Factoriser un trinôme de la forme x² + bx + c - autres exemples

gse polinum du deuxième degré x carey +10 ticks +9 imagine que j'aimerais factoriser ce polinum ça pourrait me servir par exemple à trouver les racines du polinum mais de nous occupons pas de ça pour l'instant pour l'instant occupons nous de l'étape où on aimerait écrire ce polynôme sous cette forme là x + m x x + haine ou msn sont deux nombres et j'aimerais avoir m et n tels que il y à une équivalence entre x car et +10 ticks +9 et x + m x x plus saines alors développons cette expression par double distributive it et pour repérer le lien entre msn etc ces facteurs là dix et neuf alors allons-y donc j'obtiens x carré plus n x x + m x x + m x n ici j'ai un n x + m x donc mon expression au final et x carré plus m plus elle le to x x + m n donc là par identification on peut leur père et le lien on ax carrés à gauche ce qu'il ya à droite pour l'instant c'est la même chose on a 10 x qui est la même chose que m plus saines x x donc cela veut dire que m plus saine est égal à 10 m plus elle est égale à ce facteur là et une fois de plus par identification on am x n qui est égal à 9 ce dernier terme m x n est égal à 9 donc je dois trouver m&m tels que la somme de mnm and then 10 et le produit 2 mn me donne neuf alors essayons avec des nombres entiers pour voir si on peut simplement résoudre résoudre cela donc quels produits de nos deux nombres entiers fait neuf j'ai deux choix g soit 3 fois 3 c'est égal à 9 soit 1 x 9 et eyal à 9 donc j'ai deux possibilités pour avoir une fois inégal neuf c'est 3 et 3 ou 1 et 9 mai il ya que un couple mn qui nous donne même plus elle est égale à 10 parmi ces deux là et c'est 1 et 9 donc 3 x 3 et 3 ça ne marche pas parce que trois +3 me donne 6 par contre 1 et 9 ça marche parce que 1 x 9 est égal à 9 et 1 + 9 est égal à 10 donc ça marche et je peut réécrire cette expression là donc la réponse à cet exercice c'est que x qui a ré +10 ticks +9 est égal à x + m donc on peut choisir entre 1 et 9 celui qu'on veut on va dire un x + 1 x x + 9 et tu peux vérifier que ça marche effectivement si on redéveloppe sa part double distributive it et on obtient x car et plus cela fixe + 6 donc plus 10 x + 1 x 9 c'est à dire neuf oui c'est bon ça marche c'est la bonne réponse alors qu'est ce qu'on a appris ici on a appris à faire une chose c'est que c'est quoi la leçon finalement qu on peut généraliser c'est que lorsqu'on a un polynôme du second degré sous sa forme générale ax qui a ré plus bx plus sait on sait qu'on peut le mettre sous la forme x + m x x plus saines ou en fait on est dans un cas particulier ou à est égal à 1 donc on va s'intéresser à ces cas particuliers pour l'instant et c'est facile d'obtenir à partir d'un cas général un cas ou à est égal à 1 simplement en factories ans part à mes attachons-nous pour l'instant assez exemple ou à est égal à 1 en suisse que samedi ici c'est que je dois trouver m&m tels que ce bébé est égale à la somme de mn et ce c est égal au produit de m et n et ça on a vu qu'on peut avoir une méthode assez rapide pour le faire lorsque m et n son entier m heene sont des entier parce que dans le cas où amène ne sont pas des entier et bien cette méthode n'est pas assez efficace parce qu'il y aurait beaucoup trop de possibilités de multiplication et étudier ici comme tu le vois si je devais étudié par exemple 4 5 fois 2 ou d'autres possibilités pour obtenir neuf ça me prendrait beaucoup trop de temps d'appliquer pour appliquer cette méthode donc cette méthode on pourrait dire que c'est une méthode exprès pour facteurs isère un polynôme assez simple ou alors à est égal à 1 et on peut facilement trouver deux entiers tels que la somme de mes deux entier me donne ce facteur là est le produit de mes deux entier me donne ce facteur là si tu arrives à trouver deux entiers comme ça c'est bon tu as gagné tu as réussi à factoriser le polynôme plus tard on étudiera évidemment comment s'intéresser à des cas plus compliqués où on n'arrive pas à trouver ces deux entiers facilement mais si tu arrives à les trouver facilement ben tu as maintenant accès tu as maintenant un outil qui te permet de factoriser des polynômes de manière ultra rapide et maintenant on va se regarder quelques exemples pour que tu puisses t'entraîner premier exemple x carey +15 6 + 50 comment est ce que je peux factoriser cette expression je sais d'après ce que j'ai appris précédemment que je cherche deux entiers tels que la somme de ses deux entiers mesdames 15 et le produit de ces deux mêmes sentiers me donne 50 alors qu'elle produit 2,2 entier d'un 50 il ya un x 52 x 25 et 5 x 10 voilà je pense que c'est exhaustif maintenant je dois voir quel couple ici me donne une somme de 15 ans donc un plus 50 ça marche pas sa plainte 51,2 +25 ça ne marche pas ça notre 27 par contre 5 plus disent oui effectivement ça me donne 15 donc il semble il me semble que x carey +15 6 + 50 est égal à x + 5 x x + 10 vérifions si ça marche effectivement si je re développe cela par double distributive it et j'obtiens x car et plus 10 x + 5 x donc plus qu'à 11 x + 5 x 10 c'est à dire 50 c'est bon j'ai trouvé la réponse alors l'exemple d'après et là j'ai un facteur négatif donc ça va peut-être me compliquer les choses mais pour l'instant impliquant d'autres méthodes systématiquement tu vas voir ça va marcher je cherche de nombres m&m tels que m plus saine est égal à -11 et à mme x n est égal à 24 réfléchi aux signes de m et de haine comment est ce que je peux obtenir un produit positif de deux nombres et une somme négative de ces deux mêmes nombres et bien il faut obligatoirement que ces deux noms soient négatifs pourquoi car un produit positive ne peut être obtenue que par un produit de deux nombres positif ou de non négatif et la somme de 2 nombre positif ne peut pas être négatif c'est évident donc mn sont tous les deux négatif donc voyons quels produits de deux nombres négatifs donne moins 24 on a le plus évident moins 1 fois moins 24 on a moins deux fois moins 12 ça donne bien 24 on a moins trois fois moins 8 ça marche aussi et on a moins quatre fois moins six ça y est je les ai tous faits maintenant on doit trouver parmi ces couples de deux nombres entiers lesquelles me donne enfin lequel me donne une somme de -11 alors moins en moins 24 ça donne moins 25 ça marche pas - 2 - 12 ça me donne moins 14 ça ne marche toujours pas - troyes - 8 là oui ça me donne moins 11 donc c'est bon ma réponse est ici regardons quand même -4 et -6 ça donne moins 10 donc on est très proche de -11 nous on n'y est pas donc il y à un couple qui marche c'est celui là est donc xk rémois 11x +24 peut être réécrit en 6x -3 le tout x x moins vite et on peut vérifier une fois de plus il faut toujours vérifier sa réponse si on redéveloppe ça on obtient bien ex carré -8 6 - 3 x donc c'est bien moins 11 x + 24 car moins trois fois moins 8 me donne plus 24 troisième exemple et là je me permet d'aller un peu plus vite pour que tu te rendes compte en fait à quel point cette méthode est rapide gx carré + 5 x - 14 donc je sais que je dois avoir un produit de deux nombres qui me fait moins 14 et pour ça l'un des deux nombres entiers de être négatif et l'autre positif j'ai quoi comme possibilités g - 1 x 14 qui marche mais j'ai aussi moins 14 fois je dois faire attention le moins peut être te peut être appliquée aux aux uns ou aux 14es sinon j'ai deux autres possibilités j'ai moins deux fois 7 qui est aussi égal à faire attention en cette fois deux ça marche aussi donc j'ai quatre possibilités en tout quatre couples éligible mais il faut un couple dont la somme des deux nombres fait 5 alors allons-y - en plus 14 13 non moins 14 +1 -13 non moins 2 + 7 oui ça me donne 5 alors que -7 plus de me donne moins 5 mais moi je veux plus 5 et donc je peux factoriser x carré +56 -14 ainsi c'est égal à x - 2 x x + 7 effectivement quand on redéveloppe s'adonne x car et +7 6 points 2 x donc plus 5x plus cette fois moins deux qui font bien moins 14 et dernière exemple x carré - x -56 comment est-ce que je factory ça alors pour moi la réponse est presque aux yeux en fait moins 56 ça fait moins cette fois 8 ou moins huit fois cette et pourquoi j'ai pris ces deux couples en priorité c'est parce que je les ai sentis en tutti vivement qu'il me fallait quelque chose ou les deux les deux nombres entiers sont très proches pour me donner cette somme de -1 et c'est moins sept plus suite ça me donne +1 donc ça ne marche pas et en fait il s'agit de - 8 + 7 qui va effectivement me donner moins un est un produit de -56 donc c'est bon j'ai trouvé la solution on peut écrire x carré - x -56 comme x - 8 x x + 7 une fois de plus tu peux vérifier que si on redéveloppe cette expression on obtient bien celle ci