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3e année secondaire
Chapitre 3 : Leçon 17
Opérations sur les polynômes à 1 variable- Additionner ou soustraire deux expressions littérales
- Additionner deux expressions littérales
- Additionner ou soustraire des expressions littérales
- Soustraire deux expressions littérales
- Additionner deux expressions littérales - exemple
- Additionner ou soustraire des polynômes
- Soustraire deux polynômes - exemple
- Soustraction de polynômes et stabilité de l'ensemble des polynômes pour la soustraction
- Réduire et ordonner un polynôme
- Divisibilité d'un polynôme par un autre
- Diviseurs et divisibilité
- Produit de deux sommes de deux termes et distributivité de la multiplication sur l'addition
- Multiplier deux sommes de deux termes - interprétation géométrique
- Multiplier deux sommes de deux termes 2
- Pour faire le point : multiplier deux sommes de deux termes
- Multiplier deux sommes de deux termes 1
- Multiplier deux sommes de deux termes - interprétation géométrique
- Développer un produit de deux sommes de deux termes
- Multiplier deux sommes de deux termes - un exemple
- Multiplier une expression littérale par une somme de deux termes
- Multiplier une expression littérale par une somme de deux termes
- Multiplier un polynôme par un binôme - Défi
- Produit d'une expression littérale par une somme de deux termes
- Produit d'une expression littérale par une somme de deux termes - interprétation en termes d'aire
- Produit de polynômes - exemples
- Développement d'un produit de binômes contenant des radicaux
- Multiplier deux monômes - Savoirs et savoir-faire
- Multiplier deux produits qui contiennent des variables
- Multiplier deux monômes - 2
- Multiplier deux monômes - Défi
- Produit de deux monômes et aire d'un rectangle - Exemple 1
- Produit de deux monômes et aire d'un rectangle - Exemple 2
- Multiplier deux produits qui contiennent des variables
- Multiplier un produit qui contient une variable par une expression littérale
- Multiplier une expression littérale par un produit qui contient une variable
- Multiplier une expression littérale par un produit qui contient des variables et aire d'un rectangle
- Multiplier une expression littérale par un produit qui contient des variables - interprétation géométrique
- Multiplier un polynôme par un monôme - Défi
- Multiplier une expression littérale par un produit qui contient une variable
- Division euclidienne d'un polynôme par un binôme
- Division euclidienne d'un polynôme par un monôme - 2
- Division euclidienne d'un polynôme par un polynôme
- Division euclidienne d'un polynôme par un monôme
- Division euclidienne d'un polynôme par x (avec reste)
- Division euclidienne d'un polynôme par x (avec reste)
- Division euclidienne d'un polynôme par x (sans reste)
- Plus Petit Commun Multiple de deux polynômes
Divisibilité d'un polynôme par un autre
La divisibilité dans l'ensemble des polynômes.
Rappel
Un monôme est une expression de la forme a, x, start superscript, n, end superscript ou a est un nombre réel et n un entier naturel. Exemple : 3, x, squared. Un polynôme est une somme algébrique de monômes. Exemple : 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.
Le sujet traité
Dans cette leçon, on étudie les diviseurs et les multiples d'un polynôme et la méthode à utiliser pour établir si un polynôme est diviseur d'un autre polynôme.
Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des entiers
Soient les entiers a, b et c. Si c, equals, a, ×, b, alors a et b sont des diviseurs de c.
Par exemple, 14, equals, 2, times, 7, donc 2 et 7 sont des diviseurs de 14.
L'entier a est divisible par l'entier b si le quotient de a par b est un entier.
Par exemple, start fraction, 15, divided by, 3, end fraction, equals, 5 et start fraction, 15, divided by, 5, end fraction, equals, 3, donc 15 est divisible par 3 et par 5. mais start fraction, 9, divided by, 4, end fraction, equals, 2, comma, 25, donc 9 n'est pas divisible par 4.
Les relations "est diviseur de.." et "est divisible par ..." sont réciproques l'une de l'autre.
start color #e07d10, 14, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, 7 équivaut à start fraction, start color #e07d10, 14, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 2, end color #11accd, end fraction, equals, 7, donc 2 est un diviseur de 14 équivaut à 14 est divisible par 2.
Dans l'autre sens, start fraction, start color #e07d10, 15, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, equals, 5 donc start color #e07d10, 15, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, times, 5 peut se traduire par : 15 est divisible par 3, donc 3 est un diviseur de 15.
De façon générale : Si a est un diviseur de b, alors b est divisible par a, et réciproquement.
Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des polynômes
Tout ceci s'applique aux polynômes.
Soient les polynômes P, Q et R. Si P, equals, Q, ×, R, alors Q et R sont des diviseurs de P.
Par exemple, 2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, 6, x.
Donc 2, x et x, plus, 3 sont des diviseurs de 2, x, squared, plus, 6, x.
Et un polynôme est divisible par un autre polynôme si le quotient du premier par le deuxième est un polynôme.
par exemple, start fraction, 6, x, squared, divided by, 3, x, end fraction, equals, 2, x et start fraction, 6, x, squared, divided by, 2, x, end fraction, equals, 3, x, donc 6, x, squared est divisible par 3, x et par 2, x. En revanche, start fraction, 4, x, divided by, 2, x, squared, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, x, end fraction, donc 4, x n'est pas divisible par 2, x, squared.
Deux autres exemples :
De façon générale, si les polynômes P, Q et R sont tels que P, equals, Q, times, R, alors
- Q et R sont des diviseurs du polynôme P.
- P est divisible par Q et par R.
À vous !
Diviseurs d'un polynôme - Divisibilité d'un polynôme par un autre
Exemple 1 : 24, x, start superscript, 4, end superscript est-il divisible par 8, x, cubed, question mark
Pour répondre à la question on simplifie le quotient start fraction, 24, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 8, x, cubed, end fraction. Si le résultat est un monôme, alors 24, x, start superscript, 4, end superscript est divisible par 8, x, cubed. Sinon, 24, x, start superscript, 4, end superscript n'est pas divisible par 8, x, cubed.
3, x est un monôme, donc 24, x, start superscript, 4, end superscript est divisible par 8, x, cubed. Et 8, x, cubed est un diviseur de 24, x, start superscript, 4, end superscript.
Exemple 2 : 4, x, start superscript, 6, end superscript est-il un diviseur de 32, x, cubed ?
Pour savoir si 4, x, start superscript, 6, end superscript est un diviseur de 32, x, cubed on étudie si 32, x, cubed est divisible par 4, x, start superscript, 6, end superscript. Pour cela, on simplifie le quotient start fraction, 32, x, cubed, divided by, 4, x, start superscript, 6, end superscript, end fraction.
start fraction, 8, divided by, x, cubed, end fraction n'est pas un monôme, donc 4, x, start superscript, 6, end superscript n'est pas un diviseur de 32, x, cubed.
A retenir
Pour établir si le polynôme P est divisible par le polynôme Q, ou ce qui revient au même si le polynôme Q est un diviseur du polynôme P, on étudie le quotient start fraction, P, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, Q, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction.
Si ce quotient est un polynôme, alors le polynôme P est divisible par le polynôme Q, et le polynôme Q est un diviseur du polynôme P
À vous !
Un dernier exercice
Quel est l'intérêt de chercher les diviseurs d'un polynôme ?
La recherche des diviseurs d'un nombre entier est utile car elle a beaucoup d'applications et il en est de même avec les polynômes !
En particulier, elle est utile pour résoudre les équations du second degré et pour simplifier les fractions rationnelles.
Ceci est traité dans les leçons :
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