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Nombre de solutions d'un système de deux équations du 1er degré

Pour faire le point.
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one-half. A graph of a line goes through the points negative one-half, three and three, two. A graph of another line goes through the points zero, zero and one, one. These two lines intersect at an x-value between two and three and a y-value between two and three.
Un couple solution unique. Les équations sont celles de deux droites sécantes.
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one-half. A graph of a line goes through the points one, one and a half and three, one. A graph of another line goes through the points one, two and a half and three, two. These two lines never intersect.
Aucun couple solution. Les équations sont celles de deux droites strictement parallèles.
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one-half. A graph of a line goes through the points zero, one and a half and three, two. A graph of another line goes through the points zero, one and a half and three, two. These lines overlap entirely.
Une infinité de couples solutions. Les équations sont celles de deux droites confondues.

Exemple de système ayant un unique couple solution

Soit ce système :
y=6x+83x+y=4\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ 3x+y&=-4 \end{aligned}
On retranche 3 aux deux membres de la deuxième équation pour avoir l'équation réduite de la deuxième droite.
y=6x+8y=3x4\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ y&=-3x-4 \end{aligned}
Les deux droites ont des coefficients directeurs différents, donc elles sont sécantes. Voici leurs tracés :
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one-half. The equation y equals negative six x plus eight is graphed going through the points zero, eight and one, two. The equation three x plus y equals negative four is graphed going through the points zero, negative four and one, negative seven. These lines intersect at a value that is below the graph.
Les deux droites sont sécantes, donc le système a un unique couple solution.

Exemple de système n'ayant pas de couple solution

Soit ce système :
y=3x+9y=3x7\begin{aligned} y &= -3x+9\\\\ y &= -3x-7 \end{aligned}
Ces deux droites ont le même coefficient directeur, donc elles sont parallèles. Leurs ordonnées à l'origine sont différentes, donc elles sont strictement parallèles. Elles n'ont pas de point d'intersection.
Le système n'a pas de couple solution.

Exemple de système ayant une infinité de couples solutions

Soit ce système :
6x+4y=23x2y=1\begin{aligned} -6x+4y &= 2\\\\ 3x-2y &= -1 \end{aligned}
Si on multiplie la deuxième équation par minus, 2, on obtient la première équation :
3x2y=12(3x2y)=2×(1)6x+4y=2\begin{aligned} 3x-2y &= -1\\\\ \blueD{-2}(3x-2y)&=\blueD{-2}×(-1)\\\\ -6x+4y &= 2 \end{aligned}
Ces deux équations sont des équations de la même droite. Tout couple solution de la première équation est solution de la deuxième. Une équation du 1er degré à deux inconnues a une infinité de couples solutions, donc le système a une infinité de couples solutions.

À vous !

Exercice 1
Quel est le nombre de solutions de ce système ?
y=2x+47y=14x+28\begin{aligned} y &= -2x+4\\\\ 7y &= -14x+28 \end{aligned}
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices :
  • Déterminer graphiquement le nombre de couples solutions d'un système
  • Déterminer algébriquement le nombre de couples solutions d'un système

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