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Factoriser un trinôme en décomposant le terme en x - exemple 2

Factoriser une expression polynomiale

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo tu vas apprendre la méthode des groupements qui est une méthode bien plus puissante que ce qu'on a vu dans l'est dans les dernières vidéos pour factoriser un polynôme 2° deux parce que maintenant on va pouvoir s'attaquer à des polynômes 2° 2 dont le coefficient 2 x carré est différent de 1 voilà la nouveauté donc c'est beaucoup plus général on va pouvoir résoudre beaucoup plus de problèmes maintenant de ce jour là alors factories ont cette expression là d'abord ça nous donne envie de factoriser par cinq pourquoi parce qu'on voit que 35 cents et moins qu'un sont tous des multiples 2,5 donc allons-y faisons d'abord cette étape 35 exclurait plus en x -15 est égal à cinq facteurs deux sets 6/4 et plus 20 x - 3 effectivement cette fois 5 35 20 x 500 et moins trois fois 5 ça fait moins 15 alors maintenant on obtient ce polynôme 2° 2 à l'intérieur de la parenthèse dont le coefficient 2 x carré est différent de 1 donc on va devoir adopter une méthode un peu différente de celle d'avant et je vais te donner d'abord la méthode à appliquer systématiquement lorsque tu as affaire à ce genre de cas et ensuite je vais t'expliquer comment ça se fait que cette méthode marche parce que tu verras que c'est un peu mystérieux au début lorsqu'on l'a parachute comme ça de nulle part alors mais je vais d'abord la parachuter et je vais te dire que le but d'hab le premier premier objectif de cet exercice est de trouver deux nombres a et b tel que leur somme tels que leur somme est égal à 20 leur somme est égal à ce coefficient là et leur produit est égal au produit de ses deux co efficience est égal à 7 fois moins trois c'est-à-dire moins 21 et si tu arrives à trouver c2c de nombres entiers qui vérifie a + b est égal à 20 et à x b est égal à -21 est mature a résolu une grande partie du problème alors je te conseille de faire poser d'essayer de les trouver ces deux nombres maintenant je vais te le dire il y avait un moyen très facile de le trouver intuitivement on aimerait avoir un produit qu'ils fassent 21 est qui et qui soit 21 fois moins 1 là tu vois que si tu fais 21 fois moins 1 2 tient bien moins 21 et la somme fera 20 21 fois moins un est égal à -21 est effectivement 21 plus - 1 donc la somme de ces deux nombres donne bien vains on pouvait trouver ça de manière assez intuitive donc voilà les deux nombres qui m'intéresse c'est 21 et -1 qu'est ce que je vais en faire de 21 et de -1 et ben je verrais rhin 20x de manière un peu différente je vais l'écrire en tant que 21 x - x et tu verras que ça ça me permettra de résoudre le problème donc on à l'expression qui est égal à 5 fois donc ce qu'on a dans la parenthèse ses sets 6/4 et et là je vais tenir ma promesse je vais faire exactement ce que je viens d'annoncer plus 21 x - 1 x je veux garder ce coefficient 1 même si on n'a pas forcément besoin de l'écrire -3 et alors là tu vas voir qu'il ya quelque chose d'intéressant qui arrivent et qui va nous permettre de résoudre l'exercice c'est qu'on va former deux groupes on va former ce premier groupe ici c'est pour ça qu'on appelle ça la méthode des groupements le groupe 7 x car et plus 21 x et un deuxième groupe - 1 x -3 et chacun de ces groupes là je vais les factoriser je vais d'abord factoriser le premier groupe par le plus grand facteur possible donc d'abord je vais rire mon cinq facteurs de quelque chose facteur de quoi là je peux factoriser le groupe vert par 7x on est d'accord c'est le plus grand facteur possible donc faisons ça cet x factor 2x plus 3 on est d'accord sur redéveloppe on va obtenir cet ex carrés et plus 21 x très bien et là tu verras que ce x + 3 eh ben on peut le faire apparaître aussi ici ça aussi on peut le factoriser on peut trouver un facteur qui fait qu'on obtiendra un ex plus trop y penser en factories on part moins un an et là je vais factoriser du coup par - 1 donc on va avoir plus - un facteur 2 x + 3 et voilà genre maintenant j'ai un x + 3 ici x + 3 ici donc je vais pouvoir factoriser ski à l'intérieur de la parenthèse par ex +3 et j'obtiens quoi j'obtiens 5 x x + 3 facteurs de quoi facteurs de cette xe - en 7 x - ans et voilà on a trouvé comment factoriser cette expression là à 35,6 carey plus 100 x -15 est égal à cinq facteurs de x + 3 facteurs de cette xe - 1 et je t'invite chez toi arrêt appliquer la double distributive it et sur cette expression et tu verras qu'elle est bien égale à cette première expression alors maintenant tu me diras que j'ai parachuté cette méthode un peu de nulle part et qu'elle mérite quelques explications comment ça se fait que ça marche cette histoire et je vais l'expliquer dans ce petit cadre violet que je viens de forme est donc le but lorsqu on s est dit qu lorsqu'on veut factoriser 7x carré plus de 20 x - 3 l'objectif final c'est obtenir une expression qui ressemble à px + ème fois qu x plus n hockey ou pmq et n sont tous des entiers au final ça deviendra no1 trois sets et moins donc on voit bien qu'on a quatre quatre inconnus et le problème est assez compliqué et on n'aimerait pas avoir une quatre équations avec quatre inconnus a trouvé ce serait trop compliqué il faut trouver un peu une astuce ici et là sus elle se trouve ici c'est que lorsqu'on développe ici donc en faisant un pas de plus vers le lien entre cette expression là est celle ci on obtient tai chi x car et plus tmx plus mqx plus mn très bien donc là c'est là l'étape clé parce qu'on a là l'étape intermédiaire en fait qui fait le lien entre cette expression factoriser et l'expression développer et cette expression intermédiaires et ben elle fait apparaître ce pn est ce m q qu'on peut renommer a et b c'est le a et b que j'avais ici donc si je l'appelle ici tn à et mqb on vient on voit bien que a + b doit être égal avant carpé nmq donc a et b il s'agit de des coefficients devant x et leur somme doit donc fervent et ensuite c'est là que vient l'astuce c'est que on remarque que pq fois mn donc pq fois m n qui est donc cette fois - 3 il est aussi égal à pn fois m&q convient de nommer a et b donc c'est égal a à x b et on voit que le produit de a et 2b doit faire doit être la même chose que pq mn donc la même chose que cette fois moins 3,7 fois moins trois donc c'est à dire moins 21 est donc là on en revient à cette première étape de l'exercice que je n'avais pas expliqué pourquoi est ce qu'on cherche de nombre dont la somme fait 20 et le produit fait cette fois - 3 eh bien ça vient de là c'est pour faire apparaître ces deux coefficient centraux qui sont devant x et une fois qu'on fait apparaître ses deux co efficience en trop donc ce 21 x et ce moins x est bien là ça rend en fait c'est trouver du coup cette étape intermédiaire qui fait le lien entre l'expression développer l'expression factoriser et ensuite une fois qu'on a trouvé ces de ces deux termes centraux et bas il n'y a plus qu'à dérouler la dernière étape qui nous permet de factoriser l'expression voilà j'espère que cette explication te permet de comprendre du coup pourquoi cette méthode marche et tu verras que tu peux essayer avec un grand nombre d'exemples et du moment que ces coefficients finaux ici comme un trois sets et moins 1 durant qu'on a collé des coefficients entier et bien tu verras que cette méthode marche à tous les coups