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La méthode de substitution

Apprendre à résoudre un système d'équations. Créés par Sal Khan et Monterey Institute for Technology and Education.

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Transcription de la vidéo

la mère ted a monté trois étages heures dans ta chambre vous allez faire les travaux ensemble et vous commencé à planifier le travail donc vous avez une plaque en bois de 4 m une première info 4 mètres que vous allez découpée en trois morceaux pour faire vos trois étagères alors ensuite on te donne des infos sur la taille des différentes étagères relativement par rapport aux autres donc laitages heures dues aux étagères duo fait la moitié de la taille de l'étagère du milieu et l'étagère du bas est un peu compliqué la l'étagère du bas doivent faire 20 cm de moins que trois fois la longueur de l'étagère duo trois fois la longueur de l'étagère duo donc on a trois en formation le fait qu'au total on a 4 m de bois que l'état leur duo fait la moitié de la taille de l'état joueurs du milieu et l'étagère du bas fait 20 cm 2 mois que trois fois la longueur de laitages heures durant à voir comment on met ça mathématiquement ce sera plus clair et donc on te demande évidemment quelle doit être la longueur de chaque état j'erre sachant qu'on veut utiliser toute la plaque ok on veut pas gâcher du bois on veut tout faire alors d sinon d'abord faisant un petit dessin pour se représenter le problème on a trois étagères que je vais représenter ainsi l'état gère 1 qui aura une longueur h on va dire que c'est h pour les nageurs du haut donc ça c'est longueur de l'étagère duo et ensuite on a une étagère au milieu de longues heures m longueur de l'étagère du milieu et finalement on a une étagère en bas on va représenter comme ça et on va poser b comme la longueur de cette étagère la longueur de l'étagère du bas donc on a trois inconnus on a une étagère en haut une étagère au milieu une étagère en bas chacune avec sa propre longueur et il s'agit maintenant de mettre ces trois informations qu'on a à disposition salle en jaune c'est l'envers et salon bleu sous forme d'équations mathématiques on aura trois équations trois inconnus donc ce sera possible de résoudre le tout alors la première équation qu'on nous donne enfin la première information qu'on le donne et complète sous forme d'équation c'est que on a 4 m de bois et qu'on l'utilisent complètement clair on utilise toute la plaque de quatre mètres et donc la longueur de laitages ardue au plus celle de l'étagère du milieu plus celle de l'étagère du bas au total on devra avoir 4 mètres de longueur donc ça ça nous fait une première équation le fait que la longueur h+ la longueur m plus la longueur b soit égal à 4 m deuxième information au vert on nous dit que l'état gère duo doit faire la moitié de la taille de l'étagère du milieu qu'est ce que cela veut dire ça veut dire que h doit être la moitié de m donc h et flers à anvers h est égal à m divisés par deux voici la deuxième information et finalement troisième information bleus l'étagère du bas doit être 20 cm plus court que trois fois la longueur de l'étagère duo alors l'étagère du bas b est égal à combien ça fait trois fois la longueur de l'étagère duo donc trois fois h 3 x h et auxquels je dois retirer 20 cm et ses 20 cm plus court que trois fois la longueur de l'état georgio 3 h - 02 voilà la longueur de l'étagère du bas et on a donc maintenant un système d'équations de trois équations avec trois inconnus et on va voir qu'en faisant deux substitutions un peu intelligemment on va facilement pouvoir résoudre cela on peut facilement mettre h&b en fonction de l'étagère du milieu car déjà on sait que h est égal à m sur deux donc dans la première équation on pourra remplacer h par m sur 2 on pourra injecter ce m sur 2 à la place de h ici maintenant ce qui serait bien c'est aussi d'avoir b en fonctions de m hé bé en fonctions de m nous donnerait une équation où il n'y aurait que m comme inconnue m sur 2 + m plus l'expression de bep en fonctions de m est égal à 4 alors le problème c'est qu'on a b en fonction de h ici comme obtenir b en fonctions de m eh bien il suffit d'injecter l'expression de hache en fonctions de m ici et on aura paix en fonctions de m voilà donc allons-y réécrivons b b est égal à 3 h - 0,2 donc trois fois m sur 2 - 0 2002 et cette expression de paie en fonction de m vu que ça c'est la même chose que b on peut l'injecter ici dans la première équation est la première équation serait écrit donc un 6ème sur deux qui est la longueur de l'état georgio plus m qui est la longueur de l'étagère du milieu plus 3/2 de m - 0,2 ça c'est la longueur de l'étagère du bas tout cela est égal à 4 et maintenant je n'ai plus qu'à résoudre cette équation qui n'a qu'une seule inconnue mgm sur 2 + 3 demi de m ça me donne quatre demies de m donc de m2m plus m fonds 3ème alors en tout à gauche g 3m -0 2 est égal à 4 donc en additionnant 0,2 de chaque côté j'obtiens 3 m est égal à 4,2 donc m est égal à 4,2 divisé par trois au moins est ce qu'on fait cette opération 4,2 c'est la même chose que trois plus 1,2 3 / 3 1 auxquels j'ajoute 1,2 / 3 qui fait 0,4 et cela donne 1,4 ça veut dire que l'état gère du milieu fait 1,4 m maintenant pour connaître la hauteur de la longueur pardon de l'étagère duo il suffit de faire h est égal à m / 2 on sait qu'elle fait la moitié de la taille de l'état georgio et donc ça fait 0,7 les tasers duo fait 07 m on va compléter sa sur le plan d'ailleurs pour planifier les travaux on sait que cette étagère fera 70 cm du coup on sait que cet étage heures au milieu fait 140 cm et il nous reste plus qu'à connaître la longueur de l'étagère b b est égal à 3 x 70 cm donc trois fois 0,7 m - 0,2 m cela donne 2,1 m - 0,2 soit 1,9 m à 1,9 m ça c'est l'étagère du bas et 1,9 m c'est la même chose que 190 cm donc l'étagère du bas on va l'écrire ici fait 190 cm ça y est on a résolu notre problème alors on va vérifier si ça marche bien par rapport à toutes les informations qu'on nous a donnée est ce que la taille de toutes les étagères donc si on additionne toutes les longueurs et ce qu'on utilise bien tout le bois donc tous les quatre mètres sans 90 + 140 fonds 330 330 plus 70 400 oui on a bien 400 cm donc 4 m de bois complètement utilisé ici est ce que l'état leur duo fait la moitié de laitages heures du milieu oui 70 c'est bien la moitié de 140 est ce que l'état gère du bas et 20 cm plus court que trois fois la longueur de l'état leur duo vérifions trois fois la longueur de l'étagère duo ça fait 210 cm - 20 cm effectivement ça fait 190 cm on a réussi à trouver la solution qui satisfait toutes les contraintes