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3e année secondaire

Chapitre 3 : Leçon 23

Résoudre un système d'équations du premier degré par addition, combinaison ou avec un système équivalent

Résoudre un système d'équations par addition

Encore un exemple. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

alors maintenant que tu connais la méthode graphique et la méthode par substitution pour résoudre un système je vais te montrer comment on utilise une méthode qui s'appelle la méthode par élimination et à ce moment là tu sauras tu connaîtras toutes les méthodes d'antan sera autant que moi et n'importe quel mathématicien sur la résolution d'un système de deux équations avec deux inconnues on va appliquer ça à cet exemple le système 3 x + 4 y est égal à 2,5 et 2e équation 5 x man 4 y 5x -4 y est égal à 25,5 alors un réflexe que tu devrais avoir quand tu vois ce genre d'équations c'est que ce 2,5 à 125,5 devrais te déranger un peu et tu aimerais bien manipuler des nombres entiers donc on va multiplier chacune de ces équations par deux ce qui fait qu'on obtient 6 x + 8 y 1 est égal à 2 5 x 2 c'est comme cinq de mille fois 2e en fait ça donne 5 et on va appliquer la même chose en bas on aimerait bien avoir des nombres entiers donc on va x 2 10 x -8 y est égal à 51 qu'est ce que 25 demi 25.5 correspond à 51,2 me voilà ce sera plus facile à manipuler cette expression alors en quoi consiste la méthode par élimination et bien comme sûr lundi qu'il s'agit d'éliminer une des inconnues directement comment est-ce qu'on va éliminer une inconnue et bien par exemple va prendre cette première équation qu'est la première équation en jaune et ovins lui ajouter ou lui soustraire quelque chose afin d'enlever une inconnue ici quelque chose qui devrait sauter aux yeux c'est assez gros comme une maison en fait c'est que si on ajoute cette expression 10x -8 y à celle ci 6x +8 y ait dans l'es8 y vont s'annuler ils vont disparaître alors bien sûr on a le droit d'ajouter 10 x -8 y à gauche ici du moment qu'on la joute aussi à droite donc il faudra faire 5 + 10 x man 8 y mais au lieu de faire 5 + 10 6 - huit îles grecques et ben on va remplacer 10x moins huit îles grecques par 51 parce que 10 x -8 y est égal à 51 d'après cette équation anvers donc allons-y et pour présenter ton travail je te propose de nommer les équations quand on utilise la méthode par élimination c'est bien de donner des noms à des équations on voit les nommer l1 l2 comme ligne 1 et lignes 2 et l'opération qu'on s'était proposé de faire c'était l'opération l1 + l2 on va additionner l1 et l2 qu'est ce que ça nous donne ça me donne la chose suivante l1 donc 6 x + 8 y auxquels j'ajoute l'expression dont l2 donc plus 10x -8 y est à quoi est égal cette expression qui mélange nous deux équations et bien elle est égale à 6 x + 8 irak c'est à dire 5 + 10 x -8 y dix experts lui dirai qui est égal à 51 donc voilà on a une équivalence parfaite entre le côté gauche et le côté droit on est d'accord alors prochaine étape il s'agit d'abord d'éliminer les huit irex était bien là le but de toute cette opération est ensuite d'ajouter 6 x 10 x qu'il faut saisir ce qui est égal à 5 + 51 56 hockey on va maintenant divisée par 16 des deux côtés 56 / 16 ou là un peu de calcul mental s'annonce donc la manière la plus facile on va d'abord divisé par deux ans le numérateur et le dénominateur ça va on aura une expression plus simple 56 / de 25 + 3 28 / 7 / de 8 ok maintenant c'est plus simple 28 et 8 sont tous les deux multiples de 4 28 / 4 7 8 / 4 2x est égal à 7 2 me x eagle 7/2 on a trouvé la première inconnue et maintenant pour trouver la deuxième inconnue qu'est ce qu'on fait on va injecter x dans une de ces deux expressions on peut choisir une expression au hasard je vais prendre la deuxième on va injecter x dans la deuxième la valeur de x dans la 2ème équation est on va pouvoir avoir une équation ou y est la seule inconnue donc allons-y on va écrire l2 à nouveau l'équation l2 cette fois en connaissant la valeur de x donc dix fois sept 2010 soit 7 2 me -8 y est égale à cinq ans terme 51 qu'est ce que ça donne 10 fois cette demie ça fait 70 / 2 35 - 8 y est égal à 51 ou la soustraire maintenant 35 des deux côtés et obtenir moins huit y est égal à 51 - 35 fait 21 - 5,16 donc y est égale à 16 / - 8 on a / - 8 des deux côtés et ça donne y est égal à 2 - 2 y est égal à - 2 voies laïque segal 7/2 et jacques égal moins de attention c'est pas fini on va maintenant vérifier que c'est le couple 7,2 me -2 et bien solution du système au garage réinjecter les valeurs de x et y dans chaque équation est vérifié notre réponse donc d'abord on va vérifier pour l un est ce que six fois cette demie plus huit fois moins deux m'est égal à 5 6 x 7 sur deux ça fait trois facettes 21 8 fois moins de -16 oui c'est bon 21 - 16 est égal à 5 s'est vérifié pour la première équation pour la 2eme équation est ce que 10 fois cette demi mois huit fois moins deux fonds 151 on va voir soit 7 donc 70 sur 2 35 - huit fois moins deux fonds +16 est-ce que 35 + 16 est égal à 51 et oui c'était bien le cas donc on a également vérifié que le couple 7,2 me -2 et solutions de la deuxième équations et donc du système en entier allez on va se motiver maintenant pour appliquer ces nouvelles connaissances qu'on a la connaissance de la méthode par élimination pour sur un problème on va l'appliquer à un problème alors quel est le problème à lire ensemble nathalie et pierre vont acheter des bonbons nathalie achète trois barres de chocolat trois bars et 4 pas de fruits quatre pattes de fruits pour un total de 284 voilà les informations sur l'achat de la tête en jaune pierre achète aussi trois barres de chocolat trois barres de chocolat mais avec si l'urss ne peut s'offrir qu'une seule patte de free donc une pâte de fruit et le tout lui coûte un euro 79 voilà envers les informations principales sur l'achat de pierre la question combien coûte une barre de chocolat et combien coûte une pâte de fruit donc premier réflexe on va poser les inconnus on a deux inconnus le prix d'une barre de chocolat et le prix d'une pâte de fruit soit b le prix d'une barre de chocolat et soit paie le prix d'une pâte de fruit b comme ben harper comme pat le défi qui se présente à nous est à présent de mettre sous forme mathématique des informations qu'on a ici sous forme de texte et obtenir un système d'équations qu'on sait résoudre à présent par la méthode par élimination alors allons-y l'information en jaune trois barres de chocolat ça coûte combien 3par de chocolat je sais qu'une barre de chocolat coûte des donc trois barres de chocolat coûte 3 b on est d'accord ou trois barres de chocolat coûte 3 b 4 pâtes de fruits coûte 4 p donc trois barres de chocolat et quatre pattes de fruits coûte 3 b + 4 b qui font 2 euros 84 d'après l'information sur l'achat de nathalie même logique pour pierre trois barres de chocolat coûte 3 b une pâte de fruits coupés et donc trois barres de chocolat une pâte de fruits doivent coûter 1 euros 79 d'après l'information que j'ai souligné à anvers ici l'information sur pierre comment est-ce qu'on va résoudre ce système d'équations et avec la méthode par élimination c'est très pratique très pratique parce qu'on remarque tout de suite qu'on a trois baies en eau et 3b en bas donc on est très tenté de prendre cette expression est de soustraire cette expression ça fera sa éliminera 3b ça fera disparaître 3d et donc on a le droit de faire ça on a le droit de soustraire 3v + pays si du mans qu'on le soustrait ici aussi et vu que c'est égal à 1 219 on va soustraire 1.79 ici donc allons-y maintenant on sait faire ça on va faire l1 - l2 1 - l2 pas plus celle de ses sert à rien de faire plus celle de hollande obtiendrait 6 p tit b pardon à la place de 0 b non veut éliminer b c'est ça notre objectif alors bien sûr on a nommé l1 et l2 nos deux équations et qu'est ce qui se passe quand on fait l1 - l2 et ben on obtient trois des plus capter auquel je vais soustraire je vais soustraire 3 des puces p3b plus p et qu'est ce que j'obtiens quand je fais ça j'obtiens 3v + 4 p qui font 2 84 d'après elle 1 - 3 b + paix qui font 1,79 d'après elle de 1,79 prochaine étape alors 3b et - 3 b vont s'éliminer 4 p - p font 3 p et à droite on obtient 284 -79 donc 2 - 1 1 au niveau des unités et après la virgule 84 - 79 font 14 - 9 qui font cinq donc 1,05 et obtient donc paix est égal à 1 05 / 3 on a divisé par trois des deux côtés je veux maintenant poser la division 1 05 / 3 alors 10 / 3 3 il ne reste un 15 / 3,5 et il me reste 0 3 x 5 15 donc le prix d'une pâte de fruit et de 35 centimes p égal 0 35 euro la prochaine qu'on est apte consiste à injecter la valeur de p 0,35 dans une des deux équations et de résoudre une équation où la seule inconnue serait bon alors je vais plutôt l'injecter dans la 2ème équation elle me plaît plus parce que je n'aurais pas faire la multiplication par 4 écrivons cette deuxième équation l2 maintenant que je connais p je peux écrire 3b plus 0.35 est égal à 1,79 donc 3b est égal à 1,39 moins 5 44 ans bien 44 g soustrait 0,35 des deux côtés étape finale on divise par trois de chaque côté et on obtient un vieil 44 sur trois idem je vais poser la division donc à 1,44 / 3 14 / 3 4 1 3 x 4 12 14 - 12 2 donc il me reste 2 et 24 / 3,8 en faut 8 24 il me reste 0 donc le prix d'une barre de chocolat et de 48 centimes d est égal à 0 48 ça y est on a résolu notre système est comme d'habitude je te conseille à la maison de vérifier que le couple 0.35 0,48 et bien en solutions de ce système d'équations