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Cours : 3e année secondaire > Chapitre 11 

Leçon 3: Pythagore : Autres applications et démonstrations

Calculer l'aire d'un triangle isocèle à l'aide du théorème de Pythagore

On détermine l'aire d'un triangle isocèle en utilisant les propriétés d'un triangle isocèle et le théorème de Pythagore.

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Transcription de la vidéo

bonjour en fait je vais commencer tout de suite par te demander de mettre la vidéo sur pause et d'essayer de calculer l'air de ce triangle que j'ai tracée ici alors je vais te donner quand même deux indications la première c'est que comme tu leur as reconnu avec les codages qui sont ici et bien ce triangle l'a71 triangle isocèle -la deuxième indication que je te donne c'est que probablement puisque tu es dans le cas d'un triangle isocèle ça sera peut-être utile d'utiliser le théorème de pythagore alors maintenant que tu as essayé on va le faire ensemble et la première chose c'est évidemment il faut se rappeler de l'ère de la formule générale qui donne l'air d'un triangle je pense que maintenant tu la connais l'air d'un triangle c'est un demi hu à la base fois la hauteur alors il et que on à la base kiedis on peut prendre ce côté là qui est la base de notre triangle isocèle donc b est égal à 10 mais la hauteur h on la connaît pas alors on va essayer de la déterminer ici je vais la trace et déjà pour voir à quoi ça correspond en fait la hauteur relative à cette base qui est là c'est une droite qui part du sommet opposés mais qui est perpendiculaire à la base donc c'est cette droite là je vais faire comme ça voilà donc la hauteur et bien c'est la longueur de ce segment là sachant que ici j'ai un angle droit alors ça c'est une première indication puisque j'ai en fait un triangle rectangle ici ce triangle avec une hypothèse qui est égal à 13 un côté qui est égal à notre hauteur et donc si on connaît assez bien on pourra calculer l'air de notre triangle puisqu'on connaît déjà la base tout qu'on pourra donc appliqué cette formule dont le problème évidemment c'est comment est-ce qu'on peut arriver à déterminer cet auteur h alors c'est là où c'est utile de se rappeler de certaines propriétés des triangle isocèle en fait si j'ai un triangle isocèle je sais que les angles à la base ont la même mesure donc cet angle là à la même mesure que cet angle là et puis évidemment puisque j'ai tracé la hauteur à ce segment bleu c'est la hauteur je sais que ici j'ai un angle droit et que donc ici aussi j'ai un angle droit alors je sais aussi que si je considère ce triangle là et bien je peux calculer la mesure de cet angle qui est ici puisque je sais que la somme des trois ans qui doit être égale à 180 degrés donc je peux calculer la mesure de cet angle là est en fait si je fais la même chose dans l'autre triangle rectangle qui est là et bien je vais obtenir la même valeur puisque dans ce triangle la c2 angle là ont la même mesure que ces deux angles là donc finalement je me retrouve avec deux triangles qui ont trois angles de même mesure donc finalement ce triangle là il a trois ans qui ont la même mesure que ce triangle la 3 ans qui se correspondent et de même mesure et puis deux côtés de même longueur ils ont ce côté là deux longueurs h en commun et ce côté là qui correspond à ce côté là qui ont pour longueur 13 tous les deux donc on peut en déduire que ces deux triangles là sont égaux je vais la jurée si tu veux pour bien comprendre la gse premier triangle qui est là que je colorie en orange voilà en est un autre de l'autre côté que je vais colo rien au vert et ces deux triangles là d'après ce qu'on vient de dire eh bien ils sont égaux ce qui veut dire que ce côté là et ce côté là ont la même longueur donc cette longueur là est égale à sept longueurs là donc ça veut dire que la hauteur ici elle coupe la base en son milieu donc ici c'est le milieu donc les deux côtés de mes deux triangles et bien ils ont tous les deux pour longueur 5 alors maintenant on va utiliser ce que je t'ai dit tout à l'heure la deuxième indication que je t'avais donner c'est que on va utiliser le théorème de pythagore puisque ici ici par exemple je me concentre sur ce triangle rectangle ici que j'ai coloriée en orange et bien c'est un triangle rectangle donc je sais que l'hypoténuse au carré l'hypothénuse c'est 13,6 j'élève au carré bien ça va me donner la somme des carrés des deux autres côté donc ce côté-là au carré ça fait 5 au carré plus la hauteur élevée au carré ça c'est vraiment une application du théorème de pythagore j'ai un triangle rectangle donc je sais que cette égalité laquelle égalité de pythagore et bien elle est vérifiée et donc on va pouvoir se servir de ça pour déterminer la valeur de h alors je vais commencer par faire les calculs trait aux caresses a fait 169 donc c'est égal à 5 au carré 5 au carré ça fait vingt-cinq plus la hauteur h au carré donc finalement h au carré c'est égal à 169 moins 25 169 -25 alors cent soixante neuf mois 20 ça fait 149 j'enlève encore 5 ça fait 144 donc à chaud car est égal à 144 et en général de ça on déduit que h est égale à la racine carrée 244 est d'habitude il faut utiliser la calculatrice pour calculer une racine carrée mais ici ce qui est pratique c'est con on peut reconnaître un carré parfait 144 c'est 12 élevée au carré 12 x 12 donc finalement racine carrée 244 ses 12 voilà et là on a presque terminé puisque maintenant on connaît la base qui est égale à 10 c'est la base de notre triangle isocèle et puis la hauteur ces douze donc on a tout ce qu'il faut je vais calculé l'ère du coup c'est un demi x 10 ce qui est la base du triangle isocèle fois la hauteur h qui est égal à 12 alors 1/2 x 10 ça fait 5 donc finalement ici j'ai 5 x 12 5 x 12 ça fait cinq fois 10 + 5 x 2 donc ça fait soixante donc finalement l'air de notre triangle isocèle et bien c'est 60 unités d'air évidemment