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Cours : 3e année secondaire > Chapitre 11 

Leçon 3: Pythagore : Autres applications et démonstrations

Aire d'un triangle équilatéral - un exercice d'application

L'aire de la surface comprise entre deux triangles équilatéraux si l'un est emboîté dans l'autre. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

alors on va se donner un triangle équilatéral je vais dessiner un voilà disons qu'il est écrit latéral n'est pas très très joli mais voilà c'est un triangle équilatéral et puis à l'intérieur de ce triangle on va se donner un autre petit triangle équilatéral voilà comme ça par exemple est ce qu'on va essayer de faire dans cette vidéo c'est de déterminer la seleyre de la surface qui est comprise entre les deux c'est à dire l'air de cette surface là que je vais hachuré ici en verre c'est à dire c'est l'ère du grand prix anglais cui latéral percée du petit en fait l'ère du grand cru triangle équilatéral auquel on aurait enlevé le petit qui est ici à l'intérieur voilà alors pour faire ça je vais on va se donner des dimensions donc je vais dire que par exemple le grand que le grand triangle équilatéral il a pour coter 14 et le petit disons 4 4 voilà alors comment est ce qu'on peut faire ça ça serait bien que tu mettes la vidéo sur pause et que tu essaies de ton côté de réfléchir un petit peu de planifier un petit peu le ton raisonnement alors l'air de la surface hachuré envers ici l'air je vais l'écrire ici comme ça l'air de la surface hachuré et bien en fait c'est tout simplement l'air du grand triangle équilatéral - l'ère du petit triangle équilatéral donc ça je vais l'écrire c'est l'ère du grand triangle - l'ère du petit triangle voilà alors donc ça veut dire qu'il faut qu'on arrive à calculer l'air de ce grand triangle et puis l'air de ce petit triangle sont des triangles équilatéraux tous les deux donc on sait en général que l'air d'un triangle elle est donnée par une formule de ce genre là c'est un demi de la base fois la hauteur donc ici la base on sait ce que c'est puisque c'est la longueur d'un côté et maintenant il faut arriver à trouver la hauteur de ses trios ont d'après yang les couilles latéral alors on a déjà vu tout ça dans une vidéo précédente nom va se rafraîchir un peu la mémoire alors je vais ici prendre un triangle équilatéral alors on avait tracé la hauteur de ce triangle équilatéral et puis cet auteur à l coupe perpendiculairement le côté opposé et puis en fait elle le coupant son milieu donc le partage en deux pieds de la hauteur ici c'est le le milieu du côté opposé alors ici ça veut dire que du coup si on a un triangle équilatéral de côté est ce là me la longueur de ce côté là qui est ici ça sera s sur deux et puisqu'on sait aussi c'est que dans un triangle équilatéral tous les angles ils font 60 degrés donc ici ce qu'on a ici là puisqu'on a coupé l'angle en fait la hauteur c'est aussi la bissectrice de cet angle au sommet donc ici c'est 30 degrés et là aussi c'est 30 degrés ce qui fait quand on tourne on retrouve bien le l'angle de 60° donc en étudiant ces triangles là on avait réussi à démontrer a trouvé que la longueur de la lauter ici donc là où l'odeur la longueur de ce côté ici c'était racines de 3 sur deux fois s fois le côté du triangle équilatéral alors du coup ça ça nous permet de donner une formule générale de l'air d'un triangle équilatéral puisque la base ici bassesse et puis la hauteur la hauteur ses racines de 3 sur deux fois est ce donc finalement l'air d'un triangle équilatéral la formule générale de l'air d'un quizz d'un triangle équilatéral de co ts eh bien c'était s au carré fois racines de 3 le tout divisé par quatre elles sont carrées voir un signe de trois sur quatre voilà alors maintenant on va appliquer cette formule on va l'appliquer deux fois d'abord une fois au grand triangle et une fois au petit triangle ensuite on fera la différence pour trouver l'air a juré qu'on cherche à déterminer alors du coup je vais écrire ça je vais l'ère du grand triangle basse et 14 au carré fois racines de trois sur quatre et puis l'air du petit triangle ça va être 4 au carré fois racines de 3 / 4 donc là on peut factoriser racines de 3 / 4 1 ça va nous donner alors je vais l'écrire ici ça va nous donner racines de 3 sur 4 x 14 ça je vais l'écrire en rose 14 au carré - 4 au carré ça là j'ai juste factoriser le terme racines de trois sur quatre qui intervenait dans les deux dans les deux membres de la soustraction qui est ici sa parenthèse en jaune ça sera plus propre alors maintenant bon il faut calculer l'intérieur de cette parenthèse d'abord dont 14 au carré 14 au carré ces quatorze fois quatorze ans que ça je vais le faire ici quatorze fois 14 pourrait faire la calculatrice mais je vais faire assez rapidement ici 4 x 4 ça fait seize je pose seins je retiens je post 6 je retiens un 4 x 1 4 +15 et puis en dessous mais je décale d'un cran et j'ai une fois 14 ce qui fait 14 donc j'ai finalement 6 065 +49 0 + 1 1 donc ça nous fait donc 14 x 14 ça fait 196,4 au carré ça fait 16 donc finalement je peux écrire que l'air hachuré ses racines de 3 sur 4 x 100 96 - 16 c'est à dire alors 196 -16 ça c'est 180 alors donc ça fait racines de 3 x 180 sur quatre peut-être qu'on peut diviser 180 par quatre alors 180 divisé par deux sa fait 90 jeudi doit diviser encore par 2 90 / 2 ça fait 45 donc là je peux écrire que finalement racines de 3 sur 4 x 180 ça fait en fait 45 racines de 3 voilà donc ça alors c'est bien ça parce que 45 x 2 ça fait 90 x 2 encore ça fait bien 180 donc on retrouve effectivement racines de 3 x 180 sur quatre donc c'est bon alors maintenant si je veux calculer une valeur rapprocher de ça et bien il faut que je prenne la calculatrice alors voilà alors 45 x racines de 3 ça me fait environ 77,94 qu'ange arrondie au centième alors ça je vais l'écrire ici environ 77,94 arrondie au centième alors l'air hachuré envers ici ça sera donc 77,94 arrondie au centième et ce sera des unités d'air au carré donc si par exemple les côtés sont donnés en maître ici ce sera des mètres carrés sis et des centimètres si les côtés sont en cm là on aura des centimètres carrés voilà