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3e année secondaire

Chapitre 3 : Leçon 17

Opérations sur les polynômes à 1 variable

Plus Petit Commun Multiple de deux polynômes

Le plus petit commun multiple (PPCM) des polynômes 3z³-6z²-9z et 7z⁴+21z³+14z².

Transcription de la vidéo

déterminé le plus petit commun multiple le ppc md2 polynôme suivant p2 aide qui est égale à trois aides au cube - six aides au carré -9 z et q2 aide qui est égal à cette fois cette puissance 4 +21 z au cube +14 aide au carré alors si tu sais pas du tout comment aborder ce genre de problème c'est parfois utile de regarder ce qui se passe en termes de nombre ici on a des polynômes mais peut-être que tu te rappelles comment est ce qu'on cherche le plus petit commun multiple de deux nombres par exemple si tu veut déterminer le ppm 2,4 et 2,6 et bien une première méthode qui consisterait à énoncer tous les multiples de 4 donc on a déjà quatre ensuite ces 4 x 2 qui est égal à 8 ans 8 4 x 3 qui est égal à 12 ans 8 4 x 4 qui est des galas 16 et ainsi de suite et tu fais la même chose avec le 2ème nombre qui est sis donc tu énonce ses multiples 6,6 fois un ensuite en a 6 x 2 qui est égal à 12 6 x 3 qui est égale à 18 6 x 4 qui est égal à 24 et ainsi de suite et là en fait évidemment 4 et 6 sont pleins pleins de multiples commun mais le plus petit c'est le premier qui apparaît dans les deux listes donc c'est celui ci dans ce cas là voilà donc le ppc m le ppc m 2,4 et 2,6 et bien c'est 12 alors effectivement 24 c'est aussi un multiple de 4 et 2 6 mais c'est pas le plus petit multiple commun 2,4 et 2,6 voilà donc ça c'est une première méthode il y en a une deuxième dont tu te souviens peut-être qui consiste à passer par la décomposition facteurs premiers ça c'est quelque chose qui peut être très utile alors ici je vais décomposer quatre ans facteur premier cas très basses tout simplement ces 2 x 2 2 x 2 et puis je vais décomposer six ans facteur premier alors si c'est 3 fois 2 et à partir de ces décomposition facteur premier tu peux très facilement reconstituer le ppc m 2,4 et 2,6 alors je vais le faire ici le ppc m 2,4 et 2,6 et bien c'est un nombre qui doit contenir la décomposition facteurs premiers de 4 donc tous les facteurs premiers de 4 et tous les facteurs premiers 2,6 alors les facteurs premiers de 4g ce2 et ce2 donc le ppc m il doit déjà contenir ces deux facteurs donc il doit déjà contenir 2 x 2 si contenir les facteurs premiers de 6 c'est à dire qu'il doit contenir 1 2 et 1 3 ce de là en fait on peut déjà considérer que c'est celui ya déjà 1 2 dans ce nombre là donc c'est pas la peine que j'en rajoute 1 par contre pour avoir un multiple de 6 il faut rajouter ce facteur 3 donc je vais rajouter ici 1,3 et tu vois que ici ce qu'on obtient c'est un multiple de 4 puisque on a ici les facteurs premiers 2,4 et c'est aussi un multiple de 6 puis s'il contient les deux facteurs premiers 2,6 et en fait ça c'est le ppc m 2,4 et 2,6 et tu peux faire le calcul de foi de ça fait 4 x 3 ça fait douze on retrouve le même résultat que tout à l'heure voilà alors ici évidemment ce qu'on nous demande c'est un petit peu différent puisqu'on parle de pauline hautmont à 2 polynôme et on doit déterminer leur plus petit commun multiple alors ici on va s'inspirer de ce qu'on a fait et en fait on va plus précisément utiliser cette deuxième technique celle qui consiste en fait à factoriser nous nombre et on va faire la même chose on va factoriser nous deux polynôme et ensuite constitué un polynôme qui contient tous les facteurs de paix et tous ceux de cul alors c'est ce que je vais faire je vais déjà factoriser le premier p2 aide donc paix deux aides alors déjà ces trois aides au cube - six aides au carré -9 z il ya un facteur commun qui est z et puis il ya un facteur commun qui est roi aussi donc en fait je vais m en facteur trois aides 3 z il me reste ici du coup trois aides au cube divisé par trois aides il me reste donc z au carré ici moins six aides aux cars est divisé par trois aides il me reste donc deux aides et puis -9 z divisé par trois aides il reste donc moins 3 voilà alors là j'ai factoriser un petit peu il faudrait essayer de factoriser un peu plus si on peut pour savons tu pourrais utiliser le discriminant et factoriser ce polynôme là si c'est possible là je vais faire avec la méthode de la somme et du produit parce que ici ça me semble assez simple il faudrait que je trouve de nombreux dont le produit est égal à moins 3 donc il faudrait un nombre négatif et un nombre positif et la somme de ces deux noms on doit être égale à moins 2 alors ici si je prends à égal 1 et b égal moins 3 ça devrait marcher puisque 1 fois moins 3 ça fait bien moins trois et un plus - 3 ça fait bien moins de donc ça ça va marcher ce qui veut dire que finalement ce polynôme là je vais pouvoir le factoriser ces aides plus un poids z - 3 donc p2 heads et trois aides phase est de plus un fois z - 3 voilà et la gelée complètement factoriser bien sûr tu peux vérifier que je me suis pas trompé dans les calculs z fois z ça fesait dos carré ensuite jay z fois moins trois donc moins trois aides plus des 10,6 à fait bien les moins deux aides qui sont là et puis +1 fois moins trois ça donne bien ce -3 donc ça c'est bon maintenant je vais factoriser le deuxième polynôme celui-ci q alors qu deux aides q deux aides eh bien j'ai un facteur commun qui est z au carré déjà les trois termes sont divisibles par z au carré et puis j'ai un facteur commun et gallas est aussi un puisque les trois termes sont divisibles par set donc je vais mettre cette aide au carré en facteur alors le premier terme c'est donc z au carré plus alors 21 z occupe / 7z au carré ça nous donne donc trois fois z plus 14 aides au carré / 7z au carré ça donne 2 voilà alors là aussi tu peux revérifier que ça marche en redéveloppant si tu veux vous vérifiez que je me suis pas trompé dans les calculs et ici comme tout à l'heure je vais essayer de factoriser ce polynôme et je vais le faire avec la même technique là il faudrait que je trouve de nombre dont le produit est égal à 2 et la somme égale à 3 alors ici si je prends à égal 1 et b égal 2 le produit va être égal à 2 et la somme égale à 3 donc ça ça va marcher ce qui veut dire que finalement le polynôme q2 aide je vais pouvoir l'écrire comme ça complètement factoriser 7z au carré facteur de z +1 facteur de z plus de alors maintenant je vais déterminer le ppc m2p et de cul je vais l'écrire comme ça ppcn de paix et de cul et bien pour faire ça je vais prendre déjà tous les facteurs de paix deux aides donc il ya 1 3 il ya un z il ya le facteur z +1 et il y a le facteur z - 3 et maintenant il faut que j'ajoute les facteurs de cul qui ne sont pas déjà contenu ici hein alors il ya déjà sept ici donc cette je vais leur ajouter ici et puis ensuite j'ai un facteur qui est z au carré alors en fait ici j'ai déjà un z donc c'est pas la peine que je rajouterais dos carré ce que je peux faire c'est juste rajouté z alors je pourrais les décrire ici fois z mais en fait ce que je peux faire aussi c'est directement l'écrire là je vais avoir un z au carré ensuite alors il ya le facteur z plus un mais celui là il est déjà contenu ici et il faut que j'ajoute ce facteur-là z plus 2 voilà et ça c'est le ppc m2 mais deux polynôme paix et qu alors ce que je peux faire c'est leur écrire ça un petit peu mieux bien sûr je vais lire et écrire comme ça 3 x 7 ça fait 21 ensuite j'ai z au carré ensuite z +1 facteur de z - 3 facteur de z plus de voilà ça c'est l'écriture plus jolie du pp cm2 des polynômes alors évidemment tu pourrais trouver d'autres multiples communs de paix de qu effectivement de toute façon pour trouver un multiple commun de ces deux polynôme tu pourrais déjà prendre le produit des deux c'est un multiple commun de ces deux polynôme tu pourrais prendre aussi ce polynôme la x 100 par exemple c'est une multiplie par 100 ça reste un multiple de paix et de cul mais c'est pas le plus petit commun multiple donc c'est pas celui qu'on cherche ici exactement de la même manière que ici si tu prenais 12 x 100 donc 1200 c'est un multiple commun 2,4 et 2,6 mais c'est pas le plus petit commun multiple donc c'est pas celui qu'on cherche voilà j'espère que cette vidéo tu auras éclaircie un petit peu les idées sur le plus petit commun multiple de 2 polynôme