Les figures superposables FAQ

Foire aux questions sur les figures superposables (égales)

Quelle est la relation entre les isométries et les figures superposables ?

Deux figures sont superposables (ou égales) si elles ont les mêmes dimensions et la même forme. La symétrie axiale, la rotation et la translation sont des isométries qui transforment une figure en une figure superposable.

Si une figure est l'image d'une autre par une suite d'isométries, alors ces deux figures sont superposables. S'il n'est pas possible de trouver une suite d'isométries par laquelle les deux figures sont images l'une de l'autre, alors ces figures ne sont pas superposables.

À vous ! Figures superposables

Comment les isométries nous aident-elles à justifier les cas d'égalité de deux triangles ?

Les isométries nous aident à justifier les cas d'égalité de deux triangles. Grâce à ceux-ci, on peut déterminer si deux triangles sont égaux, sans avoir besoin de connaître les mesures des trois angles et des trois côtés de chaque triangle. En appliquant une isométrie, nous pouvons "déplacer" un triangle sur l'autre pour voir s'ils sont superposables donc égaux.

Par exemple, si deux triangles ont deux côtés deux à deux de même longueur et un angle de même mesure compris entre ces deux côtés, alors un des côtés de même longueur est image de l'autre par une isométrie. Puisque les isométries conservent les longueurs, le troisième couple de côtés aura même longueur.

Prenons un autre exemple. Deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles deux à deux de même mesure. Par une suite de deux isométries, on démontre que les triangles sont images l'un de l'autre, donc égaux. Ainsi, en utilisant les isométries, nous pouvons justifier les cas d'égalités des triangles qui nécessitent la connaissance de moins de mesures.

À vous ! Justifier l'égalité des triangles

Les cas d'égalité

Pour démontrer que deux triangles sont égaux, il n'est pas nécessaire de mesurer tous leurs angles et tous leurs côtés. En effet, il suffit que ces deux triangles vérifient un des cas d'égalité suivant :

Côté-Côté-Côté (CCC) : Si deux triangles ont tous leurs côtés deux à deux de même longueur, alors ces triangles sont égaux.
Côté-Angle-Côté (CAC) : Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre des côtés deux à deux de même longueur, alors ces deux triangles sont égaux.
Angle-Côté-Angle (ACA) : Si deux triangles ont un côté de même longueur et les angles adjacents à ce côté deux à deux de même mesure, alors ces deux triangles sont égaux.
Angle-Angle-Côté (AAC) : Si deux triangles ont deux angles de même mesure et un côté de même longueur, non compris entre ces deux angles, alors ces deux triangles sont égaux.

Dans le cas des triangles rectangles, le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur du troisième côté à partir des longueurs des deux autres. Les triangles rectangles sont donc un cas particulier du critère CCC pour lequel nous avons seulement besoin de vérifier que deux des côtés sont deux à deux de la même longueur, pour prouver que deux triangles sont égaux.

Hypoténuse et un côté de l'angle droit (HC) : Si deux triangles rectangles ont des hypoténuses et un côté de l'angle droit homologue de même longueur, alors ces triangles sont égaux.

Le cas d'égalité Côté-Côté pour les triangles rectangles est un cas particulier du cas CAC où les deux côtés de l'angle droit homologues sont de même longueur.

À vous ! Établir si deux triangles sont égaux - 2

Pourquoi le cas Côté-Côté-Angle n'est-il pas un cas d'égalité ?

Deux triangles ayant des côtés deux à deux de même longueur et un angle de même mesure qui n'est pas situé entre ces deux côtés ne sont pas nécessairement égaux si les angles de mêmes mesures sont chacun opposés au côté qui a la plus petite longueur. Il en est de même pour le cas Angle-Angle-Angle : par définition, deux triangles qui ont leurs angles deux à deux de même mesure sont des triangles semblables, mais pas forcément égaux.

Pour démontrer que deux triangles sont égaux, nous utiliserons donc les cas d'égalité CCC, CAC, ACA et HC dans le cas de triangles rectangles.

Comment les cas d'égalité des triangles nous aident-ils à travailler avec d'autres figures ?

Les cas d'égalité des triangles nous aident à travailler avec d'autres figures et à les comparer de différentes manières.

Premièrement, ils nous permettent de déterminer si deux triangles sont égaux, ce qui peut s'avérer utile lorsque nous voulons déterminer si deux autres figures sont également égales.

De plus, comme on peut toujours décomposer un polygone en plusieurs triangles, ces propriétés peuvent permettre de démontrer que deux polygones sont égaux. Par exemple, on peut décomposer un quadrilatère en deux triangles, démontrer que ces deux triangles sont égaux et déduire de cette donnée la nature du quadrilatère.

Enfin, les cas d'égalité des triangles peuvent également nous aider à résoudre des problèmes impliquant d'autres figures en nous permettant d'utiliser les propriétés des triangles égaux. Par exemple, si nous savons que deux triangles sont égaux, nous pouvons utiliser les côtés correspondants des triangles égaux pour trouver les mesures manquantes dans l'une des figures.

À vous ! Parallélogrammes et démonstrations .

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