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3e année secondaire

Chapitre 5 : Leçon 10

Fonctions affines

L'équation réduite d'une droite

Qu'appelle-t-on l'équation réduite d'une droite ? Comment déduire de cette équation de la droite son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine ? Comment établir l'équation réduite d'une droite ?

Prérequis :

  • Vous connaissez les équations du premier degré à deux inconnues. Vous savez que les couples-solutions d'une telle équation sont les coordonnées des points d'une droite.
  • Vous savez déterminer les points d'intersection d'une droite avec les axes. Vous savez ce qu'est le coefficient directeur d'une droite.

Le sujet traité

  • Qu'appelle-t-on l'équation réduite d'une droite ?
  • Comment déduire de l'équation réduite d'une droite son coefficient directeur et son point d'intersection avec l'axe des y ?
  • Comment établir l'équation réduite d'une droite dont on connaît le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine ?

Qu'appelle-t-on l'équation réduite d'une droite ?

L'équation réduite d'une droite, non parallèle à l'axe des y, est de la forme :
y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f
start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 et start color #0d923f, b, end color #0d923f sont deux nombres réels. Voici trois exemples d'équations réduites :
Voici des équations de droite qui ne sont pas des équations réduites.
  • 2, x, plus, 3, y, equals, 5
  • y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
  • x, equals, 4, y, minus, 7
Une droite a autant d'équations que l'on veut... La plus simple de toutes est son équation réduite.

Les coefficients m et b

L'équation réduite d'une droite a le mérite d'être simple, mais ce n'est pas son seul mérite, elle donne directement les caractéristiques de la droite :
  • start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 est le coefficient directeur de la droite.
  • start color #0d923f, b, end color #0d923f est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. start color #0d923f, b, end color #0d923f est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite.
Par exemple, pour la droite d'équation y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f, le coefficient directeur est start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 et l'ordonnée à l'origine est start color #0d923f, 1, end color #0d923f.
A coordinate plane. The x- and y-axes each scale by one. The graph of the line is y equals two x plus one. The y-intercept, zero, one, is plotted and labeled. There is a horizontal dotted segment from zero, one to one, one. There is a vertical dotted segment from one, one to one, three. The dotted segments are labeled slope equals two.
C'est là tout l'intérêt de l'équation réduite !

À vous !

Exercice 1
Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation y, equals, 5, x, minus, 7, space, question mark
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 2
Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation y, equals, x, plus, 9, space, question mark
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 3
Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite d'équation y, equals, minus, 6, x, minus, 11 avec l'axe des ordonnées ?
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 4
Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite d'équation y, equals, 4, x avec l'axe des ordonnées ?
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 5
Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation y, equals, 1, minus, 8, x, space, question mark
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 6
Si une droite passe par le point de coordonnées left parenthesis, 0, space, ;, space, 4, right parenthesis, son équation réduite peut être :
Choisissez toutes les réponses possibles :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Une question
Lequel des deux coefficients d'une équation réduite est-il le coefficient directeur ?
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Défi 1
A coordinate plane. The horizontal axis is labeled x. The vertical axis is labeled y. The graph of the line is falling from left to right and has a positive y-intercept.
L'équation réduite de cette droite peut être :
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

Défi 2
L'équation réduite de la droite de coefficient directeur 10 et d'ordonnée à l'origine minus, 20 est :
 

Justification

Comment justifie-t-on que le coefficient directeur est start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 et que l'ordonnée à l'origine est start color #0d923f, b, end color #0d923f, space, question mark
Il n'y a rien de magique ! D'ailleurs en Maths, il n'y a jamais rien de magique, tout est démontrable. Voici une explication à partir de l'équation : y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f.

L'ordonnée à l'origine start color #0d923f, b, end color #0d923f

Tout point de l'axe des y a comme abscisse 0. Donc pour trouver l'ordonnée du point d'intersection de la droite d'équation y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f avec l'axe des y, il suffit de remplacer x par 0 dans l'équation de droite :
y=2x+1=2×0+1on remplace x par 0=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\times 0+\greenE{1}&\gray{\text{on remplace }x ~par ~0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
Le couple de coordonnées du point d'intersection de la droite avec l'axe des y est donc left parenthesis, start color #ed5fa6, 0, end color #ed5fa6, space, ;, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, right parenthesis.

Le coefficient directeur start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6

Le coefficient directeur d'une droite, appelé aussi sa pente, est le quotient de la différence entre deux valeurs de y par la différence entre les valeurs correspondantes de x. Si P, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, space, ;, y, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis et P, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 2, end subscript, space, ;, y, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis sont deux points quelconques de la droite, alors par définition :
start text, C, o, e, f, f, i, c, i, e, n, t, space, d, i, r, e, c, t, e, u, r, end text, equals, start fraction, start text, end text, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, divided by, start text, end text, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end fraction
Si x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, equals, 1, alors y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript est le coefficient directeur de la droite.
start text, C, o, e, f, f, i, c, i, e, n, t, space, d, i, r, e, c, t, e, u, r, end text, equals, start fraction, start text, end text, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, divided by, start text, end text, 1, end fraction
Voici un tableau de valeurs de y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f lorsque x prend les valeurs 0, comma, 1, comma, 2, comma, 3 et 4.
xy
0start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, times, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f
1start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, times, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
2start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, times, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
3start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, times, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
4start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, times, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
Si x augmente de 1, alors y augmente de start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6. Donc si x augmente de z, alors y augmente de start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 fois z.
Le coefficient directeur de la droite est start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Défi 3
A coordinate plane. The x- and y-axes each scale by one. The graph of a line goes through the points zero, negative three and one, one. Both of these points are plotted and labeled.
Quelle est l'équation réduite de cette droite ?
y, equals