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Qu'est ce que l'ensemble image d'une fonction

Transcription de la vidéo

alors on va commencer par faire un petit peu de révision sur tout ce qu'on a vu sur les fonctions jusqu'à maintenant donc si je prends une fonction que j'appelle f je l'appelle f mais je pourrais l'appeler n'importe comment traditionnellement on utilise très souvent cette lettre f pour dénoter les fonctions mais c'est pas du tout une obligation donc si je prends une fonction est fait que je lui je lui donne une valeur x je l'appelle x pourrait l'appeler autrement aussi mais bon je l'appelle x ici et bien donc je rentre cette valeur x dans la fonction et ça va me sortir ça va me donner un autre nombre que je vais appeler f de xfx donc ça sera l'image de x par la fonction m ça veut dire qu'en fait la fonction f associé à ce nombre x un autre nombre qu'on appelle f 2 x et on dit que f 2 x et l'image de x par la fonction f voilà donc la fonction f associé au nombre x son image fdx mais faut faire attention parce que on a vu ça dans d'autres vidéos en fait x doit être une valeur valide un valeur valable pour la fonction c'est à dire qu'en fait on peut pas rentrer n'importe quelle valeur dans cette fonction et on a vu cette notion là dans l'est dans les vidéos précédentes andré vue la notion d'ensemble de définition ici par exemple on va dire que c'est l'ensemble de définition de la fonction ensemble de définition on a vu ce que c'était en fait c'est l'ensemble des valeurs valables qu on peut rentrer dans la fonction af l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est fait défini ça veut dire que si je prends un nombre x ici je le rentre dans la fonction f et bien cette fonction elle a effectivement me donner un autre nombre qui sera l'image de x l'image de ce nombre là par la fonction f voilà par contre si je prends une valeur en dehors de cet ensemble de définition si je prends une valeur ici par exemple et que je leur je rentre cette valeur dans la fonction est fait bien la fonction va dire et attention je ne suis pas défini pour cette valeur l'âge je ne sais pas comment définir l'image de cette valeur là je sais pas à quel nombre jeu doit associer cette valeur là donc voilà ça c'est ce qu'on a vu dans la vidéo précédente à ce que c'était que l'ensemble de définition d'une fonction il ya une autre chose qui peut être intéressant quand on a une fonction c'est d'aller regarder en fait toutes les valeurs qui sont aux atteintes par la fonction f c'est à dire en fait l'ensemble des images obtenues par la fonction f alors c'est là dessus qu'on va se concentrer dans cette vidéo donc on a une fonction f donc on connaît l'ensemble de définition et on va se poser la question de savoir quel et l'ensemble de toutes les images possible qu'on peut obtenir par cette fonction est fait en fait ça ça a un nom c'est ce qu'on appelle l'ensemble images ensemble image de la fonction f voilà je vais de dessiner comme ça donc il ya plusieurs manières de définir cet ensemble images la première la plus typique à la plus compréhensible je pensais de se dire bon je pars d'un an d'une valeur x qui est dans l'ensemble de définition je le rentre dans la fonction ça me donne une image f 2 x qui va être par définition c'est une des images possibles con atteinte par la fonction f donc elle va être cette image là elle va être dans cet ensemble image puisque cet ensemble images c'est l'ensemble de toutes les images possibles de la fonction f alors ça je vais l'écrire cet ensemble là c'est l'ensemble on va le dire comme ça c'est l'ensemble de toutes les valeurs de toutes les images obtenues par la fonction f d'ensemble de toutes les images obtenues par f voilà donc c'est ça je prends une valeur dans l'ensemble de définition jeu-là rentrer dans f ça me donne une image ça me donne une valeur qui est l'image de cette valeur prise dans l'ensemble de définition et cette valeur là elle est dans cet ensemble image qui est l'ensemble de toutes les images possibles je vais rajouter ce mot là toutes les images possibles obtenu par f alors tout ça c'est un petit peu abstrait donc on va faire un exemple pour que ça se concrétise un petit peu donc je vais prendre une fonction alors je vais la dessiner comme ça c'est une fonction que je vais appeler f voilà et donc comme tout à l'heure si je rentre dans cette fonction une certaine valeur x ça va me donner ça va sortir son image f 2 x des signes comme ça et ici on va se donner une expression qui définit cette fonction est en fête qui va donner le calcul qu'on fait sur cette valeur x pour trouver l'image f 2 x née l'image f 2 x on va dire que dans notre cas elle est définie de cette manière là c'est quand je prends x jeu l'élève au carré un l'image de x et x élevée au carré alors là on peut très bien trouver facilement leur ensemble de définition de notre fonction af je vais noter ici ensemble de définition on dit aussi souvent le domaine de définition c'est la même chose voilà alors ici l'ensemble de définition ce qu'il faut c'est trouver les valeurs l'ensemble des valeurs qu'on peut élever au carré puisque ce qu'elle fait la fonction fc élevée au carré donc est ce qu'il y à des nombres réels qu'on peut qu'on ne peut pas élever au carré et ben non en fait si tu prends n'importe quel nom tu peux tout à fait calculer son carré ce qui veut dire que l'ensemble de définition ici c'est l'ensemble de tous les nombres réels tous les nombres tous les nombres réels voilà ça on le note comme ça r je pense que tu as déjà vu cette notation l'a alors ça c'est pour l'ensemble de définition maintenant qu'elle est l'ensemble images de cette fonction alors pour faire ça il ya quelque chose qui est toujours pratique c'est de faire un petit dessin de dalles et tracer la courbe représentatif de cette fonction donc là je vais le faire assez rapidement donc je vais tracer un repère voilà ça c'est l'axé des ordonnées là je vais tracé lax des abscisses voilà donc ça c'est la kz dx ici c'est l'origine des rues du repère et là c'est l'axé des ordonnées et puis alors je trace j'imagine placer les points de coordonnées x et eve 2 x donc tracer la courbe représentative de cette fonction-là est en fait là je vais obtenir quelque chose comme ça alors là je fais à me lever 1,7 donc je vais pas faire quelque chose de très joli en fait la courbe représentatif de cette fonction c'est une parabole qui est comme ça avec sommet en l'origine donc le sommet de cette parabole c'est l'origine du repère donc ça c'est la courbe représentatives de la fonction y égale f 2 x alors maintenant si on réfléchit un petit peu qu'est-ce que l'ensemble images de cette fonction là bien en fait ici ça va être l'ensemble des ordonnées des points de cette courbe là alors si on regarde ici seront peu regardé ce point ici par exemple sont ordonnés elle est là et elle est positive si je me place ici ce point ci sont ordonnés est là et bien elle est positive aussi en fait on peut obtenir n'importe quelle valeur positive ou nulle on peut aussi obtenir la valeur 0 1 si je prends x égal à zéro y sera égal à zéro aussi donc voilà on voit à partir de ce graphique que l'ensemble des images qu'on peut atteindre avec la fonction f l'ensemble des images obtenues par f est bien en fait c'est tous les nombres positif ou nuls c'est toute cette partie là de lax désordonnée et en fait ça correspond au fait que un carré est toujours positif donc comme la sq on obtient ce sont des carrés et bien c'est forcément des valeurs positives ou nuls alors comment est-ce qu'on va écrire ça en fait alors il ya plusieurs manières de l'écrire l'ensemble je l'écris ici l'ensemble images de f et on va l'écrire comme ça donc c'est l'ensemble des nombres f 2 x réel donc ff2i x appartenant à l'ensemble des nombres réels tels que f 2 x est supérieur ou égal à zéro voilà c'est l'ensemble de tous les nombres que j'appelle f 2 x dans les nombres réels qui sont positifs ou nuls donc ils ne sont pas négatifs en crau donc si on veut l'écrire un peu plus simplement on peut aussi écrire tout simplement comme ça voilà c'est l'ensemble des noms bref 2x qui sont supérieures ou égales à zéro on peut aussi écrire une manière très simple d'écrire ce cet ensemble là qui est tout simplement de dire que c'est air plus ça veut dire les valeurs qui ne sont pas négatifs donc c'est les valeurs positives ou nuls alors ça veut dire qu'effectivement si je prends n'importe quel nombre dans air plus sain donc si je prends n'importe quel nombre positif ou nuls et bien en fait c'est l'image c'est carey d'un nombre réel voilà par contre si je prends un nombre négatif et bien ce nombre négatif ce n'est pas l'image d'un nombre par la fonction f alors pour clarifier un petit peu on va on va faire un autre exemple je remonte un petit peu donc je vais prendre une autre fonction que je vais définir de cette manière là de cette fois ci je vais l'appeler j'ai donc la fonction gl va être défini comme ça j'ai 2 x l'image du point ic du nombre x cx au carré / x voilà alors évidemment quand on regarde la définition de cette fonction la première chose qu'on a envie de faire c'est de simplifier donc xo carey / x on peut très bien le simplifier et on obtient cette expression là g2x ses x au carré / x a fait tout simplement x alors ça c'est valable mais il faut faire quand même attention parce que ici quand on a cette expression là qui est celle qu'on nous a donnée à au départ et bien en fait on a une division donc il faut faire attention parce que le dénominateur qui hélas ici ne peut pas être nul donc le domaine de définition de cette fonction là je vais écrire ensemble de définition et bien c'est x c'est l'ensemble des nombreux réels qui sont différents de zéro alors que quand on regarde la forme qu'on a écrites ici un simplifiée et bien il n'y a plus de problème de définition donc en fait la fonction que j'ai écrites ici n'est pas exactement la même que là puisque celle ci est définit surtout les nombreux rennes alors que celle-ci ne l'est pas donc si je veux avoir exactement la même fonction quand je fais cette simplification là il faut que je suppose ici que x est différent de zéro et dans ce cas là effectivement j'obtiens exactement la même fonction l'expression est la même et l'ensemble de définition est le même aussi du coup je peux même faire un petit tracé rapidement la courbe représentatif de cette fonction dont je vais faire ça très vite donc pas très joliment voilà je trace mais axe l'accès y lax dx l'origine du repaire est en fait si je veut tracer la courbe représentatives de la fonction j'ai passé une droite donc je vais c'est une droite qui va avoir une pente 1 donc je vais la trace est ici je fais en rouge alors je la trace comme sa tempe de 1 donc ça c'est un et ça c'est un voilà alors là j'ai en fait j'ai tracé la courbe représentative mais pas exactement puisque j'ai pas tenu compte de ce qui se passait quand hicks est égal à zéro et en fait quand hicks est égal à zéro la fonction j'ai n'est pas défini donc je vais représenter sa part un rond en l'origine comme ça ce qui veut dire qu'il ya un trou ici parce que la fonction n'est pas défini donc en fait j'ai tous les points sur cette droite sauf cette valeur si alors du coup l'ensemble de définition et l'écrire un peu plus bas l'ensemble de définition de cette fonction là on l'a dit tout à l'heure un l'ensemble de définition et bien c'est l'ensemble de toutes les deux tous les nombres réels donc tous les x appartenant à air telles que x est différent de zéro puisque je dois enlever la valeur x égal à zéro alors maintenant si on veut trouver l'image est en fait c'est de leur donner de tous les points qui sont sur cette droite sauf ce point 6 1 donc c'est en fait on va retrouver exactement la même chose ici l'ensemble image de la fonction f l'ensemble image bien ça va être l'ensemble des noms bref 2x appartenant à m l'ensemble donc ça ce sont des nombres réels tels que f 2 x est différent 2 0 voilà effectivement ce cette manière de dire décrit tous les toutes les ordonner des points de cette droite en excluant la valeur l'ordonné nul qui est ici voilà alors les choses à retenir les choses essentielles à retenir de cette vidéo c'est que l'ensemble de définition d'une fonction c'est l'ensemble de toutes les valeurs valable pour lesquels la fonction sera définie et l'ensemble images d'une fonction et bien c'est l'ensemble de toutes les images possible qu'on peut obtenir avec la fonction f