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Une autre démonstration du théorème de Pythagore

Transcription de la vidéo

donc si tu l'avais pas déjà remarqué bien j'essaie de te montrer le nombre maximal de démonstration du théorème de pythagore et donc voici une quatrième démonstration et comme dans toutes les autres et bien on va commencer par dessiner un triangle rectangle ici donc si j'ai déjà dessiné ce qui va être l'hypoténuse de mon triangle que je vais nommer c'est ici je vais décider un deuxième côté ici voilà qui sera ici mon côté a et je vais dessiner ensuite un troisième côté pour finir ici qui sera donc mon côté b ici voilà donc l'angle droit est ici est la première chose qu'on va faire c'est qu'on va retourner ce triangle c'est à dire on va le tournée de 90 degrés vers la gauche ici je m'efface est juste ma flèche donc si on le tourne à 90° ça veut dire que mon côté c'est donc l'hypoténuse va se retrouver à 90 degrés à gauche donc ici et là tu vois on a un angle droit ici et que donc mon côté a ici va se retrouver aussi à 90 degrés dans ce sens là voilà et mon côté b pour finir se situera ici voilà donc je vais te remarquer les les petites notation pour que tu y vois bien clair donc voilà à et voilà b ici et notre angle à 90 degrés est ici donc maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va construire un parallélogramme ici donc je vais te montrer comment donc tu vois que ça c'était le côté c'est le côté de l'hypothénuse est ce qu'on va faire c'est qu'on va construire un segment parallèle à ces en partant d'ici et de même longueur donc voilà donc ici on assez et en fait ce qu'on peut voir c'est que comme c est parallèle ici le segment que je suis en train de dessiner ici est donc aussi parallèle à ce segment là et vaut également a donc ici j'ai un parallélogramme de côté a et c est maintenant ce qu'on va essayer de savoir c'est quoi l'air de ce parallèle au gramme alors pour céder souvent c'est assez pratique de refaire un petit dessin donc on va essayer de refaire un petit dessin d'un parallélogramme mais vu d'une manière différente qui va nous aider un petit peu donc je refais mes côtés a ici donc ça c'est ah ah ah donc tu vois j'ai juste retourner le parallèle au g est gelée mis en fait à plat ici est donc ici je trace mais côté c voilà donc j'ai mon petit parallélogramme ici et pour trouver l'air de ce petit parallélogramme et bien j'ai besoin en fait de connaître la hauteur du parallélogramme c'est à dire que j'ai besoin de connaître cette distance-là ici celle qui va de ici à ici et pourquoi parce que l'air du parallélogramme c'est la hauteur x la base ici donc la base on la connaît c'est à et c'est la hauteur qu'on ne connaît pas ici est en fait si on garde en tête figure principale on voit qu'on a déjà la réponse puisque la hauteur ici que j'ai marqué envers c'est exactement celle marquée envers ici donc et ben pourquoi a et b sont alignés eh bien ça vient de la façon dont on a construit cette figure donc je sais que ici j'ai un angle droit puisque j'ai retourné ce premier triangle à 90° donc les deux côtés à sont perpendiculaires j'ai aussi un angle droit ici entre a et b puisque le triangle ici avec les côtés a baissé et rectangle donc je sais que ce segment b est parallèle à ce segment a ici je sais aussi que j'ai dessiné un parallélogramme ici ce qui veut dire que et bien par construction est par définition le côté a ici et parallèle aux côtés a ici en bas donc a est parallèle à b et à est parallèle à aÿ si je sais aussi que a et b ont un point en commun puisque c'est la manière dont je les ai construit donc il en résulte que a et b sont alignés et donc en fait la hauteur ici du parallélogramme ca dont claire de ce parallèle au g et bien c'est tout simplement à carré ici donc maintenant ce qu'on va faire c'est faire une rotation de notre premier triangle ici donc celui là vers la droite à 90 degrés vers la droite ici je vais enlever ça donc ça veut dire que le côté c est se retrouve à 90 degrés du côté c'est ici donc quelque chose comme ça d'accord donc ici il y à un angle à 90° ici et notre côté b se retrouve quelque chose comme ici voilà puisqu'il va être aussi lui même à 90 degrés vers la droite par rapport au premier qotb ici donc je vais remarquer que c'est le côté b et le côté à sera donc ici donc à issy et donc notre angle droit se retrouve bien entre a et b et cette fois comme à tout à l'heure on va construire un parallélogramme ici en traçant 7 cette ligne là et on sait que c'est un parallélogramme aussi puisque les traits blancs que tu vois là ce sont les longues heures c'est on sait déjà qu'elles sont parallèles ici puisqu'elles sont toutes perpendiculaire à la halle versez de base c'est la façon dont je les ai construite et on sait aussi que cette longueur bella en jaune va être égale à sept longueurs b là en jaune aussi est donc cette figure là est un parallélogramme et de la même manière on voudrait savoir l'air de ce parallèle au g ici donc comme tout à l'heure ce qu'on va commencer par faire c'est qu'on va dessiner le parallèle au g juste pour bien comprendre comment trouver l'air de ce parallèle au g là donc on a nos bases b ici et on a aussi nos côtés c'est ici qu'ils sont parallèles et ce qu'on veut savoir c'est comme tout à l'heure on aimerait avoir une idée de la hauteur de ceux parallélogramme c'est à dire de cette distance là que j'ai mis en vers et la première chose à remarquer en fait c'est que dans cette figure les segments b ici et le segment a ici sont alignés et pourquoi et bien ça vient de la façon dont on a construit cette figure on a construit cette figure de telle manière que cet angle loi soit un angle droit et que cet angle là soit un angle droit aussi donc ce que ça veut dire c'est que le segment b ici et parallèle au segment a ici et on sait aussi qu'on a construit cette figure ici là comme étant un parallélogramme tels que le segment b ici en jaune soit parallèle au segment petit b en jaune ici au dessus donc on a ce segment b là en bas sur notre triangle initial qui est parallèle au segment à mais aussi parallèle au segment b et on sait que a et b et bien ont un point commun ici donc ces deux segments là sont alignés et fait de la même manière tout à l'heure on voit que la distance entre ce côté b ici là en bas et ce côté b en eau si on trace un peu plus loin donc bea ici sont alignés donc en fait la hauteur de mon parallélogramme ses sept longueurs b ici donc la hauteur de ceux parallélogramme c'est aussi b ici et comme l'air d'un parallélogramme c'est la longueur de la base fois la longueur de la hauteur il en suit que l'air de ce parallélogramme ici et bien c b carré donc ça commence à être intéressant ici puisqu'on a trouvé que l'air de ce premier parallélogramme était à carey ait l'air de ce deuxième parallèle au grain et est déclarée alors maintenant ce que je vais faire c'est que je vais prendre une partie de cette figure que je vais copier coller à côté ici donc je vais prendre cette figure là et je vais la copier et la coller ici voilà et donc ce que je vais faire c'est que je vais effacer les partis qui m'intéresse pas trop ici ici voilà voilà et donc je vais m'intéresser à la figure qui me restent ici et c'est en fait assez facile maintenant de savoir l'air de cette figure la leyre de ces étudiants là je la connais c'est à carrer plus bk je le note voilà donc ça c'est l'ère de toute cette figure là donc de ces deux parallélogramme ensemble voilà et donc la maintenance que je vais essayer de faire c'est d'exprimer l'herbe cette fois ci non plus en fonction d'eux a et b mais en fonction de ces et pour ça je vais retracer ici un segment voilà est-ce que tu peux voir c'est qu'en fait ce segment la ccc vraiment le segment c puisque c'est le segment que j'avais ici à la base si tu te rappelles bien et donc qui est le même que ici là donc c'est vraiment c'est donc en fait ce triangle ici c'est exactement le même que ce triangle alors les semoirs dessiner ici ce triangle ici le premier triangle que j'ai dessiné en bas ici est donc ce que je vais faire c'est que ce bout de deux triangles à je vais le déplacer en fait ici en bas dans ma figure donc je vais l'effacer en eau ici donc je vais l'effacer en eau ici donc c'est à dire que je l'enlève en haut de ma figure ici voilà est donc ici en fait je me retrouve avec une figure qui a exactement la même aire qu'avant c'est à dire c'est toujours à carrer plus becquart est ici et je sais que ce côté là en vo c'est d'accord comme ce côté là en bas et comme mes côtés gauche et droite ici et donc l'air de cette figure là est égal à akkar et + b carré puisque j'ai juste déplacer le triangle du haut en bas ici donc l'air à carré ici va correspondre à cette partie ici voilà et l'herbe et carey va correspondre à cette partie ici voilà puisque j'ai juste déplacé en fait c'est petit parti qui avait en eau se rappelle juste en bas ici est donc maintenant si on veut exprimer l'ère de cette figure en fonction de ces et bien c'est facile puisque je t'ai dit que cette forme là est en fait un quart et on sait que c'est un carré puisque tous ses côtés sont de la même dimension et qu'il a un angle droit donc l'air de cette figure c'est aussi ces carrés donc je peux faire l'égalité ici donc à carrer plus b carré est égal à ces carrés ici et on retrouve notre définition du théorème de pythagore ici