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Les rapports des longueurs dans un triangle rectangle isocèle - Démonstration

Transcription de la vidéo

on a pu montrer qu'en fait il existait une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle qui a pour angle 30° 60 degrés et 90 degrés ici on a montré que si l'hypoténuse avait pour longueur x est bien le plus petit côté le côté qui efface à l'angle de 30 degrés avaient pour valeur x et sur deux lots dernier côté avait pour valeur racines de 3 sur x sur deux est ce que ça nous dit en fait c'est que mettons que notre plus petit côté ici valent 1 donc c'est à dire un ici et bien ce que ça nous dit c'est que ce côté-là vaudra ici donc racine de 3 donc je vais le marquer ici racines de 3 et que l'hypoténuse ici vaudra donc de ce que ça veut dire c'est que si je vois un triangle qui a pour holger 1 racing 2 3 et 2 et bien je peux être sûr que c'est un triangle de cette catégorie là c'est à dire qu'il ya un angle à 90 degrés à 30 degrés et 1 60 degrés donc là ce soit bien clair ça ce côté là c'est celui qui est opposé à l'angle de 30 degrés ce côté là c'est celui qui oppose et à l'angle de 60 degrés ici et ce côté là c'est celui qui opposait à l' angle de 90 degrés ici et donc mettons que j'ai un autre triangle de ce type là donc je dessine un triangle ici et ce triangle là a pour valeur ici 2-2 racines de trois ici et 4 ici donc qu'est ce que c'est que ce triangle là est ce que je peux voir c'est qu'ici ce côté là est égale à deux fois ce côté là et ce côté là est égale à la racine de trois fois ce côté là donc je suis exactement dans cette configuration là les ratios des longueurs sont donc cohérent avec ce triangle là et c'est donc ici un triangle avec un angle à 90 un angle ici à 30 est ici un angle à 60 donc ça peut être très rapide pour repérer en fait des triangles intéressant et donc maman va s'intéresser à un autre type de triangle ce sont les triant angle isocèle rectangle triangle isocèle rectangle et on va commencer par an dessiner un don un triangle isocèle rectangle c'est un triangle qui a deux côtés identique et un angle rectangle donc ici on a deux côtés identique et un angle rectangle donc qu'est ce qu'on sait sur ce triangle isocèle et bien un triangle isocèle ludique il a aussi deux angles identique ici donc si on appelle ses ongles la dta donc ce triangle à deux angles d'état ici est donc en fait d'après les propriétés du triangle on peut savoir quelle est la valeur de teta dans ces cas là puisqu'on sait que la somme des angles d'un triangle est égal à 180 degrés donc c'est à dire que ici si j'appelle ce côté et se mêla à celui la baie et celui là c'est ce que je sais c'est que l'angle à plus l'angle b plus l'angle c est égal à 180 degrés ici dans ce triangle est ce que je sais en plus c'est que maintenant donc j'ai appelé ses angles la teta et je sais que aussi cet angle là vaut 90 degrés donc l'angle cvo 90° donc ici ce que j'ai et c2 teta puisqu'on a à égalité tab et galt et a donc l'ensemble fait deux tête à + 90 est égal à 190 ce qui nous donne deux états est égal à 180 - 90 ici donc 90 degrés le résultat c'est que tu es tu as été galicie à 45° donc 90 / de ici donc ici dans cette figure ce qu'on a c'est que des tas est égal à 45 degrés ici et ici est égal à 45 degrés ici donc en fait dans tout triangle isocèle rectangle on va pouvoir montrer que deux angles qui sont identiques dans le triangle val 45 degrés est en fait qu est ce que ça nous dit pour les valeurs des longueurs des côtes est ici donc mais tant que cette fois-ci j'appelle x la longueur de ce côté là et donc forcément la longueur de ce côté là puisque mon triangle et isocèle is on sait que l'hypoténuse dans ce triangle l'acea b puisque c'est le côté qui efface à l'angle à 90° donc ici je vais l'appeler c'est donc ce qu'on sait d'après le théorème de pythagore c'est que ces carrés est égal à x carré plus x carré ici et donc c'est carré est égal à 2 x carré et si on simplifie en prenant la racine carrée donc de chaque côté de l'équation ici on obtient c'est est égal à racine de 2 x donc en fait ça et bien c'est une relation intéressante et qu'on aura dans tous triangle isocèle rectangle c'est à dire qu'on aura ces dégâts la racine de 2 x dans tout triangle isocèle rectangle donc maintenant à faire un autre exemple donc je vais dessiner un autre triangle isocèle rectangle donc voilà le triangle ici donc c'est un triangle rectangle ici je sais que ces deux angles laval 45 degrés donc 45 degrés 45 degrés et je connais la longueur de ce côté ici qui vaut 3 je sais que puisque c'est un triangle isocèle ici sept longueurs la vo 3 également donc si je veux calculé ici la longueur de l'hypothénuse eh bien je sais que d'après ces deux formules à la longueur de l'hypoténuse va être égal à 1 racines 2x donc dans ce triangle laïque segal 3 donc c'est à dire que si j'appelle ce côté là c'est je sais que c'est dans ce cas là va être égal à racine de 2 x 3 ici donc dans ces triangles là c'est assez facile de calculer en fait les côtés de ce triangle puisque j'ai une relation qui m'indique directement en fait de combien vaut l'hypoténuse ici