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L'algorithme de Horner - pourquoi ça marche

Transcription de la vidéo

alors dans cette vidéo tu va enfin comprendre pourquoi est ce que ça marche cette méthode de la division synthétique et pour cela rien de mieux que de comparer le processus de la méthode classique et celui de la division synthétique et ça ça va te permettre de faire le parallèle entre les deux et surtout de comprendre aussi pourquoi on a cette contrainte sur le diviseur qui doit être un binôme du premier degré avec un coefficient 2 x égal à 1 alors allons-y démarrons d'abord par la première étape de la méthode classique qui consiste à prendre le terme avec l'exposant le plus élevé dans mon dividende et le diviser par le terme avec l'exposant le plus élevé dans mon diviseur d'accord donc 3 x cube / x ça me donne 3 x carré donc là je viens de faire apparaître le premier terme dans mon quotient et comment est ce que j'ai fait ça dans la vie des vision synthétique et ben j'ai tout simplement mis le 3 ici alors comment ça se fait que ça marche parce que là ici j'ai bien fait apparaître montèrent man x car et le coefficient du x carrés dans mon quotient donc j'ai bien 3x carrés dans la division synthétique et 3x carré ici alors là tu vois que ça a marché parce que justement on a un on a un binôme du premier degré dans le diviseur et où le coefficient 2 x est égal à 1 donc quand je dis 10 le terme avec l'exposant le plus élevé dans mon dividendes paris x et ben tout ce que ça fait c'est de diminuer l'exposant par un donc je passe de 3 x cuba 3 x carey a effectivement on garde le même coefficient on n'aurait pas eu le même coefficient ici si on avait un coefficient différend devant le x donc voilà pourquoi ça marche on a juste besoin de répéter le 3 ici ok prochaine étape ce que je vais faire maintenant c'est multiplier 3x carré par ex +4 et ça va me donner le polynôme que je dois soustraire de mon dividende ok donc ça me donne 3 x cube plus 12x carrés 3 x cube plus 12 x car et que je vais soustraire de mon dividendes alors finalement soustraire ce dividende ça revient à enlever les parenthèses ici est de mettre 1 - ici est de remplacer ceux plus par un mois on est d'accord et de faire la somme due la somme de ceux polynôme et de ce que j'ai fait apparaître ici donc 3 x cube - 3 x cube 0 et 4 x carré - 12 x carré il me reste moins 8 x carré et ensuite il me reste aussi moins 2 x et -1 duquel je vais m'occuper plus tard alors maintenant le parallèle avec la division synthétique donc on a vu que après ce qu'on fait c'est de faire trois fois moins quatre et on obtient moins 12 donc voilà d'où il vient ce -12 c'est le même - 12 qu'ici j'ai pris 3 x car est gelée x 4 ça me donne 12 x carré et je vais soustraire 12x carré de 4x carey donc voilà pourquoi est ce qu'on écrit -4 ici au lieu de au lieu de quatre c'est pour déjà s'occuper du fait que à chaque fois on va soustraire quelque chose et ça simplifie davantage les opérations que je fais dans dans mon algorithme très séquentielle ici de la division synthétique c'est très simple de faire trois fois moins 4 et ensuite de faire la somme de ces deux nombres c'est plus simple de faire ça que de faire 3 x 4 et ensuite d'effectuer une soustraction qui nécessite un peu plus de 2 de réflexion de calcul mental donc voilà il a ensuite cette séquence se répète et on s'intéresse maintenant à ceux polynôme là qu'on va diviser par ex +4 et là tu vas voir que ceux - 8 il va réapparaître une fois de plus ici on va avoir moins 8 x pourquoi parce que moins 8 x carey / xf et -8 6 d'où le mois 8 qui apparaît ici qui est le coefficient 2 x dans mon caution voilà donc ce - 8 x x x + 4 et ça me donne quoi ça me donne mon ex carré - 8x carré - 32 x - 32x et vu que je vais soustraire cela eh ben j'ai qu'à écrire - ce terme là et j'obtiens plus ici est un plus là donc voilà l'opération que je fais mon 8x l'arrêt plus 8x carré ça s'annule j'ai zéro et moins 2 x + 32 6 g 30 x 30 x et je garde ce - en hockey à quoi ça correspond dans la division synthétique et bien c'est moins huit fois moins 4 32 qui correspond à ce 32 que j'ai fait apparaître ici et 32 - 2 30 qui correspond aux 30 que j'ai fait apparaître ici qui va être le terme constant dans mon quotient parce que ici je vais faire 30 x / x d'accord donc c'est comme ça que je fais apparaître mon termes constants très bien donc ensuite il me reste plus qu'à faire 30 x x + 4 qui me donne qui me donne 30 x + 4 x 30 donc plus 120 +120 et vu que je vais soustraire cela est bien ici je peux mettre moins 30 x est ici au lieu de + 120 - 120 fr la somme de la somme de ces deux polinum et j'obtiens quoi j'obtiens ici 0 est ici moins en moins 120 ça me donne moins 121 qui aimons reste et souviens toi dans la division synthétique on avait fait quelque chose de similaire 30 fois moins 4 - 120 et c'est le même moins 120 que je fais apparaître ici sauf que je les jeux les obtenu plus rapidement ici dans la division synthétique et ensuite moins 120 -1 moins 121 et voilà le reste lorsque j'applique la division synthétique et les coefficients des termes de mon quotient donc mon quotient c'est bien 3 x carré - 8 x + 30 tout comme dans la méthode classique et voilà j'espère que ce parallèle entre la méthode classique et la division synthétique a permis de comprendre finalement pourquoi est ce que ça marche cette méthode de la division synthétique et en particulier pourquoi j'ai cette contrainte ici sur mon diviseur pour pouvoir utiliser cette méthode le fait que je ne peux utiliser la division synthétique et cette méthode ultra rapide ici que lorsque j'ai un binôme du premier degré avec le coefficient 2 x qui est égal à 1 lorsqu'on prend le diviseur