimination
- Résoudre un système d'équations par élimination
- Combien de paquets de chips les invités mangeront-ils ?
- Résoudre par élimination le système 6x-6y=-24 et -5x-5y=-60
- Résoudre un système du 1er degré par élimination - un exemple simple
- Résoudre un système d'équation : procédure par élimination
- Résoudre par élimination le système 4x-2y=5 et 2x-y=2.5
- Résoudre par élimination le système 2x-y=14 et -6x+3y=-42
- Encore un exemple de résolution d'un système d'équations linéaires par élimination
- Comment résoudre un système du 1er degré par élimination
- Résoudre un système d'équations par addition 2
- Résoudre un système d'équations par addition ou combinaison
Résoudre un système d'équations par élimination
La méthode expliquée à travers de nombreux exemples.
L'objet de cette leçon est la résolution d'un système par addition.
Notion clé : Si deux égalités sont vraies, l'égalité obtenue en les additionnant membre à membre est vraie. De même l'égalité obtenue en les soustrayant membre à membre est vraie.
Ces deux égalités sont vraies :
L'égalité obtenue en les additionnant membre à membre est vraie aussi :
ainsi que l'égalité obtenue en les soustrayant membre à membre :
Il est vrai aussi que si deux équations ont la même solution, alors l'équation obtenue en les additionnant membre à membre a aussi la même solution.
C'est sur cette propriété des égalités que repose la résolution s'un système par addition.
Résoudre un système d'équation par addition
Soit à résoudre le système :
La difficulté est qu'il y a deux inconnues.
Si on additionne les deux équations membre à membre, on obtient une équation où la seule inconnue est . Le principe est que l'on obtient un système équivalent en remplaçant l'une des deux équations du système par cette équation d'inconnue .
On la résout :
Le système donné équivaut au système dont les équations sont et . On en déduit que :
Le couple solution du système est .
Le cas où il faut d'abord remplacer l'une des équations par une équation équivalente pour pouvoir appliquer cette méthode
Il n'est pas toujours vrai qu'il suffit d'additionner ou de soustraire les deux équations données pour obtenir une équation comportant une seule inconnue.
Soit le système :
Ici, il ne servirait à rien d'additionne les deux équations membre à membre. Voici la marche à suivre dans un tel cas :
On obtient une équation équivalente à la deuxième équation en multipliant ses deux membres par :
On additionne membre à membre la première équation et cette nouvelle équation :
On résout cette équation :
On en déduit la valeur de :
Le couple solution est .
Le cas où il faut d'abord remplacer les deux équations par des équations équivalentes pour pouvoir appliquer cette méthode
Parfois il faut multiplier par une constante les deux membres de chacune des équations du système .
Soit le système :
Voici la méthode :
On multiplie les deux membres de la première équation par une constante bien choisie, et les deux membres de la deuxième équation par une autre constante bien choisie. Puis on applique la méthode.
On soustrait les deux équations membre à membre :
On en déduit la valeur de :
Le couple solution est .
À vous !
Un dernier exercice
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