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3e année secondaire

Cours : 3e année secondaire > Chapitre 11 

Leçon 5: Trigonométrie : Définitions et démonstrations
Mathématiques
3e année secondaire
Géométrie : Pythagore, triangle rectangle et trigonométrie
Trigonométrie : Définitions et démonstrations
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Arcsinus, Arccosinus et Arctangente

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Les relations Arcsinus, Arccosinus et Arctangente permettent de calculer la valeur d'un angle aigu d'un triangle rectangle dont on connaît les côtés.
Voici un autre type d'exercice que l'on peut résoudre grâce aux relations trigonométriques.
Exercice Dans ce triangle quelle est la mesure de l'angle de sommet L ?
Un triangle rectangle dont les côtés ont pour longueur soixante-cinq et trente-cinq. L'angle L opposé au côté le plus petit est de mesure inconnue.
On connaît les longueurs du côté opposé et du côté adjacent à l'angle L^, donc :
tan⁡(L)=opposéadjacent=3565
Mais comment trouver l'angle L^ ?
Pour cela il nous faut de nouveaux outils. Avec le sinus, le cosinus et la tangente, si l'on connait un des angles, on peut calculer le quotient de deux des côtés du triangle. Ici, on connaît deux des côtés du triangle et on veut en déduire un angle. Connaissant les longueurs de deux des côtés du triangle, on peut calculer le sinus, le cosinus ou la tangente de l'un des angles et Il nous faut un outil qui donne la valeur d'un angle dont on connaît soit le sinus, soit le cosinus, soit la tangente.

Arcsinus, Arccosinus et Arctangente

Les outils que l'on cherche sont liés aux lignes trigonométriques de la même façon que la soustraction est liée à l'addition et la division à la multiplication. Soustraire b de a, c'est chercher le nombre qui additionné à b donne a et diviser a par b, c'est chercher le nombre qui multiplié par b donne a.
C'est la même idée en trigonométrie :
  • Arcsinus (Arcsin) de b est l'angle dont le sinus est b.
  • Arccosinus (Arccos) de b est l'angle dont le cosinus est b.
  • Arctangente (Arctan) de b est l'angle dont la tangente est b.
On a donc :
Sinus, cosinus et tangenteArcsinus, Arccosinus et Arctangente
sin⁡(θ)=opposéhypoténuse→Arcsin(opposéhypoténuse)=θ
cos⁡(θ)=adjacenthypoténuse→Arccos(adjacenthypoténuse)=θ
tan⁡(θ)=opposéadjacent→Arctan(opposéadjacent)=θ

Attention !

Arcsin(x), par exemple, est parfois noté sin−1⁡(x). C'est le cas sur certaines calculatrices et dans les pays anglo-saxons. Cette notation a l'inconvénient de pouvoir être confondue avec [sin(x)]−1 qui est égal à 1sin⁡(x).
FonctionCourbe représentative
sin⁡(x)
A coordinate plane. The x-axis starts at zero and goes to ninety by tens. It is labeled degrees. The y-axis starts at zero and goes to two by two tenths. It is labeled a ratio. The graphed line is labeled sine of x, which is a nonlinear curve. The line for the sine of x starts at the origin and passes through the points twenty-four, zero point four, forty, zero point sixty-seven, fifty-two, zero point eight, and ninety, one. It is increasing from the origin to the point ninety, one. The rate of change gets smaller, or shallower, as the degrees, or x-values, get larger. All points are approximations.
sin(x)−1 (ou Arcsin(x)) |
A coordinate plane. The x-axis starts at zero and goes to two by two tenths. It is labeled a ratio. The y-axis starts at zero and goes to ninety by tens. It is labeled degrees. The graphed line is labeled inverse sine of x, which is a nonlinear curve. The line for the inverse sine of x starts at the origin and passes through the points zero point four, twenty-four, zero point sixty-seven, forty, zero point eight, fifty-two, and one, ninety. It is increasing from the origin to the point one, ninety. The rate of change gets larger, or sharper, as the ratios, or x-values, get larger. All points are approximations.
1sin⁡x ) |
A coordinate plane. The x-axis starts at zero and goes to ninety by tens. It is labeled degrees. The y-axis starts at zero and goes to two by two tenths. It is labeled a ratio. The graphed line is one divided by the sine of x, which is a nonlinear curve. The line for the cosecant of x starts by decreasing from the point thirty, two. It continues decreasing until the point ninety, one. The rate of change starts steep at the point thirty, two, but it get smaller at the graph goes through the points forty, one point fifty-five, fifty, one point three, and sixty-five, one point one. The rate of change is very shallow as the graph approaches the point ninety, one. All points are approximations.
Les notations Arcsin, Arccos et Arctan ne présentent pas cet inconvénient.

Retour à l'exercice

Dans ce premier exercice on donne la longueur du côté opposé et celle du côté adjacent à l'angle de sommet L, donc on utilise Arctangente pour calculer cet angle.
Un triangle rectangle avec des sommets L et V où l'angle L est inconnu. Le côté entre les angles L et l'angle de 90 degrés mesure soixante-cinq unités. Le côté entre l'angle droit et le sommet V est de trente-cinq unités.
L^=Arctan( opposé  adjacent) par définitionL^=Arctan(3565)L^≈28,30∘ résultat obtenu à la calculatrice

A vous !

Exercice 1
On donne ce triangle KIP. Calculer I^.
Arrondir au centième.
Le triangle rectangle K I P rectanglle en P. Angle K I P est de mesure inconnue. K I mesure dix unités. K P mesure huit unités.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
∘

Exercice 2
On donne ce triangle DEF. Calculer E^.
Arrondir au centième.
Triangle rectangle D E F rectangle en F. La mesure de l'angle D E F est inconnue. D F mesure quatre unités. E F mesure six unités.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
∘

Exercice 3
On donne ce triangle LYN. Calculer Y^.
Arrondir au centième.
Le triangle rectangleL Y N rectanglle en L. Angle L Y N est de mesure inconnue. YN mesure dix unités. LY mesure trois unités.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
∘

Un dernier exercice
Calculer OE et les angles aigus de ce triangle.
Arrondir au centième.
Triangle rectangle O Z E où l'angle O E Z est un angle droit. Le côté O Z L mesure neuf unités. Le côté E Z mesure quatre unités.
OE=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
O^=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
∘
Z^=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
∘

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