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Cours : 3e année secondaire > Chapitre 11 

Leçon 3: Pythagore : Autres applications et démonstrations

Les rapports des longueurs dans un demi-triangle équilatéral - Démonstration

Démonstration des formules. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans cette vidéo je vais te présenter des triangles un peu spéciaux puisque ce sont des triangles qui ont un angle à 30 degrés un angle à 60 degrés et un angle droit que j'ai marqué donc ici 30 60 90 et on va démontrer en fait dans ce triangle à qu'on arrive à avoir une relation intéressante entre les longueurs de chacun des côtes donc par exemple si j'appelle x ici la longueur de l'hypothénuse donc je te rappelle que ces l'hypoténuse parce que c'est le côté qui est en face de l'angle droit ici donc si j'appelle x l'hypothénuse et bien en fait dans un triangle avec des angles à 30 60 et 90 j'aurais que le plus petit côté sera x sur deux donc je sais que c'est le plus petit côté puisque c'est le côté qui est opposé à l'angle le plus petit si l'angle de 30 degrés et j'aurai le côté opposé à l'angle de 60° qui vaudra racine sur 3 2 x sur deux et on va avoir plus tard que ce sera une relation intéressante en fait pour exploiter les propriétés de ce genre de triangle donc maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va dans un premier temps on va démontrer ça et on va dessiner un triangle que tu connais bien un triangle équilatéral donc je vais essayer de dessiner ça correctement donc voilà un côté un deuxième côté et un troisième côté ici voilà et ça c'est donc un triangle équilatéral qu'on va appeler a b c a b c et on va dire qu'il a un côté x donc vu que c'est un triangle équilatéral ça veut dire que c'est trois côtés sont identiques ici et valent donc donc on va l'écrire quand même ici pour que ce soit bien clair donc c'est un triangle abc équilatéral est cuit est cuit la tte râle et de côté deux côtés x2 côté x voilà et donc tous les angles aussi tout ce qui est important de savoir c'est que dans un triangle équilatéral on sait que tous les angles ici mesure 60 degrés puisque la somme des angles d'un triangle fait 180 et que danser dans un triangle équilatéral les trois angles sont égaux 180 / 3 fait donc 60 et on va commencer en fait par dessiner une hauteur en partant de b donc une hauteur et bien c'est une droite qui va partir d'un sommet et qui va couper perpendiculairement le côté opposé donc ici la hauteur de b va couper va couper assez perpendiculairement ici et en fait on voit que le triangle à qi qu latéral est maintenant coupé en deux triangles rectangles ici alors est ce que ces triangles selon toi sont identiques est ce qu'ils sont on va dire même congruent c'est à dire identique mais juste place et différemment donc est-ce qu'ils sont congruent ici et bien la réponse est oui et en fait j'ai pu montrer pourquoi c'est tout simplement parce que ici donc je vais prendre une autre couleur donc ici en fait donc on sait que déjà ses deux angles là ont au moins un angle en commun puisqu'ils ont l'angle de 90 degrés en commun ici mais on sait qu'ils en ont un deuxième puisque ce triangle ici là on va dire je vais être marqué ici on va marquer sade est donc ce triangle à bd en fait à cet angle à qui est égal à l'angle c'est du triangle db c'est ici et on c'est autre chose de commun dans ces triangles là c'est qu'on sait que dans la bd la longueur ab vos os x et que dans des baies c'est la longueur baisser vos xo 6 donc ici on a deux triangles qui ont deux angles en commun l'angle à 90 et l'angle à soixante et onze ans aussi un côté en commun donc s'extrayant gloire on dit qu'ils sont cons ruan ici donc soit deux angles un côté ou de côté un an donc en fait ici puisque ces triangles sont concluants ce qu'on remarque c'est que donc ce côté là va être égal à ce côté là c'est à dire que ad va être égal à dc ici et aussi que l'angle ici sera identique à celui là et pour être plus précis cet angle là va être de 30 degrés donc ce que tu vois c'est qu'en fait c'est triangle là ce sont des triangles avec un angle à 30 degrés un angle à 60 degrés et un angle à 90° donc on est exactement dans cette configuration là et donc ce que je te disais c'est que les côtés à d et d'essai sont identiques ici mais plus précisément ils valent x sur deux donc je vais marquer x sur deux et des deux côtés puisque les triangles sont identiques et donc ce qu'on voit c'est qu'on a déjà prouvé la première partie en fait de notre problème ou en depuis ce qu'on a montré que le plus petit côté ici est donc ici du triangle vos x sur deux donc maintenant on va essayer de montrer que ce côté là ici et qui est donc en fait la hauteur ici vos racines de 3 sur x2 et pour ça en fait ce qu'on va faire c'est qu'on va appliquer le théorème de pythagore dans ce triangle ici je vais te le mettre en bleu tu vois bien donc dans ce triangle ici on va appliquer le théorème de pythagore et donc qu'est ce que nous dit le théorème de pythagore le théorème de pythagore nous dit que l'hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des longueurs des plus petits côtés donc c'est à dire ici x sur deux au carré plus bd au carré qui aimons inconnu donc ce que je vais faire c'est que je vais résoudre pour bd puisque c'est la longueur là que cherche donc x au carré est égale ici à ixxo carrés sur quatre plus bd au carré hélas ce que je peut remarquer c'est que je peux multiplier et divisé par quatre ici de ce côté là sans rien que ça change ici est ce que je vais faire je vais enlever un quart de x carré de chaque côté de l'équation donc si j'enlève un quart de icare et de chaque côté de l'équation ici je simplifie de ce côté là donc il me restera plus que bd au carré ici et de ce côté là il me restera donc 3 x carrés sur quatre donc trois quarts 2 x car est donc maintenant si je prends la racine de cette équation c'est à dire si en fait je juste je prends la racine de chaque côté ici qu'est ce qui se passe donc racine de bd au carré vu que bd est une longueur cela nous donne bd ici voilà je vais marquer de l'autre côté parce que ce sera plus clair et racines de 3 durix carrés sur quatre donc racine de 3 x car et ça nous donne x puisque x et une longueur donc est forcément positif et ensuite racines donc là c'était racines de 4 ça nous donne de donc ici on retrouve en fait le résultat qu'on avait ici c'est à dire que ce côté du triangle celui qui est face à l'angle de 60 degrés ici donc ici qui efface à l'angle de 60° ce côté-là vos racines de 3 sur x 2