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3e année secondaire

Cours : 3e année secondaire > Chapitre 11 

Leçon 5: Trigonométrie : Définitions et démonstrations
Mathématiques
3e année secondaire
Géométrie : Pythagore, triangle rectangle et trigonométrie
Trigonométrie : Définitions et démonstrations
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La trigonométrie dans le triangle rectangle - savoirs et savoir-faire

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Retour sur les définitions des relations trigonométriques dans le triangle rectangle et leurs applications

Les définitions des relations trigonométriques

sine, left parenthesis, A, with, \widehat, on top, right parenthesis, equalsstart fraction, start color #11accd, start text, o, p, p, o, s, e, with, \', on top, end text, end color #11accd, divided by, start color #e07d10, start text, h, y, p, o, t, e, with, \', on top, n, u, s, e, end text, end color #e07d10, end fraction
cosine, left parenthesis, A, with, \widehat, on top, right parenthesis, equalsstart fraction, start color #aa87ff, start text, a, d, j, a, c, e, n, t, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #e07d10, start text, h, y, p, o, t, e, with, \', on top, n, u, s, e, end text, end color #e07d10, end fraction
tangent, left parenthesis, A, with, \widehat, on top, right parenthesis, equalsstart fraction, start color #11accd, start text, o, p, p, o, s, e, with, \', on top, end text, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, start text, a, d, j, a, c, e, n, t, end text, end color #aa87ff, end fraction
La vidéo.

1 - Calculer la longueur d'un côté

Si on connaît l'un des angles aigus d'un triangle rectangle et la longueur d'un côté de l'angle droit ou celle de l'hypoténuse, les relations trigonométriques permettent de calculer les autres longueurs. Pour mémoire, voici par exemple, comment calculer la longueur du côté open bracket, A, C, close bracket dans ce triangle :
On connaît l'angle B, with, \widehat, on top et start color #e07d10, start text, l, apostrophe, h, y, p, o, t, e, with, \', on top, n, u, s, e, end text, end color #e07d10. On cherche la longueur du côté start color #11accd, start text, o, p, p, o, s, e, with, \', on top, end text, end color #11accd à l'angle B, with, \widehat, on top. La relation trigonométrique à utiliser est le sinus.
sin⁡(B^)=ACABsin⁡(40∘)=AC7B^=40∘,AB=77×sin⁡(40∘)=AC\begin{aligned} \sin(\widehat B)&=\dfrac{\blueD{AC}}{\goldD{AB}} \\\\ \sin(40^\circ)&=\dfrac{AC}{7}\quad\gray{\widehat B=40^\circ, AB=7} \\\\ 7\times\sin(40^\circ)&=AC \end{aligned}
A la calculatrice, on obtient :
A, C, equals, 7, times, sine, left parenthesis, 40, degrees, right parenthesis, approximately equals, 4, comma, 5
Exercice 1.1
  • Actuelle
B, C, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Donner sa longueur arrondie au centième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - Calculer la mesure d'un angle

Si on connaît la longueur de l'un des côtés de l'angle droit et celle de l'hypoténuse, les relations trigonométriques permettent de calculer la mesure de l'un des angles aigus. Pour mémoire, voici par exemple, comment calculer la mesure de l'angle A, with, \widehat, on top dans ce triangle :
On connaît la longueur du côté start color #aa87ff, start text, a, d, j, a, c, e, n, t, end text, end color #aa87ff à l'angle que l'on cherche et celle de start color #e07d10, start text, l, apostrophe, h, y, p, o, t, e, with, \', on top, n, u, s, e, end text, end color #e07d10, donc Il faut utiliser le cosinus.
cos⁡(A^)=ACABcos⁡(A^)=68AC=6,AB=8A^=Arccos⁡(68)\begin{aligned} \cos(\widehat A)&=\dfrac{\purpleC{AC}}{\goldD{AB}} \\\\ \cos(\widehat A)&=\dfrac{6}{8}\quad\gray{AC=6, AB=8} \\\\ \widehat A&=\operatorname {Arccos}\left(\dfrac{6}{8}\right) \end{aligned}
A la calculatrice, on obtient :
A, with, \widehat, on top, equals, A, r, c, c, o, s, left parenthesis, start fraction, 6, divided by, 8, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 41, comma, 41, degrees
Exercice 2,1
  • Actuelle
A, with, \widehat, on top, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Donner sa mesure arrondie au centième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

3 - Utiliser les relations trigonométriques dans exercice concret

Exercice 3,1
  • Actuelle
Henri conçoit un manège avec des sièges volants. Les chaînes qui relient les sièges au mât ont une longueur de 5 mètres, et en pleine rotation du manège elles s'inclinent d'un angle de 29, degrees. Henri souhaite qu'en pleine rotation les sièges se trouvent à 2, comma, 75 mètres du sol
Quelle doit être la hauteur du mât du manège ?
Arrondir la réponse au centième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
mètres

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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