If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :9:49

Opérations sur les polynômes à 1 variable

Transcription de la vidéo

ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est faire de plusieurs produits de polinum donc on va développer et simplifiée des expressions qui sont bons qui sont sous forme de produits d expression polynomiale sous forme de produit on va en faire plusieurs comme ça j'espère qu'à la longue tu serais un peu plus en confiance pour en faire de ton côté tout seul voilà alors on va on va commencer par celui là par exemple ils ont 2 x x 4 x - 5 voilà donc ça c'est un produit de paulino bien ce polynôme 2 x x celui-ci 4x -5 et donc ce qu'on doit faire c'est se développer et simplifier cette expression se produit pour pour avoir exécuté le produit de ces 2 pauline sommes alors en fait ce qu'on va faire c'est uniquement utiliser la propriété distributive it et qu'on a déjà utilisé dans d'autres vidéos et bien c'est ce qu'on fait on le fait une fois où plusieurs fois ça dépend alors dans ce produit si on va distribuer une seule fois c'est à dire qu'on va distribuer ce produit ce terme là 2x à ce terme si et à cet autre terme qui est dans la question donc aux deux termes de la parenthèse voilà alors quand je le fais ça me donne 2 x x 4 x donc ça je peux écrire 2 x x 4 x et puis plus - 5 x 2 x + 2 x fois moins cinq ans on pourrait dire comme ça plutôt dans le temps dans l'ordre enfin l'ordre ne compte pas mais bon ça fait 2 6 fois moins 5 et ça donc le moins sort donc ça fait moins deux on va l'écrire comme ça - 5 x 2 x donc c'est moins 5 x 2 x assez le produit de sa 2 x fois moins 5 alors maintenant ce terme aussi 2 x x 4 x ça on peut l'écrire comme ça 2 x x 4 x comme la multiplication et commutative ont l'ordre dans lequel on fait ces produits là ne sont pas n'est pas important ce que ça c'est 2 x x x 4 x x et on peut changer l'ordre donc on peut écrire ça comme ça deux fois 4 x x x x voilà et puis ici alors deux fois 4 2 x 4 ça fait 8 fois alors x x x x x x et bien c'est x au carré peut le voir comme ça aussi x cx puissance 1 donc on a ici x puissance 1 x x puissance 1 ça fait x puissance 1 + 1 c'est-à-dire x puissance 2 c'est à dire x au carré voilà donc deux x x 4 x ça fait 8 x au carré donc ça alors je vais mettre un signe égal ici et là je vais continuer en dessous donc ça me fait 8x aux caresses à 7 ce terme là - 5 x 2 x alors 5 x 2 ça fait 10 donc on a moins 10 x voilà et là on a terminé puisque on a développé cette expression et puis on a simplifié voilà ben on va faire un autre un petit peu plus compliqué alors cette fois ci on va faire ça par exemple 9 x au cube 9 9 x puissance 3 donc x et puis à l'intérieur on va faire une parenthèse un peu plus avec un peu plus de termes on va dire 3x au carré - 2x plus cette voie là donc on a ce binz le polynôme là qui est en fait un monôme et qu'on va x ce polynôme ci alors ne fixe aucune x 3 x au carré - 2x plus 7 donc là ce qu'on va utiliser c'est comme tout à l'heure on va utiliser la distributive it et donc on va distribuer ce terme si aux trois termes qui sont dans la parenthèse e et 3 e alors je vais le faire cette fois-ci je vais le faire complètement un pas à pas je vais bien détaillé puis après on pourra aller un petit peu plus vite alors d'abord j'ai donc 9 x au cube x 3 x au carré je vais écrire un 9,6 au cube x 3 x au carré ensuite le deuxième terme ces neuf fric 9,6 au cube fois moins 2 x 9 x au cube fois moins de 2x donc là je vais l'écrire plus tôt comme ça - 2 x x 9 x au cube c'est la même chose un jeu juste au lieu d'écrire un fx occupe fois moins 2 x et écrire - 2 x x 9 x au cube l'ordre ne compte pas donc on peut très bien faire comme ça et puis là c'est 9 x cube x 7 puis là je vais faire la même chose je vais écrire plutôt 7 fois là je vais m multipliez 9x occupe 7 x 9 x au pub l'âge mais un signe multipliés comme ça en croit parce que comme ces deux nombres ce pour éviter de confondre ce avec une virgule enfin bon c'est pas très grave voilà donc maintenant on va on a développé un on a utilisé la propriété de distribuer tivité pour développer maintenant on va simplifier un peu chacun des termes alors ici on à 9,6 au cube x 3 x o car l on peut faire 9 x 3 déjà 9 x 3 ça fait dix-huit jeu mais signe égal 1 alors donc on a 18 puis en hard et dx alors ici qu'il faut x puissance 3 x x puissance de alors pour se multiplier comme ça de deux termes en x puissance quelque chose en fait on additionne les exposants donc ça fait x puissance 3 + 2 c'est à dire x puissance 5 donc 18 x puis 105 - alors ici on a deux fois 9 deux fois 9 ça fait 10 buts avait d'ailleurs je me suis trompé tout à l'heure c'est pas ici 9 x 3 ça fait pas dix huit ça fait 27 donc on a ici 27 ça c'est 9 x 3 et puis x puissance 3 x x puissance 2 ça fait bien x puissance 53 27 x puis 105 - alors ici deux fois 9 ans disait 18 deux fois 9 ça fait dix-huit et puis là on a x x x puissance 3 donc en fait xc x puissance 1 il faut se rappeler de ça 1 x puissance 1 x x puissance 3 donc là aussi on additionne les exposants et ça nous fait x puissance 1 + 3 c'est à dire x puissance 4 voilà ensuite on continue alors cette fois neuf cette fois neuf ça fait 63 63 et puis x puissance 3 voilà donc là on a terminé on a obtenu ce polynôme l'inquiète un trinôme cette fois ci c'est 27 x x puissante 5 - 18x puissance 4 + 63 x au cube voilà alors là je vais en faire encore un d'un autre et puis je vais faire plus tôt cette fois ci on va essayer de multiplier deux binômes 1 parce que là on a multiplié ce qu'on a fait dans les deux exemples précédents c'est un mono multiplient et par un trinôme ou un binôme ici c'était un binôme un bonhomme x un binôme est là un mono x un trinôme là on va faire quelque chose d'un peu plus compliqué puisqu'on va multiplier deux binômes bon je vais je vais préciser ça un petit peu tu vas voir assez facilement on en a déjà fait dans d'autres vidéos donc là on va multiplier par exemple ces deux binômes la xe - 3 ça c'est un binôme parce que c'est de deals et contient de terre mixer - 3 x x + 2 voilà bon c'est vraiment quelque chose que tu vas rencontrer très très souvent multiplication de ce genre là de deux binômes c'est vraiment très courant donc faut vraiment que tu sache le faire alors en fait tu vas voir ce qu'on fait c'est uniquement utilisé plusieurs fois la propriété distribuer tivité alors pour que tu comprennes ça je vais faire quelque chose je vais me dire je vais faire comme si salah ce terme là cette première parenthèse x - 3 c'était un nombre et je vais l'appliquer à appliquer la propriété distributive itea ce nom là donc en fait je vais prendre ce nombre effectivement si tu donnes une valeur à x ça sera un nombre x - trois en donnant une dès qu'on donne une valeur à ce x à cette variable le hic c'est bien ça ça donnera un nombre et je vais distribuer ce nombre deux autres termes de la parenthèse donc je vais faire comme ça je vais prendre ça je vais le distribuer aux deux termes qui sont ici x et 2 donc alors je vais l'écrire la gx -3 du coup que j'ai x x x x et puis plus maintenant j'obtiens le deuxième terme deux fois alors je vais écrire plutôt dans le même ordre x - 3 x 2 x 2 voies là je mets pas de multiples signes multiplié sa pointe indique qu'on fait un produit alors voilà bah ça c'est vraiment il faut bien que tu comprennes ça ça c'est vraiment la propriété distributive it et que je vais écrire ici c'est comme si j'avais appelé ce nombre là x men 3 je l'appelle à et je vais faire cette opération là à x x + 2 et ça c'est égal alors je je je peux très bien distribué ce aïssi à x x et à foix 2 donc j'obtiens à x x plus à ça c'est à x x c'est cette multiplication la haf x x plus à fois de plus à foix 2 c'est vraiment ça que j'ai fait un sauf que j'ai pas appeler ce nombre a gelé laissé tel quel x - 3 alors maintenant pour continuer je vais encore une fois utilisé la propriété de distribuer tivité mais cette fois-ci écrite dans l'autre sens c'est à dire que je vais je vais faire je vais distribuer ce terme là aux deux autres termes de la parenthèse ensuite je vais faire la même chose ici avec le 2 que je vais distribuer aux deux termes de la parenthèse voilà alors je vais faire je vais garder le même code couleur comme ça ce sera un peu plus clair donc ici premier terme c'est ce x x ce x x x x ensuite j'ai ce deuxième terme - 3 x x moins trois fois x voilà ça c'est la propriété distributive it & associés à ce produit là l'appliquer à ce produit là pardon x x x - 3 x x c'est ça plus ensuite je fais la même chose avec cette ce produit qui est ici donc je vais distribuer le 2 donc le premier terme c'est x x 2 x x 2 ici x x 2 - 3 le deuxième terme - 3 x 2 - 3 x 2 et là je met un x ce que ces deux nombres ça ne semble plus clair voilà donc sas sas ont d égalité 1 alors maintenant je vais réécrire ça un peu plus correctement ici je peux dire que c'est alors je vais prendre une autre couleur cette fois ci ce terme-là x x x rappelle-toi cx puis 105 x x puissance 1 donc cx puissance 1 + 1 c'est à dire x au carré là j'ai moins 3 x 3 x est ici plus 6 x 2 c 2 x + 2 x et puis moins 3 fois 2 ça fait 6 - 6 donc j'ai x au carré - 3 x + 2 x fois ci c'est là je peux encore simplifier une autre veut un peu plus puisque je peux réunir ces deux termes ici gt2 terme en x1 donc j'ai combien de x en tout c'est ça qu'il faut se demander ici j'en ai moins 3 et là j'en ai deux donc moins 3 + 2 ça fait moins 1 donc j'ai en tout - 1 x - x donc là je peux écrire saïx carré - x - 6 voilà ça ça - 3 x + de zyc ça fait moins 6 voilà alors bon avant d'en faire un autre je voudrais quand même te faire remarquer que tu peux aller un peu plus vite que ça et qu'en fait ce qu'on fait quand on applique deux fois la propriété distributive it et qui est ici en fait on fait une la multiplication de chaque terme par chacun chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième donc on peut aller un petit peu plus vite je vais le faire ici quand on doit multiplier sa x - 3 x x + 2 et en fait on peut on fait d'abord le produit de ces deux termes là donc c'est x au carré ensuite le produit de ces deux termes ici x x 2 donc plus 2 x ensuite on fait le produit de ce terme ici fois ce terme là donc ça fait moins 3 x x et puis le produit de ce terme la fois ce terme là ici moins trois fois deux mois trois fois deux ça fait moins 6 donc on retrouve effectivement exactement le même polinum que ce qu'on avait écrit ici et quand on fait la dernière simplification on trouve encore x au carré - x16 voilà donc tu vois tu peux aller un petit peu plus vite en bon seïf il faut que tu t'entraînes parce que c'est avec l'entraînement que on fabrique ce genre de réflexe laddh voilà alors on va continuer on va en faire un autre alors on a vu comment on faisait pour multiplier un bonhomme par un binôme on a vu là maintenant juste à l'instant le le cadre d'un produit de deux binômes maintenant on va faire un peu plus compliqué on va essayer de multiplier un binôme par un trinôme binôme par un trinôme alors par exemple on peut faire faire cette multiplication la 3 x + 2 ça c'est un binôme multiplier on va dire par sa 9 x au carré - 6 x + 4 voilà alors demain ça je suis sûr que ça te fait ça ça fait pas à plein de gens mais si on garde la tête froide on ce qu'on s'énerve pas on reste calme et on garde en tête que on va procéder exactement de la même manière que dans les autres cas qu'on a vus avant donc on va en fait utilisé la distributive it et plusieurs fois on pourrait le faire hein le présent tf1 écrire les calculs en ligne comme ça on en distribuant d'abord ce terme-là 3x ensuite le deuxième voilà et ainsi de suite on et ont ensuite on ferait une simplification exactement comme dans le cas de tout à l'heure d'un produit de deux binômes mais là on aurait plus de termes bon voilà alors là je vais le faire un petit peu différemment parce qu'à une présentation qui est assez pratique qui est pas très classique mais à ces pratiques et que je conseille de connaître parce qu'elle simplifie un petit peu le le déroulé dont on fait rien d'autre que utiliser la bella la distributive ite mais avec une présentation qui simplifie un peu les choses alors voilà comment je vais faire je vais poser ça comme on pose une multiplication de nombre alors jouer d'abord écrire le le plus grand fin celui qui a le plus de termes 9x carré - 6 x + 4 et puis en dessous je vais écrire le deuxième qui est 3 x + 2 et alors je vais faire attention à bien aligner les choses comme quand on multiplie de nombre de quelconques on a la place pour les unités la place pour les dizaines la place pour les centaines et ainsi de suite là c'est pareil on va avoir la place pour les constantes les termes qui contiennent pas de x donc ici on les alignent on alla talent à la place des thermes ans qui contiennent des x donc là on les aligne aussi et puis on a la place des thermes qui contiennent des xo carré qu'on aligne ici alors l'oeil en accueillant au il y en a pas en bas on pourrait avoir des choses plus compliquées avec les termes en x au cube qu'on alignera si x puissance 4 et ainsi de suite voilà et là je vais tirer un trait pour faire comme d'habitude et je vais commencer à multiplier déjà ce terme là enfin le trinôme du dessus par ce terme là c'est ce que je vais commencer par faire donc je vais faire deux fois 4 2 x 4 ça fait 8 2 fois moins 6 x alors ça fait moins 6 x 2 x - 6 x 2 ça fait moins 12 donc là on a moins 12 x et puis ici on avait un plus que je fais descendre aussi donc je compte donc là pour l'instant en ayant multiplié 4 et -6 6 on obtient sa - 12 x + 8 et puis il nous faut aussi multiplier le 9,6 au carré par deux donc ne 2 x 9 x au carré ça fait 18 x au carré donc ça a c'est le résultat de 2 x 9 x au carré - 6 x + 4 alors ensuite ben je vais faire la même chose avec ce terme là donc je vais le faire en violet là pour pour bien différencier donc maintenant je vais faire ça 3 x j'ai multiplié le trinôme duo par 3 x alors 3 x x 4 ça fait trois fois 4 x a fait donc 12 x comme c'est un terme qui contient des x je vais l'écrire dans la colonne des x c'est-à-dire ici donc là j'ai 12 x + 12 x et puis hein alors ensuite j'ai moins 6 x x 3 x - 6 x x 3 x alors ça je peux l'écrire dire je vais faire les calculs directement - 6 x 3 ça fait moins 18 et puis x x x haf x o car est donc là j'ai moins 18,6 au carré donc j'écris ça ici - 18 x au carré je l'écris dans la colonne des xo carré 1 puisque cdx au carré voilà et puis il me reste maintenant ce terme là donc c'est 3 x x 9 x au carré peut l'écrire à côté si tu veux 3 x x 9 x au carré ça fait trois fois neuf trois fois neuf ça fait 27 puis xtx puissance 1 x x au carré ça fait x ^ 3 ^ +1 donc x au cube voilà donc ça je l'écris ici 27 x au pub et je l'écris dans la colonne d'après qui est la colonne dxo cube voilà et maintenant je et tout simplement additionner colonnes par colonne donc la g8 + 0 ça fait 8 - 12 +12 ça s'annule donc là j'ai 0 x1 que j'ai que je l'écris pas ici j'ai 18x au carré - 18x carré mais ça ça fait 18 x au carré - 18x aux caresses a fait zéro x o car est donc que je n'écris pas non plus et là j'ai zéro + 27 rixe au cube ça fait donc 27 x occupe donc je trouve finalement sa 27 x au cube +8 donc voilà j'ai terminé je peux dire que là c'est 27 x au cube +8 voilà alors j'insiste sur le fait que quand on fait ça en fait on a juste utilisé deux fois la distributive it et une fois d'abord en distribuant ce2 à tous les termes du trinôme ensuite en distribuant le 3 x à tous les termes du trinôme et et ensuite on a fait les simplifications c'est simplement la présentation ici qui change et qui avec cette disposition en colonne ça permet de voir tout de suite les termes qui s'annulent et qui et les simplifications qu'on peut faire voilà on pourrait faire ça avec n'importe quel autre multiplication de paulino main ici on pourrait avoir un polynôme de degré 5 avec des xkrs puissante 5 mx puissance 4 et puis ici un polynôme de degré 7 par exemple ça fonctionnera exactement de la même manière l'important c'est de bien disposés les choses en gardant en les alignements donc les constantes les termes en x le thermomix au caractère non x au cube et ainsi de suite bien alignés les uns avec les autres voilà