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# Nombre de solutions d'un système de deux équations du 1er degré

Pour faire le point.
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one-half. A graph of a line goes through the points negative one-half, three and three, two. A graph of another line goes through the points zero, zero and one, one. These two lines intersect at an x-value between two and three and a y-value between two and three.
Un couple solution unique. Les équations sont celles de deux droites sécantes.
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one-half. A graph of a line goes through the points one, one and a half and three, one. A graph of another line goes through the points one, two and a half and three, two. These two lines never intersect.
Aucun couple solution. Les équations sont celles de deux droites strictement parallèles.
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one-half. A graph of a line goes through the points zero, one and a half and three, two. A graph of another line goes through the points zero, one and a half and three, two. These lines overlap entirely.
Une infinité de couples solutions. Les équations sont celles de deux droites confondues.

### Exemple de système ayant un unique couple solution

Soit ce système :
\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ 3x+y&=-4 \end{aligned}
On retranche 3 aux deux membres de la deuxième équation pour avoir l'équation réduite de la deuxième droite.
\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ y&=-3x-4 \end{aligned}
Les deux droites ont des coefficients directeurs différents, donc elles sont sécantes. Voici leurs tracés :
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one-half. The equation y equals negative six x plus eight is graphed going through the points zero, eight and one, two. The equation three x plus y equals negative four is graphed going through the points zero, negative four and one, negative seven. These lines intersect at a value that is below the graph.
Les deux droites sont sécantes, donc le système a un unique couple solution.

### Exemple de système n'ayant pas de couple solution

Soit ce système :
\begin{aligned} y &= -3x+9\\\\ y &= -3x-7 \end{aligned}
Ces deux droites ont le même coefficient directeur, donc elles sont parallèles. Leurs ordonnées à l'origine sont différentes, donc elles sont strictement parallèles. Elles n'ont pas de point d'intersection.
Le système n'a pas de couple solution.

### Exemple de système ayant une infinité de couples solutions

Soit ce système :
\begin{aligned} -6x+4y &= 2\\\\ 3x-2y &= -1 \end{aligned}
Si on multiplie la deuxième équation par minus, 2, on obtient la première équation :
\begin{aligned} 3x-2y &= -1\\\\ \blueD{-2}(3x-2y)&=\blueD{-2}×(-1)\\\\ -6x+4y &= 2 \end{aligned}
Ces deux équations sont des équations de la même droite. Tout couple solution de la première équation est solution de la deuxième. Une équation du 1er degré à deux inconnues a une infinité de couples solutions, donc le système a une infinité de couples solutions.

## À vous !

Exercice 1
Quel est le nombre de solutions de ce système ?
\begin{aligned} y &= -2x+4\\\\ 7y &= -14x+28 \end{aligned}
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices :
• Déterminer graphiquement le nombre de couples solutions d'un système
• Déterminer algébriquement le nombre de couples solutions d'un système

## Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

• comment écrire un système d’équation du premier degré a 2 inconnus dont le couple (3,2) est l'unique solution
(1 vote)
• dixit : "Les droites dont les équations sont les équations du système sont confondues."

Not sure that's french !;)
(1 vote)
• Vous préféreriez "Les équations sont celles de deux droites confondues" ?
(Idem pour sécantes ou strictement parallèles)
(1 vote)
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