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3e année secondaire

Cours : 3e année secondaire > Chapitre 11 

Leçon 5: Trigonométrie : Définitions et démonstrations
Mathématiques
3e année secondaire
Géométrie : Pythagore, triangle rectangle et trigonométrie
Trigonométrie : Définitions et démonstrations
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Arcsinus, Arccosinus et Arctangente

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Les relations Arcsinus, Arccosinus et Arctangente permettent de calculer la valeur d'un angle aigu d'un triangle rectangle dont on connaît les côtés.
Voici un autre type d'exercice que l'on peut résoudre grâce aux relations trigonométriques.
Exercice Dans ce triangle quelle est la mesure de l'angle de sommet L ?
On connaît les longueurs du côté opposé et du côté adjacent à l'angle L, with, \widehat, on top, donc :
tangent, left parenthesis, L, right parenthesis, equals, start fraction, start text, o, p, p, o, s, e, with, \', on top, end text, divided by, start text, a, d, j, a, c, e, n, t, end text, end fraction, equals, start fraction, 35, divided by, 65, end fraction
Mais comment trouver l'angle L, with, \widehat, on top ?
Pour cela il nous faut de nouveaux outils. Avec le sinus, le cosinus et la tangente, si l'on connait un des angles, on peut calculer le quotient de deux des côtés du triangle. Ici, on connaît deux des côtés du triangle et on veut en déduire un angle. Connaissant les longueurs de deux des côtés du triangle, on peut calculer le sinus, le cosinus ou la tangente de l'un des angles et Il nous faut un outil qui donne la valeur d'un angle dont on connaît soit le sinus, soit le cosinus, soit la tangente.

Arcsinus, Arccosinus et Arctangente

Les outils que l'on cherche sont liés aux lignes trigonométriques de la même façon que la soustraction est liée à l'addition et la division à la multiplication. Soustraire b de a, c'est chercher le nombre qui additionné à b donne a et diviser a par b, c'est chercher le nombre qui multiplié par b donne a.
C'est la même idée en trigonométrie :
  • Arcsinus left parenthesis, A, r, c, s, i, n, right parenthesis de b est l'angle dont le sinus est b.
  • Arccosinus left parenthesis, A, r, c, c, o, s, right parenthesis de b est l'angle dont le cosinus est b.
  • Arctangente left parenthesis, A, r, c, t, a, n, right parenthesis de b est l'angle dont la tangente est b.
On a donc :
Sinus, cosinus et tangenteArcsinus, Arccosinus et Arctangente
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, o, p, p, o, s, e, with, \', on top, end text, divided by, start text, h, y, p, o, t, e, with, \', on top, n, u, s, e, end text, end fractionright arrowA, r, c, s, i, n, left parenthesis, start fraction, start text, o, p, p, o, s, e, with, \', on top, end text, divided by, start text, h, y, p, o, t, e, with, \', on top, n, u, s, e, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, a, d, j, a, c, e, n, t, end text, divided by, start text, h, y, p, o, t, e, with, \', on top, n, u, s, e, end text, end fractionright arrowA, r, c, c, o, s, left parenthesis, start fraction, start text, a, d, j, a, c, e, n, t, end text, divided by, start text, h, y, p, o, t, e, with, \', on top, n, u, s, e, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, o, p, p, o, s, e, with, \', on top, end text, divided by, start text, a, d, j, a, c, e, n, t, end text, end fractionright arrowA, r, c, t, a, n, left parenthesis, start fraction, start text, o, p, p, o, s, e, with, \', on top, end text, divided by, start text, a, d, j, a, c, e, n, t, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta

Attention !

start text, A, r, c, s, i, n, end text, left parenthesis, x, right parenthesis, par exemple, est parfois noté sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis. C'est le cas sur certaines calculatrices et dans les pays anglo-saxons. Cette notation a l'inconvénient de pouvoir être confondue avec open bracket, start text, s, i, n, end text, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, start superscript, minus, 1, end superscript qui est égal à start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction.
FonctionCourbe
sine, left parenthesis, x, right parenthesis
A, r, c, s, i, n, space, x %\arcsin(x)
start fraction, 1, divided by, sine, x, end fraction (aussi appelée c, o, s, e, c, space, x)
Les notations A, r, c, s, i, n, A, r, c, c, o, s et A, r, c, t, a, n ne présentent pas cet inconvénient.

Retour à l'exercice

Dans ce premier exercice on donne la longueur du côté opposé et celle du côté adjacent à l'angle de sommet L, donc on utilise Arctangente pour calculer cet angle.
L^=Arctan⁡( opposeˊ  adjacent) par deˊfinitionL^=Arctan⁡(3565)L^≈28,30∘ reˊsultat obtenu aˋ la calculatrice\begin{aligned} {\widehat L}&=\operatorname{Arctan} \left(\dfrac{\text{} \blueD{\text{ opposé }} }{\text{}\maroonC{\text{ adjacent} }\text{}} \right){\gray{\text{ par définition}}} \\\\ \widehat L&=\operatorname{Arctan} \left(\dfrac{\blueD{35}}{\maroonC{65}}\right){\gray{\text{}}} \\\\ \widehat L &\approx 28{,}30^\circ {\gray{\text{ résultat obtenu à la calculatrice}}}\end{aligned}

A vous !

Exercice 1
On donne ce triangle K, I, P. Calculer I, with, \widehat, on top.
Arrondir au centième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Exercice 2
On donne ce triangle D, E, F. Calculer E, with, \widehat, on top.
Arrondir au centième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Exercice 3
On donne ce triangle L, Y, N. Calculer Y, with, \widehat, on top.
Arrondir au centième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Un dernier exercice
Calculer O, E et les angles aigus de ce triangle.
Arrondir au centième.
O, E, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
O, with, \widehat, on top, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Z, with, \widehat, on top, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

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