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3e année secondaire

Chapitre 3 : Leçon 23

Résoudre un système d'équations du premier degré par addition, combinaison ou avec un système équivalent

La méthode par substitution

La méthode expliquée à travers de nombreux exemples.
Il s'agit de résoudre le système :
y, equals, 2, x, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, e, with, \', on top, q, u, a, t, i, o, n, space, 1, end text, end color gray
x, plus, y, equals, 24, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, e, with, \', on top, q, u, a, t, i, o, n, space, 2, end text, end color gray
La difficulté est qu'il y a deux inconnues.
D'après l'équation 1, start color #e07d10, y, end color #e07d10 est égal à start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10. Donc on peut remplacer start color #e07d10, y, end color #e07d10 par start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10 dans l'équation 2. Et cette équation sera alors une équation à une seule inconnue.
x+y=24eˊquation 2x+2x=24On a remplaceˊ y par 2x\begin{aligned} x + \goldD y &= 24 &\gray{\text{équation 2}} \\\\ x + \goldD{2x} &= 24 &\gray{\text{On a remplacé y par 2x}}\end{aligned}
On la résout :
On a obtenu que x est égal à 4. On calcule la valeur de y en remplaçant x par 4 dans la première équation.
y=2xeˊquation 1y=2×8y=16\begin{aligned} y &= 2\blueD x &\gray{\text{équation 1}} \\\\ y &= 2×\blueD8 &\gray{\text{}}\\\\ \greenD y &\greenD= \greenD{16}\end{aligned}
Le couple solution du système est le couple left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, space, ;, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis. On vérifie !
Ce couple est-il solution de la première équation ?
y=2x16=?2×816=16Exact !\begin{aligned} y &= 2x \\\\ \greenD{16} &\stackrel?= 2×\blueD{8} &\gray{\text{}}\\\\ 16 &= 16 &\gray{\text{Exact !}}\end{aligned}
Ce couple est-il solution de la deuxième équation ?
x+y=248+16=?2424=24Exact !\begin{aligned} x +y &= 24 \\\\ \blueD{8} + \greenD{16} &\stackrel?= 24 &\gray{\text{}}\\\\ 24 &= 24 &\gray{\text{Exact !}}\end{aligned}
Le couple left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, space, ;, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis est bien le couple solution du système.
Cette méthode s'appelle la méthode de substitution.
Résoudre ce système par la méthode de substitution.
4, x, plus, y, equals, 28
y, equals, 3, x
x, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Parfois il faut commencer par exprimer l'une des variables en fonction de l'autre

Soit à résoudre ce système :
minus, 3, x, plus, y, equals, minus, 9, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, e, with, \', on top, q, u, a, t, i, o, n, space, 1, end text, end color gray
5, x, plus, 4, y, equals, 32, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, e, with, \', on top, q, u, a, t, i, o, n, space, 2, end text, end color gray
Avant toute chose, il faut exprimer l'une des variables en fonction de l'autre.
Etape 1 : On exprime l'une des variables en fonction de l'autre.
On déduit de la première équation l'expression de y en fonction de x :
3x+y=9eˊquation 13x+y+3x=9+3xy=9+3x\begin{aligned} -3x + y &= -9 &\gray{\text{équation 1}} \\\\ -3x + y + \maroonD{3x} &= -9 +\maroonD{3x} &\gray{\text{}} \\\\ y &= {-9 +3x} &\gray{\text{}}\end{aligned}
Etape 2 : On remplace y par cette expression dans la deuxième équation et on résout l'équation d'inconnue x obtenue.
5x+4y=32eˊquation 25x+4(9+3x)=32On a remplaceˊ y par -9 + 3x5x36+12x=3217x36=3217x=68x=4\begin{aligned} 5x + 4\goldD y &= 32 &\gray{\text{équation 2}} \\\\ 5x +4(\goldD{-9 + 3x}) &= 32 &\gray{\text{On a remplacé y par -9 + 3x}} \\\\ 5x -36 +12x &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x - 36 &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x &= 68 &\gray{\text{}} \\\\ \blueD x &\blueD= \blueD4 &\gray{\text{}}\end{aligned}
On en déduit la valeur de y :
3x+y=9eˊquation 13×4+y=9On a remplaceˊ x par 412+y=9y=3\begin{aligned} -3\blueD x + y &= -9 &\gray{\text{équation 1}} \\\\ -3×\blueD{4} +y &= -9 &\gray{\text{On a remplacé x par 4}} \\\\ -12 + y &= -9 &\gray{\text{}} \\\\ \greenD y &\greenD= \greenD3 &\gray{\text{}} \end{aligned}
Le couple solution est le couple left parenthesis, start color #11accd, 4, end color #11accd, space, ;, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.

À vous !

1) Résoudre ce système par la méthode de substitution.
2, x, minus, 3, y, equals, minus, 5
y, equals, x, minus, 1
x, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Résoudre ce système par la méthode de substitution.
minus, 7, x, minus, 2, y, equals, minus, 13
x, minus, 2, y, equals, 11
x, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Résoudre ce système par la méthode de substitution.
minus, 3, x, minus, 4, y, equals, 2
minus, 5, equals, 5, x, plus, 5, y
x, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text