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Cours : 3e année secondaire > Chapitre 12
Leçon 3: Montrer que des triangles sont semblables- Deux triangles qui ont deux angles égaux deux à deux sont semblables
- Les triangles semblables
- Etablir si des triangles sont semblables - 1
- Caractérisations de triangles semblables
- Prérequis pour les figures semblables
- Établir si des triangles sont semblables - 2
- Triangles semblables - exemple
- Les triangles semblables
- Les côtés de deux triangles semblables
- Étudier si deux triangles sont semblables
- Les figures semblables FAQ
Les figures semblables FAQ
Foire aux questions sur les figures semblables
Quelle est la relation entre les figures semblables et les transformations du plan ?
Deux figures sont semblables si elles sont l'image l'une de l'autre par un agrandissement ou une réduction. Elles ont donc la même forme : le rapport des longueurs des côtés homologues est constant et les angles homologues sont de même mesure.
Pour construire des figures semblables, nous pouvons utiliser les transformations du plan suivantes :
- Les homothéties : une figure est agrandie ou rétrécie.
- Les translations : une figure est glissée d'une certaine longueur dans une certaine direction et dans un certain sens
- Les rotations : une figure est tournée autour d'un point dans un certain sens et d'un angle donné
- Les symétries axiales : une figure est renversée par effet miroir par rapport à une droite, l'axe de symétrie
On peut appliquer à une figure une suite d'isométries et/ou d'homothéties pour obtenir une figure semblable.
À vous ! Polygones semblables et transformations.
Comment prouver que deux triangles sont semblables ?
Les triangles semblables ont la même forme, mais ils n'ont pas les mêmes dimensions. Pour déterminer si deux triangles sont semblables, nous devons examiner :
- Les longueurs des côtés : Si les rapports des longueurs des côtés homologues sont égaux, les triangles sont semblables. Par exemple, si
le triangle
- Les mesures des angles : Si les angles homologues sont de même mesure, alors les triangles sont semblables. Par exemple, si les mesures des angles dans le triangle
- Côté-Angle-Côté : si les longueurs de deux côtés d'un triangle sont proportionnelles aux longueurs de deux côtés de l'autre et si les angles entre ces deux côtés sont égaux alors les deux triangles sont semblables. Par exemple, si dans le triangle
Qu'y a-t-il de particulier avec les triangles rectangles semblables ?
Lorsqu'on construit la hauteur relative à l'hypoténuse dans un triangle rectangle, on obtient deux "petits" triangles rectangles. Il est intéressant de remarquer que ces deux triangles rectangles plus petits sont superposables et chacun semblable au triangle rectangle initial.
En effet, la hauteur relative à l'hypothénuse la partage en deux segments et forme un angle droit avec l'hypothénuse : on obtient deux petits triangles rectangles dont les longueurs des côtés de chacun sont proportionnelles aux longueurs des côtés homologues du triangle rectangle original.
Cette propriété est utile en géométrie, car elle nous permet de résoudre des problèmes. Par exemple, si on connaît la longueur de l'hypoténuse et d'un des côtés d'un triangle rectangle, on peut déterminer les longueurs des segments créées sur l'hypoténuse par la hauteur relative à l'hypoténuse.
Que pouvons-nous prouver à l'aide des triangles semblables ?
On peut démontrer le théorème de Pythagore à l'aide de triangles semblables. Par exemple, le triangle rectangle de côtés
En utilisant l'égalité des rapports de longueurs des côtés homologues de chacun des deux "petits" triangles avec le triangle initial, on démontre l'égalité de Pythagore :
On peut aussi démontrer à l'aide de triangles semblables que les médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité du triangle et que les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre.
Enfin, à l'aide de triangles semblables, on peut démontrer que dans un cercle, lorsque deux cordes se coupent, le produit des mesures des segments de l'une est égal au produit des mesures des segments de l'autre.
On peut démontrer de nombreuses propriétés en utilisant des triangles semblables, nous n'en avons donné que quelques exemples.
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