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Qu'est ce que l'ensemble de définition d'une fonction

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va parler de ce qu'on appelle le domaine de définition d'une fonction alors je te rappelle rapidement ce que c'est qu'une fonction 1 en fait une fonction ça se comporte un petit peu comme une commune boîte c'est à dire comprend un nombre x et on le met dans cette boîte veut la faire comme ça cette boîte qu'on appelle f et ça nous donne résultat qu'on appelle f 2 x 1 f 2 x c'est donc ça c'est l'image du nombre x par la fonction f et en fait bon le plus souvent ce qu'on a ici enfin la boîte c'est un procédé de calcul donc en fait on prend un nombre x et en effectuer un calcul à partir de ce nombre x qui nous donne un résultat qui est un nombre qu'on appelle f 2 x voilà alors pour parler du domaine de définition va commencer par regarder quelques exemples en prenant des fonctions définies par par des parts d expression algébrique donc par exemple je vais prendre cette fonction la f2 x qui va être défini comme ça en fait on prend le nom breux x et ont l'image ça sera 2 / ce nombre x 2 sur 6 donc ça veut dire que si je prends par exemple le nombre trois que je le met dans la boîte de la fonction à boîte f et bien ce que j'obtiens le résultat que j'obtiens cf 2 3 et f2 3f 2,3 et bien ça sera égal à 2 / 3 deux tiers 2 sur 3 alors ça c'est un exemple avec x égale à 3 1 j'ai pris trois comme nombre de départs je peux faire ça avec un autre nom par exemple peut très bien prendre le nombre pi pi 3 14 15 16 enfin moment que tu que tu connais et donc je rentre ce nombre là dans la fonction dans la fonction f donc dans la boîte qui est ici et ça me donne un résultat qui sera f2 pis f de pie et f de pie et bien c'est 2 / pi2 sur pic on peut calculer c'est à peu près 2 sud / 3,14 15 etc voilà donc ça c'est exactement ce qu'on fait quand on a une fonction qui est défini cette manière là pour calculer l'image d'un nombre x par cette fonction là alors évidemment là j'ai pris deux exemples on peut très bien faire ça avec d'autres valeurs de x1 mais quand même il ya certains cas qui peuvent être un peu plus compliqué par exemple ici si on prend le nombre 0 on va prendre x égal zéro la valeur x égal zéro alors je vais la rentrée dans la fonction f la rentrée dans la fonction f et ça va me donner normalement un nombre que je vais appeler f20 c'est l'image de 0 par cette fonction f et alors si je lis que ça devrait me donner ça serait 2 / 02 / 0 alors là est quelque chose de différent de ce qu'on a vu avant parce qu'en fait / 0 c'est quelque chose qu'on ne qu'on ne sait pas faire on ne sait pas comment définir une division par zéro donc en fait quand je prends x égal à zéro je me retrouve dans une situation qui est complètement différent de ce que j'ai eue avant puisque en fait je ne peux pas définir cette valeur là alors je vais l'écrire comme ça c'est non définie non définie c'est à dire que je ne sais pas quel sens donner à l'expression 2 / 0 donc je ne peux pas définir l'image de 0 par cette fonction f alors cet exemple là nous mais vraiment sur la voie de ce que c'est que le domaine de définition d'une fonction en fait le domaine de définition c'est tout simplement l'ensemble des nombres l'ensemble des valeurs que la variable x peut prendre pour que l'image de ce nombre là soient définis donc c'est l'ensemble des valeurs de x pour lesquels on peut définir l'image f 2 x alors ici par exemple le domaine de définition de cette fonction là bas ça sera tous les nombreux raids n'importe quel nombre réel sauf la valeur zéro parce que quand on prend la valeur zéro on a vu on ne peut pas définir l'image de zéro alors je vais je vais écrire quand même ses grandes idées là donc ce qu'on appelle le domaine le domaine de définition domaine de définition d'une fonction domaine de définition d'une fonction donc ce que je viens de dire c'est que c'est l'ensemble l'ensemble des valeurs l'ensemble des valeurs des valeurs de x pour lesquels pour lesquels l'image f 2 x et définir pour lesquels l'image de x par f donc ce serait l'image f 2 x est bien défini et défini voilà est bien défini donc c'est bien ça c'est l'ensemble des valeurs de x pour lesquels on peut définir l'image de x par f voilà alors dans le cas dans ce cas-ci 1 le domaine je vais l'appeler ont souvent le note comme ça ici df le domaine de définition de cette fonction est fait bien on va le noter comme ça on a dit qu'on pouvait prendre n'importe quel nombre sauf la valeur zéro donc ça je vais l'indiqué comme ça on va dire que c'est l'ensemble alors ensemble on le note rappelle toi avec ses accolades ça c'est vraiment là le symbole qui va dénoter un ensemble et on va dire alors l'ensemble des valeurs x appartenant à l'ensemble des nombreux réel donc ça veut dire que mon x est un nombre réel est en fait on va préciser maintenant que ça peut être n'importe quel nombre réel sauf la valeur x égale 016 ne peut pas être égal à zéro puisque dans ce cas là on ne sait pas définir l'image de zéro donc je vais écrire ça comme ça c'est l'ensemble des nombreux réel x l'ensemble des valeurs x appartenant à l'ensemble de nombreux réel telles que x en fait il doit être différente 0 donc je vais l'écrire comme ça x est différent de zéro et là je ferme l'accolade donc ça se relit ça se lit comme ça c'est l'ensemble des valeurs x appartenant à l'ensemble des nombres réel telles que x est différent de zéro donc c'est tous les nombres réels sauf la valeur x égal à zéro alors on va prendre un autre exemple je vais prendre une autre fonction d'ailleurs bon on a l'habitude très fréquemment d'appeler une fonction par la lettre f et puis d'utiliser x pour la variable mais c'est assez c'est vraiment une habitude c'est pas du tout une obligation et d'ailleurs je vais prendre une fonction maintenant avec d'autres d'autres non donc je vais prendre une fonction j'ai que je vais définir comme ça j'ai deux y donc là je prends y pour noter la variable eh bien ça va être racines de y - 6 donc là je suis exactement dans ce même genre de situation a jugé pas les mêmes lettres mais ça ça change rien du tout en fait ce que j'ai c'est une boîte j'ai un sas et la fonction la boîte j'ai ici et quand je lui rentre une valeur y tu donnes la valeur y dans la boîte eh bien ça me donne ça me sort une autre valeur qui sera g2 y g2 y est qui est défini par ce calcul là en fait ça calcule d'abord y moi aussi c'est ensuite ça prend la racine carrée de y -6 voilà ça ça sera à l'image du nombre y alors maintenant qu'elle est là le domaine de définition de cette fonction g et bien pour ça en fait la question qu'il faut se poser c'est quand est ce que cette écriture là a un sens et en fait on sait bien que quand on prend une racine carrée ça ne veut rien dire de prendre la racine carrée d'un nombre négatif donc il faut que ce qui est dans la racine carrée là je vais m'entourer en jaune cette partie là y -6 ça il faut que ce soit supérieur ou égal à zéro dès qu'on a un nombre strictement négatif et bien on peut pas prendre sa racine carrée donc pour que cette écriture là est un sens c'est à dire pour qu'on puisse définir l'image de y par cette fonction g il faut que y moins six fois supérieures ou égales à zéro donc ça je vais l'écrire à côté donc ce qu'on doit avoir c'est y -6 supérieur ou égal à zéro voilà six il y moins six est égal à zéro on à racine carrée 2 0 ça ça fait zéro on sait très bien le définir alors ça on peut l'écrire différemment tout simplement rajoutant 6 des deux côtés en fait c'est y supérieur ou égal à 6 voilà donc là on sait que si on prend une valeur y plus grand que six eh bien on va pouvoir calculer l'image de y qui sera racine carrée de y moi si cette créature là aura un sens donc là on va pouvoir dire ce que c'est que le domaine de définition je vais l'écrire ici des 2g domaine de définition de g et bien c'est l'ensemble des valeurs y appartenant au nombre réel à l'ensemble de nombreux réel telles que alors ce qu'il faut c'est que on peut pas prendre ribes y n'importe comment il faut que y sont supérieurs à 6 supérieur ou égal à 6 donc je vais écrire ça comme ça tel que y est supérieur ou égal à 6 voilà l'ensemble des nombres y appartenant au mans à l'ensemble de nombreux réel telles que y est plus grand que si c'est dans ce cas là si on prend un nombre n'importe quelle valeur si on prend n'importe quels éléments de cet ensemble l'a donc n'importe quel nombre plus grand ou égal à 6 eh bien on va pouvoir définir l'image de ce nom par la fonction j'ai donc ça c'est vraiment le domaine de définition de g alors je crois que ces exemples-là te te font un petit peu comprendre ce que c'est que domaine de définition en tout cas je l'espère est bon là pour l'instant on a toujours pris des fonctions qui sont définies par des expressions algébrique comme ça on peut avoir des fonctions qui sont beaucoup plus bizarrement défini on va dire enfin défini d'une manière un peu plus spécial que ça par exemple je sais pas je peux prendre un exemple comme ça je vais prendre une fonction h et donc h2x on va dire que c'est égal à alors là je mets une accolade c'est juste pour définir la fonction de manière différente selon les valeurs c'est pas pour désigner désigner un ensemble donc là on va dire que h2x est égal à 1 6x est égal à pipe par exemple voilà et puis par contre h2x ragala 0 6 x est égal à 3 voilà alors quel est le domaine de définition de cette fonction h que j'ai défini cette manière là j'aimerais bien que tu mettes la vidéo sur pause un petit peu pour y réfléchir de ton côté après on le fera ensemble alors en fait ce qui se passe c'est que cette fonction là elle n'est défini que pour deux valeurs les valeurs x égale px égal 3 ce qui veut dire que si je remplace x par pie xi si je vais calculé l'image de pis je vais avoir ici h de pie et h2 pis je peux calculer je peux dire ce que c'est puisque les définit ici c'est un voilà et puis je peux faire la même chose avec 3,6 jeu mais trois dans cette fonction h donc je vais calculé l'image de 3 c'est-à-dire h23 et bien ça je le dis et je peux dire ce que c'est c'est zéro par définition par contre si je mets n'importe quel autre valeur différente de pays ou de trois études je ne saurais pas quoi je ne serai pas comment la définir par exemple si je te demande quelle est l'image de 4h de 4 est bien là tu ne peux pas savoir ce que c'est puisqu'elle n'est pas défini donc h/24 c'est pas défini ça n'existe pas on ne sait pas comment le définir ce sera exactement la même chose si je te demande combien et h 2 - 1 par exemple ou bien h20 enfin n'importe quel autre valeur en fait cette fonction n'est défini que pour ses valeurs x égal à pie ix et x égale à 3 est donc ici en fait le domaine de définition de la fonction h et bien c'est tout simplement ces deux valeurs là un ensemble formé de ces deux valeurs là pour lesquels h est définie c'est à dire que ça va être l'ensemble de ses valeurs trois épis voilà si tu prends une de ces deux valeurs là tu vas pouvoir trouver l'image parlera par la fonction h monsieur tu prends une autre valeur différente de ces deux-là bien tu ne pourras pas la fonction h n'aura pas d'image défini voilà donc ça c'est vraiment le domaine de définition j'espère que à travers ces exemples tu arrives à comprendre ce que ça veut dire quel sens ça que de regarder le domaine sur lequel est défini une fonction c'est ça le domaine de définition et j'espère que tu auras compris aussi pourquoi est-ce qu'on est obligé de faire attention à ce domaine de définition parce que certaines fonctions sont définis sur pour n'importe quelle valeur de la variable n'importe quel nombreux réel mais c'est pas le cas de tout comme on vient de le voir ici certaines sont définis sur par exemple toutes les valeurs sauf une ou bien sûr par exemple toutes les valeurs positives ou bien ce pas ça peut être toutes les valeurs entière de la variable ou bien simplement sur un certain petit nombre de valeurs voilà donc il est très important quand on a étudié une fonction de regarder avant tout quelle est son domaine de définition