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Arcsinus, Arccosinus et Arctangente

Les relations Arcsinus, Arccosinus et Arctangente permettent de calculer la valeur d'un angle aigu d'un triangle rectangle dont on connaît les côtés.
Voici un autre type d'exercice que l'on peut résoudre grâce aux relations trigonométriques.
Exercice Dans ce triangle quelle est la mesure de l'angle de sommet L ?
On connaît les longueurs du côté opposé et du côté adjacent à l'angle L^, donc :
tan(L)=opposéadjacent=3565
Mais comment trouver l'angle L^ ?
Pour cela il nous faut de nouveaux outils. Avec le sinus, le cosinus et la tangente, si l'on connait un des angles, on peut calculer le quotient de deux des côtés du triangle. Ici, on connaît deux des côtés du triangle et on veut en déduire un angle. Connaissant les longueurs de deux des côtés du triangle, on peut calculer le sinus, le cosinus ou la tangente de l'un des angles et Il nous faut un outil qui donne la valeur d'un angle dont on connaît soit le sinus, soit le cosinus, soit la tangente.

Arcsinus, Arccosinus et Arctangente

Les outils que l'on cherche sont liés aux lignes trigonométriques de la même façon que la soustraction est liée à l'addition et la division à la multiplication. Soustraire b de a, c'est chercher le nombre qui additionné à b donne a et diviser a par b, c'est chercher le nombre qui multiplié par b donne a.
C'est la même idée en trigonométrie :
  • Arcsinus (Arcsin) de b est l'angle dont le sinus est b.
  • Arccosinus (Arccos) de b est l'angle dont le cosinus est b.
  • Arctangente (Arctan) de b est l'angle dont la tangente est b.
On a donc :
Sinus, cosinus et tangenteArcsinus, Arccosinus et Arctangente
sin(θ)=opposéhypoténuseArcsin(opposéhypoténuse)=θ
cos(θ)=adjacenthypoténuseArccos(adjacenthypoténuse)=θ
tan(θ)=opposéadjacentArctan(opposéadjacent)=θ

Attention !

Arcsin(x), par exemple, est parfois noté sin1(x). C'est le cas sur certaines calculatrices et dans les pays anglo-saxons. Cette notation a l'inconvénient de pouvoir être confondue avec [sin(x)]1 qui est égal à 1sin(x).
FonctionCourbe représentative
sin(x)
sin(x)1 (ou Arcsin(x)) |
1sinx ) |
Les notations Arcsin, Arccos et Arctan ne présentent pas cet inconvénient.

Retour à l'exercice

Dans ce premier exercice on donne la longueur du côté opposé et celle du côté adjacent à l'angle de sommet L, donc on utilise Arctangente pour calculer cet angle.
L^=Arctan( opposé  adjacent) par définitionL^=Arctan(3565)L^28,30 résultat obtenu à la calculatrice

A vous !

Exercice 1
On donne ce triangle KIP. Calculer I^.
Arrondir au centième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exercice 2
On donne ce triangle DEF. Calculer E^.
Arrondir au centième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exercice 3
On donne ce triangle LYN. Calculer Y^.
Arrondir au centième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Un dernier exercice
Calculer OE et les angles aigus de ce triangle.
Arrondir au centième.
OE=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
O^=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
Z^=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

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