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3e année secondaire

Chapitre 3 : Leçon 17

Opérations sur les polynômes à 1 variable

Divisibilité d'un polynôme par un autre

La divisibilité dans l'ensemble des polynômes.

Rappel

Un monôme est une expression de la forme a, x, start superscript, n, end superscript ou a est un nombre réel et n un entier naturel. Exemple : 3, x, squared. Un polynôme est une somme algébrique de monômes. Exemple : 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.

Le sujet traité

Dans cette leçon, on étudie les diviseurs et les multiples d'un polynôme et la méthode à utiliser pour établir si un polynôme est diviseur d'un autre polynôme.

Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des entiers

Soient les entiers a, b et c. Si c, equals, a, ×, b, alors a et b sont des diviseurs de c.
Par exemple, 14, equals, 2, times, 7, donc 2 et 7 sont des diviseurs de 14.
L'entier a est divisible par l'entier b si le quotient de a par b est un entier.
Par exemple, start fraction, 15, divided by, 3, end fraction, equals, 5 et start fraction, 15, divided by, 5, end fraction, equals, 3, donc 15 est divisible par 3 et par 5. mais start fraction, 9, divided by, 4, end fraction, equals, 2, comma, 25, donc 9 n'est pas divisible par 4.
Les relations "est diviseur de.." et "est divisible par ..." sont réciproques l'une de l'autre.
start color #e07d10, 14, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, 7 équivaut à start fraction, start color #e07d10, 14, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 2, end color #11accd, end fraction, equals, 7, donc 2 est un diviseur de 14 équivaut à 14 est divisible par 2.
start underbrace, start color #a75a05, 14, end color #a75a05, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, times, 7, end underbrace, start subscript, 2, start text, space, e, s, t, space, u, n, space, d, i, v, i, s, e, u, r, space, d, e, space, end text, 14, end subscript, \longrightarrow, start underbrace, start fraction, start color #a75a05, 14, end color #a75a05, divided by, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, end fraction, equals, 7, end underbrace, start subscript, 14, start text, space, e, s, t, space, d, i, v, i, s, i, b, l, e, space, p, a, r, space, end text, 2, end subscript
Dans l'autre sens, start fraction, start color #e07d10, 15, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, equals, 5 donc start color #e07d10, 15, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, times, 5 peut se traduire par : 15 est divisible par 3, donc 3 est un diviseur de 15.
start underbrace, start fraction, start color #a75a05, 15, end color #a75a05, divided by, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, end fraction, equals, 5, end underbrace, start subscript, 15, start text, space, e, s, t, space, d, i, v, i, s, i, b, l, e, space, p, a, r, space, end text, 3, end subscript, \longrightarrow, start underbrace, start color #a75a05, 15, end color #a75a05, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, times, 5, end underbrace, start subscript, 3, start text, space, e, s, t, space, u, n, space, d, i, v, i, s, e, u, r, space, d, e, space, end text, 15, end subscript
De façon générale : Si a est un diviseur de b, alors b est divisible par a, et réciproquement.

Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des polynômes

Tout ceci s'applique aux polynômes.
Soient les polynômes P, Q et R. Si P, equals, Q, ×, R, alors Q et R sont des diviseurs de P.
Par exemple, 2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, 6, x. Donc 2, x et x, plus, 3 sont des diviseurs de 2, x, squared, plus, 6, x.
Et un polynôme est divisible par un autre polynôme si le quotient du premier par le deuxième est un polynôme.
par exemple, start fraction, 6, x, squared, divided by, 3, x, end fraction, equals, 2, x et start fraction, 6, x, squared, divided by, 2, x, end fraction, equals, 3, x, donc 6, x, squared est divisible par 3, x et par 2, x. En revanche, start fraction, 4, x, divided by, 2, x, squared, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, x, end fraction, donc 4, x n'est pas divisible par 2, x, squared.
Deux autres exemples :
start underbrace, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, times, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, start color #a75a05, 2, x, squared, plus, 6, x, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, 2, x, start text, space, e, s, t, space, u, n, space, d, i, v, i, s, e, u, r, space, d, e, space, end text, 2, x, squared, plus, 6, x, end subscript, \longrightarrow, start underbrace, start fraction, start color #a75a05, 2, x, squared, plus, 6, x, end color #a75a05, divided by, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, end fraction, equals, x, plus, 3, end underbrace, start subscript, 2, x, squared, plus, 6, x, start text, space, e, s, t, space, d, i, v, i, s, i, b, l, e, space, p, a, r, space, end text, 2, x, end subscript
start underbrace, start fraction, start color #a75a05, 6, x, squared, end color #a75a05, divided by, start color #0c7f99, 3, x, end color #0c7f99, end fraction, equals, 2, x, end underbrace, start subscript, 6, x, squared, start text, space, e, s, t, space, d, i, v, i, s, i, b, l, e, space, p, a, r, space, end text, 3, x, end subscript, \longrightarrow, start underbrace, start color #0c7f99, 3, x, end color #0c7f99, times, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, equals, start color #a75a05, 6, x, squared, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, 3, x, start text, space, e, s, t, space, u, n, space, d, i, v, i, s, e, u, r, space, d, e, space, end text, 6, x, squared, end subscript
De façon générale, si les polynômes P, Q et R sont tels que P, equals, Q, times, R, alors
  • Q et R sont des diviseurs du polynôme P.
  • P est divisible par Q et par R.

À vous !

1) 3, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x, donc
x, plus, 2 est
3, x, squared, plus, 6, x, et 3, x, squared, plus, 6, x est
x, plus, 2.

2) Un professeur a écrit au tableau :
left parenthesis, 3, x, squared, right parenthesis, ×, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, equals, 12, x, cubed
Marin en a déduit que 3, x, squared est un diviseur de 12, x, cubed.
Judith en a déduit 12, x, cubed est divisible par 4, x.
Qui a raison ?
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Diviseurs d'un polynôme - Divisibilité d'un polynôme par un autre

Exemple 1 : 24, x, start superscript, 4, end superscript est-il divisible par 8, x, cubed, question mark

Pour répondre à la question on simplifie le quotient start fraction, 24, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 8, x, cubed, end fraction. Si le résultat est un monôme, alors 24, x, start superscript, 4, end superscript est divisible par 8, x, cubed. Sinon, 24, x, start superscript, 4, end superscript n'est pas divisible par 8, x, cubed.
24x48x3=248×x4x3=3×x1aman=amn=3x\begin{aligned}\dfrac{24x^4}{8x^3}&=\dfrac{24}{8}\times\dfrac{x^4}{x^3}\\ \\ &=3\times x^1&&{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=3x \end{aligned}
3, x est un monôme, donc 24, x, start superscript, 4, end superscript est divisible par 8, x, cubed. Et 8, x, cubed est un diviseur de 24, x, start superscript, 4, end superscript.

Exemple 2 : 4, x, start superscript, 6, end superscript est-il un diviseur de 32, x, cubed ?

Pour savoir si 4, x, start superscript, 6, end superscript est un diviseur de 32, x, cubed on étudie si 32, x, cubed est divisible par 4, x, start superscript, 6, end superscript. Pour cela, on simplifie le quotient start fraction, 32, x, cubed, divided by, 4, x, start superscript, 6, end superscript, end fraction.
32x34x6=324×x3x6=8×x3aman=amn=8×1x3am=1am=8x3\begin{aligned}\dfrac{32x^3}{4x^6}&=\dfrac{32}{4}\times \dfrac{x^3}{x^6}\\ \\ &=8\times x^{-3}&&{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=8\times \dfrac{1}{x^3}&&{\gray{a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}}}\\ \\ &=\dfrac{8}{x^3} \end{aligned}
start fraction, 8, divided by, x, cubed, end fraction n'est pas un monôme, donc 4, x, start superscript, 6, end superscript n'est pas un diviseur de 32, x, cubed.

A retenir

Pour établir si le polynôme P est divisible par le polynôme Q, ou ce qui revient au même si le polynôme Q est un diviseur du polynôme P, on étudie le quotient start fraction, P, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, Q, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction.
Si ce quotient est un polynôme, alors le polynôme P est divisible par le polynôme Q, et le polynôme Q est un diviseur du polynôme P

À vous !

3) 30, x, start superscript, 4, end superscript est-il divisible par 2, x, squared, question mark
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

4) 12, x, squared est-il un diviseur de 6, x, question mark
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Un dernier exercice

5) Ces monômes sont-ils des diviseurs de 15, x, squared, y, start superscript, 6, end superscript, question mark
 
diviseur
N'est pas un diviseur
3, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript
5, x
10, x, start superscript, 4, end superscript, y, cubed

6) L'aire du rectangle de largeur x, plus, 1, start text, space, c, m, end text et de longueur x, plus, 4, start text, space, c, m, end text est égale à x, squared, plus, 5, x, plus, 4, start text, space, c, m, end text, squared.
Les diviseurs de x, squared, plus, 5, x, plus, 4 sont :
Choisissez toutes les réponses possibles :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Quel est l'intérêt de chercher les diviseurs d'un polynôme ?

La recherche des diviseurs d'un nombre entier est utile car elle a beaucoup d'applications et il en est de même avec les polynômes !
En particulier, elle est utile pour résoudre les équations du second degré et pour simplifier les fractions rationnelles.
Ceci est traité dans les leçons :
  • Résoudre une équation du second degré en factorisant
  • Simplifier une fraction rationnelle

Quelle est la prochaine leçon ?

Dans la prochaine leçon, nous étudierons comment diviser un monôme par un autre monôme.