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Les exposants négatifs - ce qu'il faut retenir

La définition et comment l'appliquer.

Définition

Quel que soit n et quel que soit x, does not equal, 0, x, start superscript, minus, n, end superscript est l'inverse de x, start superscript, n, end superscript.
x, start superscript, minus, n, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, x, start superscript, n, end superscript, end fraction

Exemples

  • 3, start superscript, minus, 5, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 3, start superscript, 5, end superscript, end fraction
  • start fraction, 1, divided by, 2, start superscript, 8, end superscript, end fraction, equals, 2, start superscript, minus, 8, end superscript
  • y, start superscript, minus, 2, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, y, squared, end fraction
  • left parenthesis, start fraction, 8, divided by, 6, end fraction, right parenthesis, start superscript, minus, 3, end superscript, equals, left parenthesis, start fraction, 6, divided by, 8, end fraction, right parenthesis, cubed

Application

Exercice 1
Cocher la bonne réponse.
4, start superscript, minus, 3, end superscript, equals, question mark
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Cette définition est-elle cohérente avec la définition d'une puissance d'exposant positif ?

La réponse est "oui". Nous allons le montrer sur un exemple :

On considère la suite des puissances de 2.

n2, start superscript, n, end superscript
32, cubed, equals, 8
22, squared, equals, 4
12, start superscript, 1, end superscript, equals, 2
02, start superscript, 0, end superscript, equals, 1
minus, 12, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
minus, 22, start superscript, minus, 2, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
Chacun des termes de la suite est égal au quotient du terme précédent par 2. Autrement dit pour passer d'un terme au suivant, on le divise par 2. Par définition de 2, start superscript, n, end superscript si n, is greater than, 0, c'est vrai si n est strictement positif, Par définition 2, start superscript, 0, end superscript, equals, 1, donc c'est vrai si n, equals, 0. Et par définition de x, start superscript, minus, n, end superscript si n, is greater than, 0, c'est vrai aussi si n est strictement négatif.

Est-elle cohérente avec les règles de calcul sur les puissances ?

start fraction, x, start superscript, n, end superscript, divided by, x, start superscript, m, end superscript, end fraction, equals, x, start superscript, n, minus, m, end superscript. Voici un exemple ou n, minus, m est négatif :
2223=223=21\begin{aligned} \dfrac{2^2}{2^3}&=2^{2-3} \\\\ &=2^{-1} \end{aligned}
Mais on peut calculer ce quotient directement :
2223=2×22×2×2=12\begin{aligned} \dfrac{2^2}{2^3}&=\dfrac{\cancel 2\times\cancel 2}{\cancel 2\times\cancel 2\times 2} \\\\ &=\dfrac12 \end{aligned}
Et on retrouve bien que 2, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.
x, start superscript, n, end superscript, times, x, start superscript, m, end superscript, equals, x, start superscript, n, plus, m, end superscript. Voici un exemple où m est négatif :
22×22=22+(2)=20=1\begin{aligned} 2^2\times 2^{-2}&=2^{2+(-2)} \\\\ &=2^0 \\\\ &=1 \end{aligned}
D'après la définition...
22×22=22×122=2222=1\begin{aligned} 2^2\times 2^{-2}&=2^2\times\dfrac{1}{2^2} \\\\ &=\dfrac{2^2}{2^2} \\\\ &=1 \end{aligned}

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Anouar Mehdi
    additionner deux chiffres de mème puissances négatives
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