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3e année secondaire

Chapitre 3 : Leçon 23

Résoudre un système d'équations du premier degré par addition, combinaison ou avec un système équivalent

Comment résoudre un système du 1er degré par addition

. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

dans les dernières vidéos on a appris à résoudre des systèmes d'équations avec trois méthodes différentes lames et ados graphique la méthode par substitution et la méthode par élimination à ce stade on remarque néanmoins qu'avec la méthode graphique et la méthode par substitution on peut résoudre tous les systèmes d'équations possible alors qu'avec la méthode par élimination pour l'instant on s'est entraîné que sur les systèmes d'équations où il y avait un terme commun et où il suffisait de soustraire ou d'additionner les deux équations pour éliminer une inconnue donc il s'agit d'un genre extrêmement limité de systèmes d'équations et bien sûr on aimerait généraliser cela à tous les systèmes d'équations possible prenons par exemple ce système d'équations où on n'a pas un tel cas première équation l 1 5x -10 y est égal à quinze et équations l2 3 x -2 y est égal à 3 voilà il ya toute une variété de facteurs 5 3 - 10 - 2 on peut pas juste faire l1 - l2 ou alain pluss l2 et se débarrasser bien d'une inconnue de cette manière lorsqu'on est confronté à ce genre de situation il faut d'abord manipuler une des deux équations de sorte à avoir justement un facteur commun qui apparaissent un terme commun qui apparaissent et deux autres qu'on puisse tout simplement additionner les deux nouvelles équations et éliminer une inconnue je vais t'aider en regardant ces deux termes et la moins dix y ait moins 2 y il ya quelque chose qu'on peut faire pour faire en sorte que l un plus el2 élimine une des deux inconnus alors ce qu'il faut faire c'est de multiplier l'équation l2 par -5 et dans ce cas là on obtiendrait 10 y ici moins deux fois moins cinq et dix y ait en faisant l1 + l2 - didier dulac et dizaine rex annulerait alors faisons cela et privons l'équation - 6 5l de -5 l2 donne moins 15 x + 10 y est égal à moins 15 tu remarqueras que moins cinq fois l2 est exactement équivalent l2 on va réécrire l'équation l1 en pour faciliter la lecture pour faciliter l'addition qu'on s'apprête à faire 5 ticks -10 y est égal à 15 on obtient maintenant deux équations qui ressemble au cac on a traité la dernière fois c'est à dire que ici on additionne en l1 et -5 l2 - 10 y est plus direct qu'on salue les allons-y et privant maintenant l1 - 5 l2 nous voyons ce que ça donne l1 - 5 l2 ça donne 5 x -10 y moins 15 x plus lisible ac est égale à une fois de plus 5 x monde y est égal à 15 donc on peut dire faire 15 et moins 15 x + 10 y est égal à -15 donc vivons moins 15 on obtient donc la chose suivante - didier leick est plus direct ça nul est ici d'ailleurs 15 - 15-0 ce qui fait qu'on obtient l'équation 5 x - 15 x donc moins 10 x est égal à zéro et cela est possible seulement si x est égal à zéro donc on a trouvé x et maintenant pour trouver y il suffit de substituer x dans une des deux équations et de résoudre par exemple on va mettre x on va le l'injecter ici allez on va l'injecter dans cette deuxième équations et on obtient du coup en réécrivant cette équation l2 on obtient trois fois 0 qui feront 0 - 2 y est égal à 3 ce qui donne moins deuxième claque égal 3 donc y est égal à -3 2 me / - deux des deux côtés et on a obtenu -3 2 me xxi galles 0 et y gagnent moins trois demis vérifions si ça marche et bien pour les deux équations réécrivons l1 cinq fois 00 - 10 fois moins trois demis et ce qu'on obtiendra 15 oui moins dix fois moins 3,2 me font bien 15 vérifions maintenant pour elle 2 3 fois 0-0 - deux fois moins trois demies c'est bien égal à 3 - 2 et - 2 ici ça nul on obtient 3 c'est bon on a résolu ce système d'équations en utilisant la méthode par élimination quirky arrêt au début de d'effectuer une manipulation sur l'équation l2 afin de pouvoir éliminer les termes moins dix y ait plus d y travaillons maintenant sur un autre exemple un peu plus complexe encore travaillant sur le système suivant première équation 5x plus cette y est égal à 15 les deuxièmes équation 7x -3 y est égal à 5 alors pourquoi est-ce que cet exemple est un peu plus difficile que l'autre et ben c'est parce qu'il n'ya pas un entier par lequel on peut multiplier la ligne 1 ou la ligne 2 afin d'obtenir une élimination possible dans ce cas là la méthode qui est la plus pratique et de choisir une de deux inconnus on va prendre à les x par exemple est de trouver entre les deux facteurs ici entre 5 et 7 quel est le plus petit commun multiple dans ce cas là il s'agit de 35 c'est à dire que si on multiplie ici cinq par set on obtiendra 35 est ici cette part 5 on obtiendra 35 également et on pourra effectuer l1 - l2 et ainsi éliminer le facteur 35x écrivons d'abord l'équation cette fois l 1 cette l1 qui est exactement équivalente à alain et qui donne 35 x + 7 x 7 49 y est égal à cette fois 5,35 cette fois en 7 et 3 10 105 écrivons 5 l2 et là on va voir apparaître une fois de plus 35 x 7 x 5 35 knicks donc là tu sens bien qu'on va pouvoir éliminer ces deux termes moins trois fois 5 15 y est égal à 5 fois 5 25 on obtient ainsi un système qui est parfaitement équivalent au premier quart le fait de multiplier une équation l'ensemble d'une équation par un nombre fait qu'on maintient toujours l'équivalence à présent on va faire ce que tu sais déjà faire c'est à dire prendre la première ligne soustraire la deuxième ligne est éliminé utiliser la méthode par élimination donc allons-y effectué l'opération cette l1 - 5 l2 en ce moment à faire une soustraction cette fois ci qu'est ce qu'on obtient d'abord cette fois l1 il s'agit de 35 x + 49 irak +49 you like et ensuite on va soustraire 5 l2 séquelles 2 qui correspond à 35 x man 15 irak et à quoi cela est égal c'est égal à cette l1 c'est à dire sans 5 - 5 l2 c'est à dire moins 25 à l'étape d'après comme on s'y attendait 35 x et moins 35 x vont s'annuler 49 y moins -15 y donne 49 y plus qu'à y ce qui correspond à 54 64 64 y qui est égal à 105 25 81 81 l'étape d'après / 64 des deux côtés donc y est égal à 80 sur 64 division par huit ans aux rencontres tout de suite que 80 et 64 sont tous les deux des multiples de 8,80 divisé par huit dalles 10,64 / 8 donne 8 on peut encore simplifiée division par deux et on obtient 5 car y est égal à 5 car à présent comme d'habitude on va injecter y dans une des deux équations et résoudre l'équation pour obtenir x je vais l'injecter ici et réécrire l2 en connaissant la valeur de y c'est à dire 7x mois trois fois cinq cartes roi et black donc trois fois cinq gars est égal à 5,7 x mois 3,75 15/4 en 15/4 est égal à 5 alors cette fraction on va essayer de se débarrasser du numérateur donc multiplier l'ensemble de l'équation par quatre et on obtient cette fois 4 28 donc 28 6 mois 15 4 x 4 15 est égal à 5 x 4 vents d'accord l'étape d'après donne 28 x est égal à 35 on a additionné 15 des deux côtés et finalement x et hey à la 35 / 28 on a divisé par 28 des deux côtés vont remarquer 35 et 28 sont tous les deux multiple de 7 donc on va diviser par sept et on obtient 5 car cette fois 5,35 cette fois 4 28 x est égal à 5/4 alors comme d'habitude on va vérifier qu'on a bien la bonne réponse est d'abord on va y arriver vers l'équation l1 en connaissant les valeurs de x alors et de y 5 x 5 kardon car plus cette fois cinq gars de 35 car le tout est égal à 60 car et 60 car est bien égal à quinze c'est pour la première équation est vérifiée deuxième équation cette fois cinq cars est égal à 35 car 5/4 moins trois fois cinq cars est égal à 15/4 le tout étayé à la 35 - 15 c'est à dire 20 20 car est ce que dans le car est égal à 5 oui bien sûr vainqueur est égal à 5 donc on a bien vérifié la deuxième équation également la solution à ce système est bien le couple 5/4 5/4