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Ce qu'il faut savoir sur les cercles

Tout ce que nous avons appris sur les relations entre les angles et les rapports de longueurs dans les figures s'applique aussi dans les cercles et les portions de cercles.
Vous trouverez dans cette page les sujets que vous devez maîtriser parfaitement. Nous vous expliquons pourquoi et nous vous proposons des batteries d'exercices pour vous tester.
Le chapitre sur Les triangles semblables est un prérequis à cette page.

Longueur d'un arc de cercle et aire d'un secteur de disque

Pourquoi faut-il connaître ce sujet ?

Quelle est l'aire d'un demi-disque ? Elle est égale à la moitié de l'aire du disque. Quelle est l'aire d'un tiers de disque ? Elle est égale à 13 de l'aire du disque. Nous apprendrons plus tard comment calculer la longueur d'un arc de cercle ou l'aire d'une portion de disque, connaissant le rayon et la mesure (l'amplitude) de l'angle au centre.

À vous !

Exercice 1.1
Quelle est la longueur de ce quart de cercle ?
On demande soit sa valeur exacte en fonction de π, soit sa valeur approchée au centième, obtenue en remplaçant π par 3,14.

Dans quel cas est-ce utile ?

Voici des exercices où il faut savoir calculer la longueur d'un arc de cercle ou l'aire d'un secteur de disque :

Trouver la quatrième proportionnelle

Pourquoi faut-il connaître ce sujet ?

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une sont obtenues en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité. Aussi, dans un disque, le rapport entre l'aire d'un secteur de disque à l'aire du disque est égal au rapport entre la mesure de l'angle du secteur de disque et la mesure de l'angle total. Il en est de même pour le rapport entre la longueur de l'arc de cercle et le périmètre du cercle.

À vous !

Exercice 2.1
Résoudre l'équation ci-dessous.
11n=85
n=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Pour vous entraîner, faites l'exercice Trouver la quatrième proportionnelle.

Dans quel cas est-ce utile ?

Vous en trouverez des exemples dans ces exercices :

Simplifier le quotient de deux fractions

Pourquoi faut-il connaître ce sujet ?

Une fraction complexe est une fraction dont les termes sont eux-mêmes des fractions (au numérateur, au dénominateur ou aux deux). Les fractions peuvent intervenir pour exprimer une relation de proportionnalité et surtout lorsque les mesures (amplitudes) des angles sont exprimées en radians.

À vous !

Exercice 3.1
Quelle expression est égale à la fraction suivante ?
(74)(98)
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, faites l'exercice Calculer le quotient de deux fractions.

Dans quel cas est-ce utile ?

Voici des batteries d'exercices où il est utile de savoir calculer le quotient de deux fractions :

Utiliser les relations entre les angles

Pourquoi faut-il connaître ce sujet ?

Toutes les propriétés vues sur les angles adjacents ou les angles dans un triangle s'appliquent aussi lorsque ces angles se trouvent dans une figure inscrite dans un cercle. Deux angles sont dits complémentaires si la somme de leurs mesures (ou amplitudes) est égale à 90°. Deux angles sont dits supplémentaires si la somme de leurs mesures (ou amplitudes) est égale à 180°. Par exemple, dans un triangle rectangle, les deux angles qui ne sont pas l'angle droit sont complémentaires. Dans un quadrilatère, la somme des mesures (ou amplitudes) des angles est égale à 360°. Il est possible de déterminer la somme des mesures (ou amplitudes) des angles dans des figures inscrites dans un cercle en décomposant la figure (en triangles généralement).

À vous !

Exercice 4.1
Quelle est la valeur de x en degrés ?
NOTE : Les angles ne sont pas forcément dessinés à l'échelle.
x=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
°

Dans quel cas est-ce utile ?

Voici des batteries d'exercices où il est utile de savoir utiliser les relations entre les angles :

Équations où l'inconnue est dans les deux membres

Pourquoi faut-il connaître ce sujet ?

On sait que les angles homologues de deux figures égales sont de même mesure. Lorsque ces mesures sont inconnues et exprimées à l'aide d'une variable, on doit savoir résoudre une équation où l'inconnue est dans les deux membres.

À vous !

Exercice 5
Résoudre l'équation
7b15=5b+17
b=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Dans quel cas est-ce utile ?

Voici un exercice pour lequel il est utile de savoir résoudre des équations avec l'inconnue dans les deux membres :

Mesures (amplitudes) des angles dans un triangle isocèle

Pourquoi faut-il connaître ce sujet ?

On sait que les angles à la base d'un triangle isocèle sont de même mesure. Prenons un triangle dont deux côtés sont les rayons d'un cercle. Ce triangle est donc isocèle, et un de ses sommets est le centre du cercle. On pourra démontrer une relation importante entre la mesure d'un angle inscrit et celle de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

À vous !

Exercice 6.1
[PM] et [NM] sont deux rayons du cercle, donc PM=NM et le triangle PMN est isocèle en M.
Quelle est la valeur de x en degrés ?
x=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
°

Pour vous entraîner, vous pouvez faire cet exercice : Les angles d'un triangle isocèle.

Dans quel cas est-ce utile ?

Voici une batterie d'exercices qui est un élément de réponse :

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