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3e année secondaire

Chapitre 5 : Leçon 10

Fonctions affines

Modélisation par des fonctions affines : adhésion à la gym et limonade

Écrire une équation pour résoudre un problème. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

un club de gym propose une offre spéciale aux nouveaux adhérents pour les nouveaux membres l'inscription coûtera 200 euros et les mensualités s'élèveront à 39 euros combien devront payer les nouveaux adhérents pour une durée de un an alors mais la vidéo sur pause essaye de décortiquer ce problème de voir ce que tu peux faire et ensuite on se retrouve donc ici ce qui se passe c'est que si tu veux inscrire dans ce club de gym il ya un coût d'adhésion celle pour avoir la carte de membre si tu veux c'est le coût d'adhésion qui est deux 200 euros 200 euros as tu devras payer 39 euros ça c'est le coup de la mensualité donc les mensualités c'est 39 euros par mois 39 euros par mois alors on va essayer de répondre à cette question en fait on va faire ça de manière assez générale je pense que tu pourrais directement répondre à la question qui est posée ici précisément mais dans la vidéo ce qui m'intéresse moi c'est de faire le lien avec la modélisation par des fonctions affine donc je vais faire ça de manière un petit peu plus générale que ce qu'il faudrait ici pour simplement répondre à cette question on va essayer d'exprimer le montant qu'un nouveau membre doit payer pour une certaine durée pour un certain nombre de mois donc ce montant là je vais l'appeler paix et ce qui se passe c'est que de toute façon on a ce montant de l'adhésion qui est fixe donc même si tu t'inscris et qu'après tu ne viens plus jamais tu devras déjà avoir payé 200 euros pour t'inscrire et ensuite à chaque mois qui s'écoule tu dois payer 39 euros donc si tu viens aime moi disons tu viens aime moi et bien chaque mois te coûtera 39 euros donc en tout tu devras payer 39 fois m au total ce que tu auras payer c'est le coût d'adhésion plus le montant dé m mensualités donc 39 x n donc on obtient une expression qui te donne le montant total que tu devras payer en fonction du nombre de mois que tu passes dans le club de gym alors on va essayer de faire le parallèle avec une fonction affine alors je te rappelle qu'une fonction affine sa représente une droite et une équation de droite c'est quelque chose comme ça y est galles m x x + paix ça c'est une équation réduite d'une droite donc ici il faut pas se tromper on va essayer de bien repérer qui et qui là dedans puisque ici mon but c'est de montrer que ça c'est l'équation d'une droite en fait donc il faut pas se tromper on va essayer de réécrire cette équation sous cette forme là alors gp le montant total qui égala alors attention ici tu peux être un peu dérangé parce que j'ai utilisé un mi6 1m qui est là mais ce qu'il faut bien comprendre c'est que quand on parle d'une droite dans cette équation là en fait le x qui hélas est la variable et dans notre cas ici la variable c'est le nombre de mois donc c'est ce m qui est là et puis ensuite le y et bien c'est l'ordonné du point de la droite qui a pour assise 6 en fait c'est le résultat de ce calcul l'a donc dans notre cas c'est le p donc le prix total qu'on devra payer pour une durée de m mois donc là déjà c'est pas mal alors ce qu'on peut dire en plus c'est que la pente de cette droite c'est ce m qui est là c'est donc le coefficient de la variable et dans notre cas ici c'est ce 39 qui est là ensuite le pc ce qu'on appelle lé ordonné à l'origine et ça correspond pour nous à cette valeur de 200 qui est le coût d'adhésion donc maintenant que j'ai décortiqué ça je vais pouvoir réécrire ça un petit peu mieux pour faire le parallèle donc mon équation c p égal 39 fois m plus deux cents tu veux ici en fait ça c'est notre xc notre variable ça c'est le prix total c'est l'ordonné du point de la droite qui aura pour abscisse x ici m 39 c'est la pente de la droite et puis ici le 200 c'est ce qu'on appelle lé ordonné à l'origine ordonné à l'origine et donc ça ce que j'ai dit tout à l'heure c'est que ça c'est la pente de ma droite et donc si tu veux ce qu'on peut faire maintenant c'est tracé cette droite pour vraiment compléter le parallèle alors j'ai préparé ici un repère ça assez l'origine au lacet lax dx l'axé abscisse puisque j'ai appelé la variable mi6 et l'accès m et puis l'ordonné c'est le prix total le coût total en fonction du nombre de mois alors je vais prendre une échelle ici en abscisse un carrosse et un mois et puis en ordonner je veux dire que deux carreaux cessant donc ici c'est 100 alors ce qui se passe c'est que quand je m'inscris même sans avoir fait jim dans le club je dois payer ce coût d'adhésion qui est 200 euros donc dès que j'arrive donc 1-0 moi je dois payer 200 euros ce qui veut dire que déjà ma droite va passer par ce point là ici ces deux sens et puis ensuite je peux très bien regarder ce qui se passe pour un mois si je prends m égal 1 m égal 1 au bout de un mois le prix que j'aurais à payer ces deux sens + 39 x 1 donc 200 + 39 c'est-à-dire 239 239 euros donc ça je peux le placer ici c2c 250 donc c'est à peu près ici voilà un peu plus que la moitié donc c'est à peu près ça et puis je vais placer un autre point quand même si je prends m égal 2 donc ça veut dire que je reste deux mois dans le club est bien la somme que je devrais payer ces deux sens plus 39 x 2 39 x 2 ça fait soixante dix huit donc ici je devrais payer 278 euros donc j'ai dit est méga de ici deux mois et ses 278 alors on a dit que 250 ici c'est 300 ici c'est 300 la c250 donc 275 me voilà c'est à peu près à peu près ici donc maintenant je peux tracé en fait deux points suffisent donc maintenant je peux tracé ma droite elle est comme ça voilà coût en fait on peut déterminer la mensualité enfin le montant total à payer au bout d'un an on se rappelant qu'un ans et 12 mois et on peut le faire de deux manières soit en lisant sur le graphique donc ici douze 12 mois l'âge et 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 c'est ici donc je peux lire le montant pour 12 mois en remontant vers la courbe donc ici des jolis le montant sur l'axé des ordonnées qui est ici alors ça fait à peu près par lecture graphique ici on trouve 400 500 600 700 euros donc environ 700 euros pour une durée de 12 mois on va vérifier par le calcul que ce qu'on trouve est en fait ce qu'il faut faire pour ça c'est juste remplacé n par 12 dans ce cas la paix ces deux sens plus 39 x 12 alors 39 x 12 je vais le calcul est ici 39 x 12 deux fois 9 18 2 x 3 6 et 1 7 une fois 9,9 une fois 3 3 donc je fais la somme 8 ici cette +9 ça fait 16 donc je pose cissé je retiens 1 et donc ensuite j'ai un +3 que ça nous donne 468 donc ici finalement le montant total qu'on doit payer au bout de 12 mois c'est 200 + 468 ça fait 6 168 euros donc tu vois que ici par lecture graphique on obtient une valeur forcément arrondi puisque déjà géré un peu difficilement placer les points parce que le quadrillage était pas suffisamment fin on va dire du coup je trouve une valeur approché alors que par le calcul comme je viens de le faire je trouve une vraiment une valeur exacte voilà alors on va continuer on va faire un autre exercice de ce genre là on va faire celui-ci pour s'offrir un voyage d'été oriana et anita ont décidé de monter un stand de limonade et souhaite fixer le prix d'un verre à 1,50 euro donc 1 euro 50 pour rentrer dans leurs frais elles doivent gagner au moins 200 euros c'est à dire que probablement elles ont dû acheter du matériel qui leur a coûté 200 euros donc si elle veut le faire du bénéfice il faut qu'elles puissent rembourser au moins ces 200 euros combien de verre de limonade doivent-elles vendre au minimum alors comme tout à l'heure mais la vidéo sur pause essayent de résoudre ce problème de ton côté et ensuite on se retrouve donc ici on a deux informations la première c'est que le prix d'un verre c'est 1,50 euros 1 euro 50 on paye un euro cinquante par verre et puis la deuxième indication c'est que il faut qu'elle gagne au moins 200 euros donc la somme qu'il faut au moins atteindre ces 200 euros alors je vais en fait définir deux variables la première c'est le gain total donc le la somme qu'elles auront gagné en vendant leurs limonade je vais l'appeler y donc ça c'est le gain total et puis ensuite je vais appeler x le nombre de verre de limonade qu'elles seront vendus le nombre de verres or ont vendu alors la question que je me pose ici c'est comment est ce que je peux exprimer y le gain total en fonction du nombre de verres vendus en fonction de x donc alors ici c'est assez simple puisque inverse coûte 1 euro 50 de verre vont coûter deux fois un euro cinquante trois verres coûteront 3 x 1 euro 50 et ainsi de suite et en fait l'expression qu'on obtient c'est que quand on achète x vert et bien le prix total de ces x vers ça sera 1,50 x x et ça en fait c'est donc le prix qu'un client paiera mais donc c'est l'argent que anita et oriana empocheront donc c'est le gain total donc c'est bien y voilà on obtient ici une expression de y en fonction de x alors ça c'est pas tout à fait ce qu'on nous demandait puisque nous on voudrait savoir combien de verres elles doivent vendre au minimum pour gagner 200 euros en fait on obtient une équation on voudrait que cette somme là 1,50 euro x x soit égal à 200 euros donc c'est l'équation qu'on obtient c'est une équation 2° un qui est simple à résoudre en fait je vais divisé des deux côtés par un euro cinquante par 1.5 50 si tu préfères voilà et donc j'obtiens que la valeur de x donc le nombre de verres qu'elle vous doivent vendre pour gagner 200 euros eh bien ces deux sens 200 / 1.5 alors ça on peut le faire la calculatrice mais je vais essayer de me débrouiller comme ça c'est 2000 / 15 là j'ai juste multiplier en haut et en bas par dix change pas ma fractions et ensuite je peux divisé par cinq en haut et en bas ça me donne en eau 2000 / 5 ça fait 4 cents et en bas 15 / 5 ça fait trois quatre centièmes alors ça c'est en fait 400 ans et 399 + 1 399 ses 133 x 3 donc ça en fait c'est 133 plus un tiers c'est-à-dire environ 130 3,66 6-7 6/8 voilà environ 1 donc on a résolu le problème pratiquement en fait il faut qu'elles vendent au moins 133 667 verre de limonade évidemment ça pas tellement de sens puisqu'il faut un nombre entier ici un certain nombre de verre de limonade donc là il faut décider si on vend uniquement 133 vert eh bien on gagnera un peu moins que 200 euros donc il faut en fait qu'elle vende au moins 134 voilà bien sûr comme tout à l'heure on pourrait tracer la droite représentative de cette fonction cette fois ci ça serait une droite qui passe par l'origine puisque cette fonction c'est une fonction linéaire et on pourrait même exactement comme tout à l'heure résoudre notre équation par la méthode graphique ce qui serait un petit peu moins précis voilà je vais pas faire ce travail là maintenant parce que la vidéo est déjà un petit peu longue et je pense que ce serait un très bon exercice que tu te fasses tout seul à bientôt