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Cours : 3e année secondaire > Chapitre 10

Leçon 2: Angles inscrits et angles au centre

Démonstration du théorème de l'angle inscrit

On démontre que l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc

Avant de commencer...

nous allons préciser les désignations utilisées.

Nous allons utiliser trois lettres grecques pour désigner un angle au centre, l'angle inscrit qui intercepte le même arc et l'arc intercepté. Voici un premier petit exercice :

Associer chacune des désignations marquées sur la figure à l'objet géométrique qu'elle désigne.

1

On appelle

angle au centre

un angle dont le sommet est le centre du cercle.

θ

est un angle au centre.

On appelle

angle inscrit

un angle dont le sommet est sur le cercle.

ψ

est un angle inscrit.

Si on appelle

A

B

les points d'intersection du cercle et des côtés d'un angle inscrit, ou d'un angle au centre, alors l'arc d'extrémités

A

B

s'appelle

l’arc intercepté

par l'angle inscrit, ou l'angle au centre.

Nous allons utiliser ces désignations dans toute la démonstration.

Que va-t-on démontrer ?

On va démontrer que si un angle inscrit

ψ

et un angle au centre

θ

interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle au centre est le double de celle de l'angle inscrit.

θ = 2 ψ

Les trois cas de figure

Pour démontrer que quels que soient

θ

ψ

θ = 2 ψ

, on doit étudier trois cas de figure :

Cas A	Cas B	Cas C
Dans le cas A, il y a un cercle avec trois points dessus. Le deuxième point est à moins de quatre-vingt-dix degrés du premier point dans le sens horaire. Le troisième point est à moins de cent quatre-vingts degrés du premier point dans le sens horaire. L'angle formé par le premier point, le centre et le deuxième point est appelé thêta. L'angle formé par le premier point, le troisième point qui passe par le centre et le deuxième point est appelé psi.	Dans le cas B, il y a un cercle avec trois points dessus. Le deuxième point est à plus de quatre-vingt-dix degrés du premier point dans le sens horaire. Le troisième point est à plus de cent quatre-vingts degrés du premier point dans le sens horaire. L'angle formé par le premier point, le centre et le deuxième point est appelé thêta. L'angle formé par le premier point, le troisième point et le deuxième point est noté psi.	Dans le cas B, il y a un cercle avec trois points dessus. Le deuxième point est à moins de quatre-vingt-dix degrés du premier point dans le sens horaire. Le troisième point est à moins de cent quatre-vingts degrés du premier point dans le sens horaire. L'angle formé par le premier point, le centre et le deuxième point est appelé thêta. L'angle formé par le premier point, le troisième point et le deuxième point est noté psi.

Il n'y a pas d'autre cas de figure.

Cas A : L'un des côtés de l'angle inscrit $ψ$ ‍ est un diamètre.

1 - On repère un triangle isocèle.

[B C]

[B D]

sont des rayons du cercle, donc le triangle

C B D

est isosèle et ses angles à la base sont égaux :

\hat{C} = \hat{D} = ψ

2 - On repère un angle plat.

L'angle

A \hat{B} C

est un angle plat, donc

\begin{aligned} θ + D \hat{B} C & = 180^{\circ} \\ D \hat{B} C & = 180^{\circ} - θ \end{aligned}

3 - On écrit une égalité vérifiée par $ψ$ ‍.

Les angles du triangle

C B D

sont

ψ

ψ

(180^{\circ} - θ)

et leur somme est égale à

180^{\circ}

\begin{aligned} ψ + ψ + (180^{\circ} - θ) & = 180^{\circ} \\ 2 ψ + 180^{\circ} - θ & = 180^{\circ} \\ 2 ψ - θ & = 0 \\ 2 ψ & = θ \end{aligned}

Le théorème est démontré dans le cas A.

Cas B : Le diamètre dont l'une des extrémités est le sommet de l'angle inscrit $ψ$ ‍, est intérieur à cet angle.

1 - On trace ce diamètre

ψ

est la somme des angles

ψ_{1}

ψ_{2}

θ

est celle des angles

θ_{1}

θ_{2}

2 - On exploite le résultat démontré dans le Cas A.

On sait d'après la démonstration précédente que

(1) θ_{1} = 2 ψ_{1}

(2) θ_{2} = 2 ψ_{2}

3 - On en déduit la formule

\begin{aligned} θ_{1} + θ_{2} & = 2 ψ_{1} + 2 ψ_{2} \\ (θ_{1} + θ_{2}) & = 2 (ψ_{1} + ψ_{2}) \\ θ & = 2 ψ & car θ = θ_{1} + θ_{2} et ψ = ψ_{1} + ψ_{2} \end{aligned}

On a démontré la formule dans le cas B.

Cas B : Le diamètre dont l'une des extrémités est le sommet de l'angle inscrit est extérieur à cet angle.

1 - On trace ce diamètre

On définit deux nouveaux angles :

θ_{2}

ψ_{2}

2 - On exploite le résultat démontré dans le Cas A.

De la même façon que dans le cas B, on peut déduire du cas A que :

(1) θ_{2} = 2 ψ_{2}

(2) (θ_{2} + θ) = 2 (ψ_{2} + ψ)

3 - On en déduit la formule.

\begin{aligned} (θ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & (2) \\ (2 ψ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & θ_{2} = 2 ψ_{2} \\ 2 ψ_{2} + θ & = 2 ψ_{2} + 2 ψ \\ θ & = 2 ψ \end{aligned}

On a démontré que dans les trois cas

θ = 2 ψ

Récapitulatif

On devait démontrer qu'un angle au centre est égal au double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.

On a distingué trois cas de figure.

Cas A	Cas B	Cas C
Dans le cas A, il y a un cercle avec trois points dessus. Le deuxième point est à moins de quatre-vingt-dix degrés du premier point dans le sens horaire. Le troisième point est à moins de cent quatre-vingts degrés du premier point dans le sens horaire. L'angle formé par le premier point, le centre et le deuxième point est appelé thêta. L'angle formé par le premier point, le troisième point qui passe par le centre et le deuxième point est appelé psi.	Dans le cas B, il y a un cercle avec trois points dessus. Le deuxième point est à plus de quatre-vingt-dix degrés du premier point dans le sens horaire. Le troisième point est à plus de cent quatre-vingts degrés du premier point dans le sens horaire. L'angle formé par le premier point, le centre et le deuxième point est appelé thêta. L'angle formé par le premier point, le troisième point et le deuxième point est noté psi.	Dans le cas B, il y a un cercle avec trois points dessus. Le deuxième point est à moins de quatre-vingt-dix degrés du premier point dans le sens horaire. Le troisième point est à moins de cent quatre-vingts degrés du premier point dans le sens horaire. L'angle formé par le premier point, le centre et le deuxième point est appelé thêta. L'angle formé par le premier point, le troisième point et le deuxième point est noté psi.

Dans le Cas A, on a repéré un triangle isocèle et un angle plat. Ce qui nous a permis d'écrire deux égalités liant

ψ

θ

. On a déduit de ces deux égalités que

θ = 2 ψ

Dans les cas B et C, on a tracé un diamètre :

Cas B	Cas C
Dans le cas B, il y a un cercle avec trois points dessus. Le deuxième point est à plus de quatre-vingt-dix degrés du premier point dans le sens horaire. Le troisième point est à plus de cent quatre-vingts degrés du premier point dans le sens horaire. L'angle formé par le premier point, le centre et le deuxième point est appelé thêta. L'angle formé par le premier point, le troisième point et le deuxième point est noté psi. Un point est également placé sur le cercle pour former un diamètre avec le troisième point. L'angle thêta un est à gauche et l'angle thêta deux est à droite du diamètre où se trouvait thêta. L'angle psi un est à gauche et l'angle psi deux est à droite du diamètre où se trouvait psi.	Il y a un cercle avec trois points dessus. Le deuxième point est à moins de quatre-vingt-dix degrés du premier point dans le sens horaire. Le troisième point est à moins de cent quatre-vingts degrés du premier point dans le sens horaire. L'angle formé par le premier point, le centre et le deuxième point est appelé thêta. L'angle formé par le premier point, le troisième point et le deuxième point est noté psi. Un point est également placé sur le cercle pour former un diamètre avec le troisième point. L'angle formé par le nouveau point, le centre et le premier point est noté thêta deux. L'angle formé par le point central, le troisième point et le premier point est noté psi deux.

Cas B

Cas C

Ce qui nous a permis d'exploiter le résultat démontré au cas A. Et on en a déduit que dans les trois cas de figure,

θ = 2 ψ

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Intissar.Rahma71
Posté il y a il y a 8 ans. Lien direct vers le message de Intissar.Rahma71 «C est tellement intéressa ... »
C est tellement intéressant
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(2 votes)
Réponse
Marc Pechaud
Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de Marc Pechaud «Le troisième cas n'est pa ... »
Le troisième cas n'est pas facile à comprendre !
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Réponse
aziz_love1989
Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de aziz_love1989 «soit BAC un angle inscrit ... »
soit BAC un angle inscrit dans cercle T qui intercepte l'arc BC de (T) et A' un point tq angle BAC=BA'C

Montrer que A' appartient a (T)
Bouton qui renvoie à la page de connexionCommentez le post de aziz_love1989 «soit BAC un angle inscrit ... »
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Réponse
- mgdenizet
  Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «Soit A' un point extérieu ... »
  Soit A' un point extérieur au cercle tel que angle BAC= angle BA'C.
  On appelle simplement angle A' l'angle BA'C.
  On fait un raisonnement par l'absurde.
  On appelle D le point d'intersection du cercle et du segment [A'B] et E le point d'intersection du cercle et de [A'C].
  angle BAC=angle BDC car ce sont sont deux angles inscrits interceptant le même arc.
  On en déduit que angle BDC = angle BA'C
  Or ceci est impossible car comme l'angle BDC est extérieur au triangle CDA', il est égal à la somme angle A' + angle DCA'
  On aurait donc :
  angle A'= angle BDC - angle DCA'= angle BAC - angle DCA'
  ET angle A' = angle BAC
  C'est impossible.
  On démontre d'une façon analogue qu'il n'est pas possible que A' soit à l'intérieur du cercle.
  (C'est dommage que l'on ne puisse pas faire de figure)
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