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Résolution d'un système par substitution

. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va apprendre une méthode algébrique pour résoudre des systèmes d'équations alors regardons un exemple de systèmes d'équations première équation x + 2 y est égal à 9 2e équation que je vais écrire en verre 3x plus inquiet break était ya l'avant bon comme lors de la dernière vidéo on aurait pu utiliser une méthode graphique pour trouver la solution de ce système en traçant de droite chacune représentant une des deux équations et l'intersection des deux droites les coordonnées de cette intersection serait la solution de ces systèmes d'équations bon c'est pas toujours la méthode de la plus pratique déjà ça prend du temps à faire et en plus l'intersection de deux droites n'est pas toujours facile à lire très exactement donc une méthode algébrique on va d'abord apprendre la méthode par substitution il a deux méthodes la méthode par substitution et la méthode par élimination maintenant on va regarder en quoi consiste la méthode par substitution alors le principe de cette méthode c'est d'abord d'exprimer une inconnue en fonction d'une autre par exemple x en fonction du deuil y écrire x est égale à une expression en fonction de y ensuite d'injecter cette expression de x dans la 2ème équation est comme ça on obtiendra une seule équation avec une seule inconnue y qu'on saura résoudre bond en avant en quoi ça consiste on va prendre cette équation et on va manipuler cette équation de sorte à isoler l'inconnu x isolé x donc à la fin on aimerait obtenir une équation qui ressemble à x est égale à une expression où il n'y aurait que y dedans il faut simplement soustraire deux y des deux côtés de l'équation ne sorte à l'annuler ici est un as le comme mondial e basculer de l'autre côté de l'équation et on obtient x est égal à 9 -2 idrac cette expression est très utile on va s'en souvenir on va l'encadrer on va bien s'en souvenir que x est égal à 9 - 2 y comment est-ce qu'on va utiliser cette information est bien on va l'injecter dans la deuxième et collations c'est à dire que ce x on va le remplacer par cette expression 2x en fonction d'eux y est on aura que du y dans cette équation est donc on sera là résoudre c'est résoudre une une équation avec une seule inconnue donc allons-y 3 x x mais on ne va pas écrire x on va écrire l'expression 2x en fonction d'eux y +5 y est égal à 20 allons-y on va développer cette expression trois fois neuf 27 - 2 x 3 - 6/10 bac +5 y est égal à 20 hockey à partir de là on est des experts on sait très bien comment faire ce genre de choses on va d'abord s'occuper des y ici 27 - 6 y +5 direct - 6 y +5 y est égal à moins y est égal à 20 et ensuite on va soustraire à 27 des deux côtés pour obtenir moins y est égal à 20 - 27 qui font moins 7 maintenant on va x moins un des deux côtés et on obtient y est égal à 7 ça y est on a déjà réussi à trouver une des deux inconnus maintenant cette expression 2x en fonction du y que je t'ai demandé de garder en mémoire on va la réutiliser une fois de plus cette fois pour trouver x justement maintenant qu'on connaît y on peut le remplacer par cette convient de trouver et on obtiendra x facilement donc allons-y x est égal à 9 - deux îles grecques mais au lieu des ferries grecs maintenant je vais gers est parce que je connais y donc moins deux fois 7 ce qui donne un x d'été gala 9 - 14 donc x est égal à moins 5 bien bien x est égal à -5 et maintenant ce qui nous reste à faire c'est de vérifier que moins 5,7 et bien solution de ce système d'équations vérifier qu'on n'a pas fait d'erreur alors allons-y remplaçons x et y par moins 5 et 7 dans chacune des équations et vérifions bien que ça marche moins 5 + 2 x 7 est égal à -5 plus 14 et 14 - 5 font bien neuf c'est bon on a vérifié la première équation deuxième équation est ce que 3 x + 5 y font 20 quand on remplace x par moins 5 et 7 allons-y trois fois moins 5 + 5 x 7 5 x 7 est ce que ça fait bien 20 au final vérifions trois fois moins 5 pour moins 15 + 5 x 7 qui font 35 + 35 oui c'est bien égal à 20 victoires c'est bon on a trouvé la solution de ce système d'équations il s'agit bien de du couple - cinq sets bien je te propose maintenant d'utiliser ce nouveau savoir faire dans un problème on va utiliser la méthode par substitution pour résoudre le problème suivant qui dit que la somme de deux nombres la somme de deux nombres et 70 et leurs différences leurs différences donc la soustraction de l'un par l'autre leurs différences et de onze j'imagine que tu as deviné la question quelles sont ces deux nombres quelles sont ces deux nombres bon pour résoudre ce problème il faut d'abord poser des inconnus qui sont les deux noms bronchard justement donc soit x soit x et y les deux noms mais tel que y est plus grand que x on va on va identifier le plus grand des deux pour bien pouvoir écrire cette deuxième information qui dit que leurs différences et de onze donc soit x le nombre le plus petit et soit y le nombre le plus grand il s'agit maintenant de traduire ces mots en d'expression mathématiques la somme de 7 nombre est de 70 comment est-ce qu'on va écrire cela la somme des deux nombres donc la somme de x et de idrac est égale à 70 leurs différences et de 11 donc y est le plus grand nombre - x qui est le plus petit nombre y le plus grand nombre - x qui est le plus petit nombre doit donner 11 voilà notre système d'équations et on va utiliser la méthode par substitution pour le résoudre donc en quoi consistait cette méthode elle consiste à mettre une inconnue en fonction d'une autre et ensuite d'injecter cette expression de l'inconnu dans l'autre équation donc allons-y ici mettons y en fonction de x6 ont réécrit hydriques en fonction de x on obtient y est égale à 11 + 6 on a additionné x de chaque côté de l'équation qu'est mettons cette expression de y en mémoire et injectons là ici c'est là qu'on comprend pourquoi ça s'appelle la méthode par substitution c'est parce qu'on va substituer y ici par son expression en fonction de l'x et on va se retrouver avec une équation qui ressemble à x plus 11 + 6 on va pas écrire est vrai qu'on va écrire 11 + 6 est égale à 70 et là on se retrouve avec une équation à une seule inconnue qu'on s'est ré bien résoudre x + x 2 x + 11 est égale à 70 on va soustraire 11 de chaque côté on obtient 2 x est égale à 50 9 et on va diviser par deux de chaque côté combien font 59 divisé par deux ça fait 25 + 4 et demi 29 et de 8,29 et me voilà donc x est égal à 29.5 on a trouvé la première inconnue et maintenant on va injecter x ici dans l'expression de y en fonction de x ce qui nous donnera très directement y donc on sait que y est égale à 11 +6 et maintenant qu'on connaît x on va pouvoir écrire 29,5 au lieu de x donc y est égal à 40 points 5/11 +25 font 45 et voilà on a trouvé y on vérifie effectivement est ce que la somme de ses deux nombres fait bien 70 45 + 25 fonds 69 auquel on ajoute les deux de deux fois 0.5 donc oui ça fait bien soixante dix on a bien une somme de 70 est-ce que leur différence fait bien 11 45 - 29.5 oui ça fait bien 11 c'est bon on a réussi à résoudre ce problème