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Les cas d'égalité des triangles

Les théorèmes permettant de démontrer que deux triangles sont égaux et la façon des les utiliser.

Comment établir que deux triangles sont égaux ?

Deux figures sont égales si l'une est l'image de l'autre par une isométrie. Les isométries conservent les longueurs et les angles, donc à chacun des côtés de l'une des figures correspond un côté de même longueur de l'autre figure et à chacun des angles de l'une des figures correspond un angle de même mesure, ou amplitude, de l'autre figure. Donc, à priori pour démontrer que deux figures sont égales, il faut mesurer tous leurs angles et tous leurs côtés.
Heureusement il y a les "cas d'égalité".
Comme on peut toujours décomposer un polygone en plusieurs triangles, ces propriétés pourront servir pour démontrer que deux polygones sont égaux.

Les cas d'égalité

Côté-Côté-Côté (CCC)Si deux triangles ont leurs côtés deux à deux de même longueur, alors ces deux triangles sont égaux.
Deux triangles avec trois côtés de même longueur.
Côté-Angle-Côté (CAC)Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre des côtés deux à deux de même longueur, alors ces deux triangles sont égaux.
Deux triangles avec deux paires de côtés de même longueur et un angle de même mesure.
Angle-Côté-angle (ACA)Si deux triangles ont un côté de même longueur et des angles adjacents à ce côté deux à deux de même mesure, alors ces deux triangles sont égaux
Deux triangles avec deux paires d'angles de même mesure et un côté et un côté de même longueur.
Angle-Angle-Côté (AAC)Si deux triangles ont deux angles de même mesure et un côté de même longueur, non compris entre ces deux angles, alors ces deux triangles sont semblables. Ils peuvent être égaux si les côtés de même mesure sont homologues (adjacents aux mêmes angles).
Deux triangles avec deux côtés de même longueur, deux couples d'angles de même mesure.
Hypoténuse et un côté de l'angle droit (HC)Si deux triangles rectangles ont des hypoténuses et un côté de l'angle droit homologue de même longueur OU s'ils ont deux côtés de l'angle droit homologues de même longueur, alors ces triangles sont égaux.
Deux triangles rectangles avec des côtés égaux.

Pourquoi CCA n'est-il pas un cas d'égalité ?

Deux triangles ayant des côtés deux à deux de même longueur et un angle de même mesure qui n'est pas situé entre ces deux côtés ne sont pas nécessairement égaux
Ils ne sont pas nécessairement égaux si les angles de mêmes mesures sont chacun opposés au côté qui a la plus petite longueur.
Deux triangles avec deux côtés de même longueur, et deux angles non inclus de même mesure.

Est-il possible de savoir tout de suite que deux triangles ne sont pas égaux ?

Un triangle n'a que 3 côtés et 3 angles. Si on connaît 4 des longueurs des 6 côtés de deux triangles, et si elles sont toutes différentes, alors ces deux triangles ne peuvent pas être égaux. Il en est de même si on connaît 4 des mesures des 6 angles et qu'elles sont toutes différentes. Parfois les données sont issues de l'énoncé. Mais on peut aussi en déduire d'autres : dans le cas des triangles rectangles, si on connaît les longueurs de deux des côtés, on peut calculer la longueur du troisième côté en utilisant le théorème de Pythagore ; et dans tous les cas, si on connaît les mesures de deux des angles d'un triangle, le théorème de la somme des angles permet de calculer la mesure du troisième angle.
Parfois, les données ne permettent pas d'établir si les deux triangles sont égaux. Si on sait seulement que deux côtés de ces triangles sont deux à deux de même longueurs, alors les deux triangles peuvent être égaux, mais ils peuvent aussi ne pas l'être. Il en est de même si l'on sait seulement que deux angles de ces triangles sont deux à deux de mêmes mesures.
Attention à ne pas se fier à la figure, et à ne pas confondre ce que l'on croit voir sur la figure et une donnée précisée dans l'énoncé ou codée sur la figure.

À vous !

Exercice 1
Two triangles. The first triangle has a side length of five units, a one hundred seventeen degree angle, a side of seven units. The second triangle has a side length of five units, a one hundred seventeen degree angle, a side of seven units.
Ces deux triangles sont-ils égaux ?
La figure n'est pas à l'échelle.
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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  • leaf green style l'avatar de l’utilisateur guillou25
    Bonjour, je ne suis pas tout à fait d’accord avec le cas AAC , exemple : si ABC est un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A , les triangles ABC et ABH ne sont pas isométriques bien qu'on ait l'égalité d'un côté et de deux angles.
    (3 votes)
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Muhammed Kurt
    un géometre a établi les egalites suivant : EG=FH et L'angle FEG et EFG sont egaux
    a) justifier l'egalite des triangle EFG etFEH
    b) en deduire que EH=FG
    (2 votes)
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  • stelly yellow style l'avatar de l’utilisateur Clement Blais
    Bonjour! Merci pour votre question. Je comprends que vous n’êtes pas d’accord avec le cas AAC. Dans le cas où ABC est un triangle rectangle en A et H est le pied de la hauteur issue de A, les triangles ABC et ABH ne sont pas isométriques, bien qu’ils aient l’égalité d’un côté et de deux angles. Cela est dû au fait que les deux triangles ont des longueurs de côtés différents. En effet, le côté AB est commun aux deux triangles, mais les côtés AC et BC sont différents pour chaque triangle. Si vous avez besoin d’aide supplémentaire, n’hésitez pas à me le faire savoir.
    (2 votes)
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