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3e année secondaire

Cours : 3e année secondaire > Chapitre 12

Leçon 3: Montrer que des triangles sont semblables

Deux triangles qui ont deux angles égaux deux à deux sont semblables

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Pour le démontrer, on utilise des isométries et une homothétie.

Qu'appelle-t-on deux triangles semblables ?

Actuelle

Quelle est la phrase vraie ?

(Choix A)
Si les angles de la figure A sont égaux à leurs homologues de la figure B, alors les figures A et B sont semblables.
(Choix B)
Si les longueurs des côtés de la figure A sont proportionnels aux longueurs de leurs homologues de la figure B, alors les figures A et B sont semblables.
(Choix C)
Les figures A et B sont semblables si et seulement si la figure B est l'image de la figure A par une suite d'isométries.
(Choix D)
Si la figure B est l'image de la figure A par une suite d'isométries et d'homothéties, alors les figures A et B sont semblables.

Comment démontrer que deux triangles sont semblables ?

En utilisant les propriétés des isométries, on peut prouver que deux triangles sont égaux, même si on ne connaît que les longueurs de certains de leurs côtés, ou les mesures de certains de leurs angles. Qu'est-il nécessaire de connaître pour prouver que deux triangles sont semblables ?

Deux angles et deux côtés de chacun des triangles ?

Cocher les cas d'égalité que l'on peut utiliser pour établir que les triangles A, prime, B, prime, C, prime et D, E, F sont égaux.

Compléter la phrase ci-dessous.

Le triangle A, prime, B, prime, C, prime est égal au triangle D, E, F. Donc, il est l'image du triangle D, E, F par une suite d'

Pour démontrer que le triangle D, E, F est semblable au triangle A, B, C, on a appliqué au triangle A, B, C une suite de transformations par laquelle son image est le triangle D, E, F. Retrouver les mots qui ont été effacés.

Le triangle D, E, F est l'image du triangle A, B, C par :

L'homothétie de centre P et de rapport
La translation par laquelle l'image de B, prime est
.
La rotation de centre
et d'angle C, prime, E, F, with, \widehat, on top.
La symétrie axiale d'axe la droite
.

[Comment être sûr que A'C'=FD ?]

Peut-on aller plus loin ?

On a établi que deux triangles sont semblables si les longueurs de deux côtés de l'un des triangles sont proportionnelles aux longueurs de deux côtés de l'autre et si les angles entre ces deux côtés sont égaux. Peut-on démontrer que deux triangles sont semblables connaissant un plus petit nombre d'informations ?

Deux paires d'angles et une paire de côtés ?

Actuelle

Retrouver les mots effacés dans cette démonstration que le triangle G, H, I est semblable au triangle J, K, L.

Le triangle G, prime, H, prime, I, prime est l'image du triangle G, H, I par une homothétie de rapport
.
Le triangle J, K, L est l'image du triangle G, prime, H, prime, I, primepar une suite d'isométries car les triangles G, prime, H, prime, I, prime et J, K, L sont égaux d'après le cas d'égalité
.
Le triangle J, K, L est l'image du triangle G, H, I par une homothétie suivie d'une suite d'isométries, donc le triangle G, H, I est semblable au triangle J, K, L.

Seulement deux angles égaux ?

Actuelle

Retrouver les mots effacés dans cette démonstration que le triangle M, N, O est semblable au triangle P, Q, R.

	Affirmation	Justification
1	M, with, \widehat, on top, equals, P, with, \widehat, on top et N, with, \widehat, on top, equals, Q, with, \widehat, on top	C'est une donnée
2	On applique au triangle M, N, O une homothétie de rapport .
3	M, prime, with, \widehat, on top, equals, M, with, \widehat, on top et N, prime, with, \widehat, on top, equals, N, with, \widehat, on top	Les homothéties conservent les angles.
4	M, prime, with, \widehat, on top, equals, P, with, \widehat, on top et N, with, \widehat, on top, prime, equals, Q, with, \widehat, on top	Si a, equals, b et b, equals, c, alors a, equals, c.
5	M, prime, N, prime, equals	le rapport de l'homothétie est P, Q, slash, M, N.
6	Les triangles M, prime, N, prime, O, prime et P, Q, R sont égaux	d'après le cas d'égalité A, C, A
7	Les triangles P, Q, R et M, prime, N, prime, O, prime sont superposables.	par définition de de deux triangles
8	Le triangle M, N, O est semblable au triangle P, Q, R	car le triangle P, Q, R est l'image du triangle M, N, O par une homothétie.

Oui ! Deux triangles sont semblables si deux angles de l'un sont égaux à deux angles de l'autre.

Approfondissement

Voici trois questions à vous poser. Une suggestion est de mettre vos réponses en commentaires.

Est-il possible de démontrer le cas de similitude AA en utilisant le cas d'égalité AAC et non le cas d'égalité ACA ?
Quelle serait la différence entre un cas de similitude côté-côté-côté et le cas d'égalité CCC ?
Existe-t-il un un cas de similitude pour les quadrilatères utilisant seulement les angles ?

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