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3e année secondaire

Chapitre 5 : Leçon 10

Fonctions affines

Etablir l'équation réduite d'une droite

Il s'agit d'établir l'équation réduite d'une droite connaissant deux points.
Prérequis : Le coefficient directeur d'une droite.

Établir l'équation d'une droite connaissant son ordonnée à l'origine et un autre point

A first quadrant coordinate plane. The x- and y-axes each scale by one. A graph of a line goes through the points zero, three and two, seven, which are plotted and labeled.
Nous allons établir l'équation réduite de la droite passant par les points de coordonnées left parenthesis, 0, space, ;, 3, right parenthesis et left parenthesis, 2, space, ;, 7, right parenthesis.
On rappelle que l'équation réduite de la droite de coefficient directeur start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 et d'ordonnée à l'origine start color #0d923f, b, end color #0d923f est y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f.

On détermine start color #0d923f, b, end color #0d923f

Le point d’intersection de la droite avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées left parenthesis, 0, space, ;, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, right parenthesis, donc start color #0d923f, b, end color #0d923f, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f.

On détermine start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6

Le coefficient directeur d'une droite, est le quotient d'une variation de y par la variation de x correspondante. Si P, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, space, ;, y, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis et P, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 2, end subscript, space, ;, y, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis sont deux points de la droite, alors par définition :
start text, C, o, e, f, f, i, c, i, e, n, t, space, d, i, r, e, c, t, e, u, r, end text, equals, start fraction, start text, end text, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, divided by, start text, end text, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end fraction
On connait deux points de la droite de coordonnées left parenthesis, 0, space, ;, 3, right parenthesis et left parenthesis, 2, space, ;, 7, right parenthesis, donc :
m=∆ y∆ x=7320=42=2\begin{aligned}\maroonC{m}&=\dfrac{\text{∆ }y}{\text{∆ }x} \\\\ &=\dfrac{7-3}{2-0} \\\\ &=\dfrac{4}{2} \\\\ &=\maroonC{2}\end{aligned}
L'équation réduite de cette droite est : y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 3, end color #0d923f.

À vous !

Exercice 1
A first quadrant coordinate plane. The x- and y-axes each scale by one. A graph of a line goes through the points zero, five and four, nine, which are plotted and labeled.
Quelle est l'équation réduite de cette droite ?
 

Exercice 2
A first quadrant coordinate plane. The x- and y-axes each scale by one. A graph of a line goes through the points zero, eight and three, two which are plotted and labeled.
Quelle est l'équation réduite de cette droite ?
 

Établir l'équation d'une droite dont on connaît deux points

A first quadrant coordinate plane. The x- and y-axes each scale by one. A graph of a line goes through the points two, five and four, nine, which are plotted and labeled.
Nous allons établir l'équation réduite de la droite passant par les points de coordonnées left parenthesis, 2, space, ;, 5, right parenthesis et left parenthesis, 4, space, ;, 9, right parenthesis.
Nous ne connaissons pas l'ordonnée à l'origine, donc c'est moins simple que dans le cas précédent.

On détermine start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6

m=∆ y∆ x=9542=42=2\begin{aligned} \maroonC{m}&=\dfrac{\text{∆ }y}{\text{∆ }x} \\\\ &=\dfrac{9-5}{4-2} \\\\ &=\dfrac{4}{2} \\\\ &=\maroonC{2} \end{aligned}

On détermine start color #0d923f, b, end color #0d923f

L'équation est donc de la forme y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f. Pour trouver start color #0d923f, b, end color #0d923f, on utilise le point de la droite de coordonnées left parenthesis, 2, space, ;, 5, right parenthesis.
Si un point A de coordonnées left parenthesis, x, start subscript, A, end subscript, space, ;, space, y, start subscript, A, end subscript, right parenthesis appartient à une droite d'équation y, equals, m, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f alors ses coordonnées vérifient l'équation de la droite.
y=2×x+b5=2×2+bx=2 et y=55=4+b1=b\begin{aligned}y&=\maroonC{2}\times x+\greenE{b}\\\\ 5&=\maroonC{2}\times 2+\greenE{b}&\gray{x=2\text{ et }y=5}\\\\ 5&=4+\greenE{b}\\\\ \greenE{1}&=\greenE{b} \end{aligned}
L'équation réduite de cette droite est : y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f.

À vous !

Exercice 3
A first quadrant coordinate plane. The x- and y-axes each scale by one. A graph of a line goes through the points one, four and three, ten, which are plotted and labeled.
Quelle est l'équation réduite de cette droite ?
 

Exercice 4
A first quadrant coordinate plane. The x- and y-axes each scale by one. A graph of a line goes through the points two, nine and four, one, which are plotted and labeled.
Quelle est l'équation réduite de cette droite ?
 

Un dernier exercice
Une droite passe par les points de coordonnées left parenthesis, 5, space, ;, 35, right parenthesis et left parenthesis, 9, space, ;, 55, right parenthesis.
Quelle est l'équation réduite de cette droite ?