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Factoriser un trinôme en décomposant le terme en x - exemple 1

Factoriser une expression polynomiale

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va continuer à factoriser des polynômes du second degré et là on va avoir quelques techniques qui permettent de factoriser des polynômes et on va se concentrer dans cette vidéo sur des polynômes dont le premier coefficient n'est pas un pour l'instant on va toujours travaillé sur des polynômes avec un premier coefficient égal à 1 mais là on va factoriser par exemple un polynôme de ce genre là on va dire par exemple ça 4x au carré plus 25 x - 21 voilà alors ces différentes ce qu'on a fait dans les autres vidéos parce que dans les autres vidéos c'était toujours ramené au cas où le coefficient était égale à 1 an factories en omettant aux facteurs voilà alors que là on peut pas faire de cette manière là donc on va être obligé de faire autrement et on va revoir une technique ici qui consiste à regrouper différemment l'expression qu'on a ici alors un bon tu vas voir cette technique là elle va te paraître un petit peu obsolète peut-être après une fois que tu auras vu les les formules discriminant et autres mais c'est quand même utile de la connaître alors là je vais d'abord l'appliquer l'appliquer vraiment pour que tu vois un peu comment ça se passe et puis après à la fin de la vidéo jeux on verra pourquoi ça marche de cette manière là alors là ce qu'on va faire c'est commencer par trouver deux nombres a et b dont le produit à x b sera égal au produit de ces deux termes là quatre fois moins 21 donc à fois on va chercher de nombre a et b tel que à x b est égal à quatre fois moins 21 voilà quatre fois mains de -21 ça fait moins 84 donc on va chercher deux noms dont le produit fait moins 84 et puis la somme de ces deux mêmes nombres a + b c'est leur somme ça doit être égale à ce coefficient là à 25 alors donc pour être clair je cherche de nombre a et b tel que à x b c'est égal au produit de ces deux coefficient ici 4 et -21 il faut faire attention à bien prendre le signe - et puis la somme sera égal à ce coefficient la des termes en x voilà qu'on retrouve ici alors maintenant ben je vais du coup faire un petit peu comme j'avais fait dans les autres vidéos c'est à dire que je vais chercher du coup les factorisation 84 alors on en a une qui est déjà ici un 4 2 84 c 4 x 21 et apparemment 4 x 21 ça semble pouvoir marcher puisque si on prendra également 4 et et beghal 21 la somme fera 25 mais bon je fais attention aux signes le produit c'est moins 84 1 c'est pas 84 donc il faut tenir compte des signes et si je fais 4 + - 21 ce qui serait ici je prends à égal 4 et beghal -21 faut que je fasse 4 + 20 - 21 c'est à dire 4 points vainqueur ça fait moins 17 ça marche pas je peux aussi regarder les signes inverse donc si je fais moins 4 + 21 ça va faire 10 est donc ça marchera pas non plus donc cette factorisation la marche pas on va regarder les autres donc comme tout comme dans les autres vidéos on va par exemple écrire que 84 c'est une une c'est un x 84 donc sacem deux facteurs possibles je vais regarder avec les signaux poser un donc je vais écrire ça comme ça plus ou moins et moins +84 pour montrer que ce les cimes doivent être posées donc si je fais le produit ça va marcher mais si je fais la somme 1 - 84 ça fait moins 83 ça marche pas et -1 +84 ça fait moins 83 ça marche pas non plus alors maintenant je vais regarder une deuxième factorisation alors la deuxième possible c'est 84 c divisible par deux donc je vais avoir un facteur 2 et donc 84 divisé par deux sa fait 42 donc là je me retrouve avec ses possibilités là + ou - 2 et - ou plus 42 si je fais deux mois 42 ça fait moins 40 ça marche pas s'il fait moins de plus 42 ça fait quarante ça marche pas non plus donc je vais regarder un autre facteur possible alors 84 c divisible par trois parce que 8 + 4 ça fait douze qui est divisée par 3 donc je vais avoir une possibilité de factoriser par trop de décrire 84 comme trois fois quelque chose alors pour trouver ce qui est ici qu'on doit mettre ici je vais faire la division 84 divisée par 3 alors dans huit combien de fois je peux mettre 3 2 x 3 ça fait 6 donc je me retrouve avec 8 - 6 6 6 2 ja baisse le 4 et j'ai 24 et là dans 24 combien de fois je peux mettre trois exactement huit fois donc finalement on marque trois fois 28 ça fait 84 donc le terme que je dois mettre ici c'est 28 alors là j'ai donc les possibilités plus ou moins trois ep - pardon - et +28 ça c'est peut-être pas mal hein parce que on a si je fais moins 3 + 28 - 3 +28 ça fait 28 mois 3 ça fait vingt-cinq donc ça cette possibilité-là -3 et 28 marche donc je vais gommer les signes qui nous gêne c'est moins 3 et plus 28 - 3 et 28 donc cette possibilité-là bon à égal moins 3 et beghal 28 ça va marcher alors maintenant la sq comment je vais utiliser cette cette information là bas je vais tout simplement réécrire sa comme ses 25,6 à je vais l'écrire com - 3 x + 28 x en fait même je vais les et que je vais l'écrire comme ça 28 x - 3 x voilà ça c'est ce sont mes 25 x du dessus et puis bon bien sûr j'ai aussi ici 4x au carré et puis -21 qui sont toujours là évidemment alors bon tu vas me dire mais pourquoi est ce que tu as écrit ça de cette manière là 28 x ici et moi 3x ici comment est-ce que tu as choisi de de les mettre dans cet ordre là et pas dans l'autre bon salaire d'une question bête mais ça ne l'est pas parce que c'est important effectivement j'ai pas choisi ça au hasard même si j'aurais pu écrire ça dans l'autre en disant moi 3x plus 28 ticks ça aurait rien changé en fait à l'expression mais c'est important pour ce qu'on va faire par la suite parce qu'en fait ici 4 et 28 ils sont tous les deux divisible par quatre donc je vais pouvoir mettre quatre ans facteur est la 3 et 21 sont tous des deux divisible par 3 donc je vais pouvoir aussi factoriser quelque chose ici je vais pouvoir factoriser 3 voilà alors bon maintenant je vais continuer je vais du coup regrouper ces termes là donc je vais écrire je vais y aller petit à petit ça je vais écrire que ces 4 x au carré plus 28 ticks et puis plus ici je vais mettre des parenthèses pour que ce soit clair on veut changer de couleur plus ici - 3 x - 21 voilà alors là dans cette faille dans cette parenthèse orange je peux factoriser 4 c'est ce que je disais tout à l'heure donc ce je vais le faire ici je peux mettre factoriser en fait 4 x parce que ici j'ai 4 x au carré et là j'ai 28 x donc ces deux termes là sont divisibles par 4 x donc je vais m 4 x en facteur 4 x là je vais avoir du coup x simplement puisque j'ai 4 x o car est divisé par 4 x ça fait x me reste x et puis ici 28 x / 4 x il reste 28 / 4 ça fait 7 et x / x a fait un taux qui reste cette voie là l'ag factoriser la première parenthèse orange et maintenant je vais factoriser là quelque chose dans cette deuxième parenthèse en fait qu'est-ce que je peux faire ici je peux mettre trois entrants facteur puisque moi 3 x sera divisible par trois et -21 sera divisé par 3 aussi donc je commette trois facteurs et en fait je peux même être moins 3 1 comme ça je me débarrasser de ces signes donc plus moins trois facteurs de alors ici j'ai moins 3 x / - 3 il me reste x et puis là - 21 / - 3 donc moins divisé par mois ça fait plus et y restent 21 / 3 ça fait donc plus cette voie là là j'ai donc ici j'ai factoriser ça je peux simplifier un petit peu ici parce que j'ai plus - 3 ça je vais pouvoir l'écrire com - 3 1 tout simplement donc je vais gommer ça je verrai écrire ça comme ça donc j'ai du coup obtenu cette expression l'a4 et x factor 2x plus est moins trois facteurs de x + 7 alors là il ya peut-être quelque chose qui saute aux yeux c'est que on a un facteur comme un facteur commun cx +7 puisque ici dans ce terme là j'ai cette parenthèse ici x plus est que je retrouve ici dans ce deuxième terme là donc je vais pouvoir factoriser ce x + 7 alors bon peut-être que tu as pas tellement l'habitude de factoriser des parenthèses tu peux très bien te dire que ça x plus est c'est un terme qu'on appelle à ici comme ça par exemple et qu'on retrouve ici aussi donc finalement on a 4 x x granta moins trois fois grand tas et à ce moment là tu peux factoriser le grand talent comme si c'était une expression plus simple mais bon on peut le faire directement factories en tout de suite la parenthèse exclu ce set alors c'est ce que je vais faire ici je vais donc écrire x + 7 facteurs de j'ouvre la parenthèse alors dans le premier terme de cette soustraction ici il va me rester 4x simplement donc j'ai 4 x ici dans cette parenthèse et puis dans le deuxième terme ce que je dois garder c'est simplement mon à 3 voilà et l'âge obtient 7 factorisation si je redéveloppe je peux retrouver cette expression là est ensuite remonté donc ça va ça marche voilà bien là on a terminée puisqu'on a factoriser notre expression de départ 4 x o car est plus 1,5 x - 21 c'est égal à cette expression x plus cette fois 4 x -3 et ça c'est le produit deux binômes donc c'est une factorisation de notre polynôme du second degré voilà on va en faire encore un pour que ce soit clair alors je vais effacer ça alors cette fois ci on va factoriser ce paulino ne me l'a par exemple 6 x au carré plus 7 x + 1 alors on va faire exactement comme tout à l'heure on va chercher d'abord deux nombres a et b dont le produit ce sera le produit de ce coefficient la part ce coefficient là donc ça sera égal à 6 x 1 c'est-à-dire assistons qu'on cherche de nombre dans le produit fait 6 et la somme doit être égale à ce coefficient là donc on doit avoir que a + b c'est égal à 7 alors bon là c'est un peu plus facile que tout à l'heure il ya un peu moins de travail pour trouver le nombre a et b parce que là en fait on peut voir tout de suite que cette factorisation là elle marche parce que si on prend six foire l'obtient 6 pour le produit marche et si on prend 6 + 1 ça marche ça fait 7 donc voilà immédiatement on peut dire que le nombre à égal à 1 si on écrit à égal à 1 et b égale à 6 ça marche bon je vais pas le faire que je vais pas l'écrire comme ça on va juste en conclure que les nombres qui marche c'est ainsi 500 décider qui est qui qui est recchi et b on doit on va prendre cette de nombreux là alors maintenant on va faire comme leur on va dégroupés ce terme 7x en utilisant 1 et 6 alors je vais commencer par écrire mon 6x au carré qui est ici et puis là je vais prendre passé 7x complet mais je vais utiliser cette cette décomposition en utilisant ces de nombreux là alors ici qu'est ce que en fait je vais pouvoir écrire que j'écris 6 1 7 6 c'est 6 x + x 6 x plus un mix ou alors un x + 6 x à voilà c'est maintenant c'est ça que je vais que je vais devoir décider est-ce que je prends d'abord est ce que j'écris d'abord un x ici ou 6 x ici en fait je vais d'abord écrire 6 x parce que comme ça je vais avoir un facteur commun dans ces deux termes la 6 x au carré et 6x sur un facteur commun qui est 6 x et puis du coup après je vais écrire mon mon x qui me reste moins x + 1 pour être clermont 6 x je les prie de là et mon 1 x jeu les prix d'ici alors maintenant je vais continuer je vais factoriser ici ce que je peux factoriser donc là 6x carey + 6 x mettre les parenthèses dans là dedans je peux factoriser 6x et je vais avoir d'abord 6 x o car est divisé par 6 x 2 saint pie x et puis 6 x / 6 x a fait 1 voilà donc j'ai 6 x x x + 1 ça c'est cette première parenthèse ici la voilà ensuite je vais factoriser la deuxième celle qui est là alors ici j'ai un x + 1 on peut le voir comme ça on peut se dire bon je vais factoriser un maître en facteur ce1 et donc je vais avoir un foie ici il me reste un mythe / 1 ça fait x + 1 / 1 ça fait un don qu'il me reste x + 1 et là comme tout à l'heure je vois apparaître un facteur commun qui est ce ce terme là cette parenthèse la x + 1 et donc je vais la mettre en facteur en faisant la démarche inverse de ce qu on fait quand on utilise la distribution vite et je vais d distribuer ce facteur là donc je vais écrire maintenant alors x plus un facteur 2 dans la parenthèse je vais avoir ici dans ce terme là il va me rester 6x et puis là il va me rester plus voilà et là j'ai terminé ma factorisation c'était beaucoup plus rapide que tout à l'heure mon paulino 6,6 au carré +76 plus un jeu peu le factoriser de cette manière la cx plus un facteur de 6 x + 1 voilà alors maintenant on va essayer de comprendre pourquoi ça marche pourquoi cette technique la marche donc pour ça je vais prendre les choses à l'envers comme j'avais fait dans les autres vidéos je vais multiplier deux binômes du deux binômes oui c'est ça du premier degré donc par exemple j'ai multiplié ce binôme là à x + b dont je vais pas prendre les lettres a et b parce que on les a déjà utilisé ici donc je vais prendre des lettres complètement différente je vais prendre sellette la f x plus j'ai ça c'est mon premier binôme x h x + jj ici parce que l'être qui traditionnellement elle est réservée pour autre chose alors attention à la ici x c'est la variable fgh egis sont des nombres ce sont des nombres fixe je les ai appelés comme ça parce que je travaille de manière complètement général mais ce sont des nombres et la seule variable cx alors je vais développer ce produit donc je fais d'abord le produit de ce terme là par le produit de ce terme là donc j'ai ffx x h x ça fait f h xo carré plus fx fois j cf j x plus ce terme là j'ai x h x donc plus hg x plus le les deux termes constants le produit des deux termes constants donc plus g j voilà alors là ça je peux le réécrire en disant que ça me fait f h x x carré plus f j alors là je peux factoriser x donc je vais avoir f j + h g x x plus g j'y vois là alors à partir de ça je peux par comparaison avec un polynôme je peux me dire bon ben je vais prendre comme à ce nombre là ici ça c'est à ekom b ce nombre là voilà donc là je vais avoir a + b ça va être f j + h g et avec ces deux termes là maintenant je vais regarder ce qu'est ce que vaut le produit donc à x b à x b ici ça fait f j x h g et ça je peux supprimer les parenthèses il ré écrire différemment en changeant l'ordre des thermes et ça me fait f/h fois j'ai jfh fois gj là j'ai rien changé j'ai juste écrit dans un ordre différent pourquoi parce que comme ça ça me fait apparaître les coefficients ici fhc le coefficient de dxo carré et gj c'est les termes constance les termes constants qui l'ont retrouve ici donc effectivement là on voit bien que ça marche puisque si je prends à égal à f j -b égal à hg donc je vais avoir la somme qui fait le coefficient dx est ce qu'on a fait ici la somme a plus baissé ça faisait le coefficient des x et puis le produit c'était le produit du coefficient 2 x au karibe par le terme constant donc c'est ce qu'on a ici aussi f/h fois gj bon voilà maintenant on comprend mieux pourquoi ça marche alors là on va continuer on va faire quelque chose d'un petit peu différent quelque chose qui sera qui devrait peut-être faire l'objet d'une prochaine vidéo verhaeren quelque chose d'assez important mais on va le faire rapidement ici bon je vais séparer saab je vais essayer de factoriser ce polynôme la moins x au cube plus 17 x au carré - 70 x voilà bon alors là tu vas dire bon mais ça c'est pas possible j'ai jamais fait une chose pareille il s'est même pas polynôme du second degré ce un polynôme de degré 3 donc je peux pas faire ça mais bon il faut garder la tête froide et se dire mais qu'est ce que je peux faire déjà avec une expression de ce genre là est en fête premier réflexe qu'on doit avoir c'est regarder s'il ya des choses qu'on peut factoriser et là on peut voir que x occupent 17 x au carré et 70 x les trois termes trop fade sont divisibles par x donc on peut factoriser x ici en fait on peut même factoriser comme il ya un moins ici on va factoriser moins 6 alors je vais faire moins 6 alors là je vais avoir -6 occupe / - x ça fait x au carré +17 xo carey / - x ça fait moins alors moins 17 x donc là j'enlève le plus et je mets moins 17 x et puis moins 70 x / - x ça fait plus 70 voilà et donc là dans la parenthèse on a un polynôme 2° 2 et en plus son coefficient dxo caresser un donc c'est quelque chose qu'on sait faire on a déjà vu ce genre de choses et là on peut peut-être aller assez vite et on peut se dire bon recherche de nombre a et b dans le produit fait 70 et si je prends moins 10 et -7 le produit fera bien 70 ce maudit soit -7 ça fait 70 et la somme doit faire moins 17 donc si je fais moins dix mois cette je trouve bien moins 17 donc ça c'est ça ça marche c'est de nombreux la marche avec un peu d'habitude on les trouve assez facilement et puis du coup je vais pouvoir factoriser cette parenthèse la herray et l'écrire de cette manière là donc la parenthèse sera x moins dix jeux les facs je vais là factoriser comme ça avec les noms que j'ai trouvé x mon 10 x x - 7 et bien sûr il faut pas oublier le terme qu'on a devant donc mon polynôme de degré 3 - x au cube plus 17 x o car est moins 70 x il est équivalent à ceux polynôme la moins x x x 10 x x - cette voie là alors l'idée générale qui est derrière ce qu'on vient de faire ici c'est que quand on a une expression la première chose qu'il faut faire c'est essayer de factoriser le plus de choses possibles et puis de se ramener à quelque chose qu'on connaît qu'on sait faire c'est ce qu'on a fait ici on est arrivé à un polynôme 2° deux qu'on savait factoriser voilà