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Cours : 3e année secondaire > Chapitre 8 

Leçon 1: Introduction et résolution graphique

Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection de deux droites

La méthode expliquée à travers de nombreux exemples.
On peut résoudre graphiquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues. Voici la méthode. Soit le système :
y=12x+3
y=x+1
On trace la droite d'équation y=12x+3. C'est son équation réduite. Son ordonnée à l'origine est 3 et son coefficient directeur est égal à 1/2.
La droite d'une fonction linéaire est représentée dans le plan cartésien. L'axe horizontal des x va de moins 10 à 10 par graduation de 1. L'axe vertical y va de moins 10 à 10 par graduation de 1. La fonction est croissante. Elle passe par les points (moins 6, 0), (0, 3), et (8, 7). Des points pleins sont placés à (0, 3) et (2, 4).
On trace de même la droite d'équation y=x+1.
Les droites de deux fonctions linéaires sont tracées dans le plan cartésien. L'axe horizontal des x va de moins 10 à 10 par graduation de 1. L'axe vertical y va de moins 10 à 10 par graduation de 1. La droite en orange est croissante. Elle passe par les points de coordonnées (moins 6, 0), (0, 3), et (8, 7). Des points pleins de coordonnées (0, 3) et (8, 7) sont représentés. La droite en vert est croissante. Elle passe par les points de coordonnées (moins 1, 0), (0, 1), et (7,8). Les droites se coupent en (4, 5).
Ces deux droites ont un point d'intersection. Le couple de coordonnées de ce point d'intersection est la solution du système.
Les droites de deux fonctions linéaires sont tracées dans le plan cartésien. L'axe horizontal des x va de moins 10 à 10 par graduation de 1. L'axe vertical y va de moins 10 à 10 par graduation de 1. La droite en orange est croissante. Elle passe par les points de coordonnées (moins 6, 0), (0, 3), et (8, 7). Des points pleins de coordonnées (0, 3) et (8, 7) sont représentés. La droite en vert est croissante. Elle passe par les points de coordonnées (moins 1, 0), (0, 1), et (7,8). Les droites se coupent en (4, 5). Il y a un point plein en (4, 5) où se coupent les droites.
En effet, les coordonnées (x,y) de chacun des points de la droite orange vérifient l'égalité y=12x+3 et les coordonnées (x,y) de chacun des points de la droite verte vérifient l'égalité y=x+1. Donc les coordonnées du point d'intersection des deux droites vérifient les deux égalités.

Vérification

On a trouvé graphiquement que le couple solution du système est le couple (4,5). Pour vérifier, on remplace x par 4 et y par 5 dans chacune des équations.
La première équation :
y=12x+35=?12×4+35=5
La deuxième équation :
y=x+15=?4+15=5
Donc le couple (4,5) est bien le couple solution.

À vous !

Exercice 1

On a tracé les droites dont les équations sont celles du système suivant :
y=3x7
y=x+9
Les droites de deux fonctions linéaires sont tracées dans le plan cartésien. L'axe horizontal des x va de moins 10 à 10 par graduation de 1. L'axe vertical y va de moins 10 à 10 par graduation de 1. La droite en orange est décroissante. Elle passe par les points de coordonnées (moins 5, 8), (moins 3, 2), et (0, moins 7). La droite en vert est croissante. Elle passe par les points de coordonnées (moins 9, 0), (moins 6, 3), et (0,9). Les droites se coupent en (moins 4, 5).
Quel est le couple solution de ce système ?
x=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
y=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exercice 2

Soit le système
y=5x+2
y=x+8
Tracer les droites dont les équations sont chacune des équations du système.
Quel est le couple solution de ce système ?
x=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
y=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exercice 3

Soit le système
8x4y=16
8x+4y=16
Tracer les droites dont les équations sont chacune des équations du système.
Quel est le couple solution de ce système ?
x=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
y=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

D'autres exercices

1) On donne ci-dessous la première étape de la résolution graphique d'un système. Quel est le nombre de couples solutions de ce système ?
Choisissez une seule réponse :
Les droites de deux fonctions linéaires sont tracées dans le plan cartésien. L'axe horizontal des x va de moins 10 à 10 par graduation de 2. L'axe vertical y va de moins 10 à 10 par graduation de 2. La droite en orange est décroissante. Elle passe par les points de coordonnées (moins 6, 8), (moins 1, 0), et (0, moins 1). La droite en vert est croissante. Elle passe par les points de coordonnées (moins 0, 0), (3, 0), et (3,6). Les droites se coupent en un point d'abscisse comprise entre moins 2 et 0 et d'ordonnée comprise entre 0 et 2.

2) On donne ci-dessous la première étape de la résolution graphique d'un système. Quel est le nombre de couples solutions de ce système ?
(Les deux droites sont strictement parallèles.)
Choisissez une seule réponse :
Les droites de deux fonctions linéaires sont tracées dans le plan cartésien. L'axe horizontal des x va de moins 10 à 10 par graduation de 2. L'axe vertical y va de moins 10 à 10 par graduation de 2. La droite en orange est croissante. Elle passe par les points de coordonnées (moins 6, moins 7), (moins 1, 3), et (0,5). La droite en vert est croissante. Elle passe par les points de coordonnées (0, moins 1), (2, 3), et (4,7). Les droites sont parallèles.

3) On donne ci-dessous la première étape de la résolution graphique d'un système. Quel est le nombre de couples solutions de ce système ?
(Les deux droites sont confondues.)
Choisissez une seule réponse :
Les droites de deux fonctions linéaires sont tracées dans le plan cartésien. L'axe horizontal des x va de moins 10 à 10 par graduation de 2. L'axe vertical y va de moins 10 à 10 par graduation de 2. La droite en orange est croissante. La droite en vert est croissante. Elle passe par les points de coordonnées (moins 6, 0), (0, 2), et (6,4). Les droites sont parallèles.

4) Un système du premier degré à deux inconnues peut-il avoir exactement deux couples solutions ?
Aide : Pensez aux exercices précédents.
Choisissez une seule réponse :

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