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Cours : 3e année secondaire > Chapitre 12 

Leçon 3: Montrer que des triangles sont semblables
Mathématiques
3e année secondaire
Géométrie : Triangles isométriques ou semblables, théorème de Thalès
Montrer que des triangles sont semblables
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Deux triangles qui ont deux angles égaux deux à deux sont semblables

Google Classroom
Pour le démontrer, on utilise des isométries et une homothétie.

Qu'appelle-t-on deux triangles semblables ?

1
Quelle est la phrase vraie ?
Choisissez une seule réponse :

Comment démontrer que deux triangles sont semblables ?

En utilisant les propriétés des isométries, on peut prouver que deux triangles sont égaux, même si on ne connaît que les longueurs de certains de leurs côtés, ou les mesures de certains de leurs angles. Qu'est-il nécessaire de connaître pour prouver que deux triangles sont semblables ?

Deux angles et deux côtés de chacun des triangles ?

Le triangle A B C et le triangle D E F. Le côté A B mesure cinq. Le côté B C mesure neuf. Le côté D E mesure deux virgule cinq. Le côté E F mesure quatre virgule cinq. L'angle B et l'angle E sont égaux. Dans le triangle A prime B prime C prime, le côté A prime B prime mesure deux virgule cinq. L'angle B prime et l'angle E sont égaux. Le côté B prime C prime mesure quatre virgule cinq.
Cocher les cas d'égalité que l'on peut utiliser pour établir que les triangles A′B′C′ et DEF sont égaux.
Choisissez 2 réponses :

Compléter la phrase ci-dessous.
Le triangle A′B′C′ est égal au triangle DEF. Donc, il est l'image du triangle DEF par une suite d'
.

Le triangle A B C et le triangle D E F. Le côté A B mesure cinq. Le côté B C mesure neuf. Le côté D E mesure deux virgule cinq. Le côté E F mesure quatre virgule cinq. Dans le triangle A prime B prime C prime, le côté A prime B prime mesure deux virgule cinq. Le côté B prime C prime mesure quatre virgule cinq. Le point P est en haut à droite.
Pour démontrer que le triangle DEF est semblable au triangle ABC, on a appliqué au triangle ABC une suite de transformations par laquelle son image est le triangle DEF. Retrouver les mots qui ont été effacés.
Le triangle DEF est l'image du triangle ABC par :
  1. L'homothétie de centre P et de rapport
  2. La translation par laquelle l'image de B′ est
    .
  3. La rotation de centre
    et d'angle C′EF^.
  4. La symétrie axiale d'axe la droite
    .

Peut-on aller plus loin ?

On a établi que deux triangles sont semblables si les longueurs de deux côtés de l'un des triangles sont proportionnelles aux longueurs de deux côtés de l'autre et si les angles entre ces deux côtés sont égaux. Peut-on démontrer que deux triangles sont semblables connaissant un plus petit nombre d'informations ?

Deux paires d'angles et une paire de côtés ?

Les triangles G H I et J K L. Les angles G et J sont égaux. Les angles H et K sont égaux. Le côté G H mesure douze. Le côté K J mesure dix-huit. Dans le triangle G prime H prime I prime, le côté G prime H prime mesure dix-huit. Les angles G prime et J sont égaux. Les angles H prime et K sont égaux.
Retrouver les mots effacés dans cette démonstration que le triangle GHI est semblable au triangle JKL.
  1. Le triangle G′H′I′ est l'image du triangle GHI par une homothétie de rapport
    .
  2. Le triangle JKL est l'image du triangle G′H′I′par une suite d'isométries car les triangles G′H′I′ et JKL sont égaux d'après le cas d'égalité
    .
  3. Le triangle JKL est l'image du triangle GHI par une homothétie suivie d'une suite d'isométries, donc le triangle GHI est semblable au triangle JKL.

Seulement deux angles égaux ?

Deux triangles M N O et P Q R. Les angles M et P sont égaux. Les angles N et Q sont égaux.
Retrouver les mots effacés dans cette démonstration que le triangle MNO est semblable au triangle PQR.
AffirmationJustification
1M^=P^ et N^=Q^C'est une donnée
2On applique au triangle MNO une homothétie de rapport
.
3M′^=M^ et N′^=N^Les homothéties conservent les angles.
4M′^=P^ et N^′=Q^Si a=b et b=c, alors a=c.
5M′N′=
le rapport de l'homothétie est PQ/MN.
6Les triangles M′N′O′ et PQR sont égauxd'après le cas d'égalité ACA
7Les triangles PQR et M′N′O′ sont superposables.par définition de
de deux triangles
8Le triangle MNO est semblable au triangle PQRcar le triangle PQR est l'image du triangle MNO par une homothétie.

Oui ! Deux triangles sont semblables si deux angles de l'un sont égaux à deux angles de l'autre.

Approfondissement

Voici trois questions à vous poser. Une suggestion est de mettre vos réponses en commentaires.
  • Est-il possible de démontrer le cas de similitude AA en utilisant le cas d'égalité AAC et non le cas d'égalité ACA ?
  • Quelle serait la différence entre un cas de similitude côté-côté-côté et le cas d'égalité CCC ?
  • Existe-t-il un un cas de similitude pour les quadrilatères utilisant seulement les angles ?

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur leo velo
    Posté il y a il y a 8 jours. Lien direct vers le message de leo velo «1) oui on a aussi 2 angl ... »
    1) oui on a aussi 2 angles donc on peut connaitre le 3eme
    2) dans le cas de similitude les longueurs peuvent être différentes
    3)oui je pense AAAA
    (1 vote)
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