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Triangles égaux et côtés de même longueur

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on dit que des triangles comme ceux ci qui ont décoté deux à deux égos sont des triangles isométrique on dit aussi souvent que ce sont des triangles égaux ou encore des triangles congruent de même dans cette vidéo nous avons choisi de noter que les triangles abc et 2f sont isométrique comme ceci mais cette notation n'est pas obligatoire n'est pas la seule en usage dans cette vidéo on va parler de ce qu'on appelle les triangles isométrique triangle isométrique alors plus en général on peut parler de forme de figure isométrique et dire que deux figures sont isométrique ça veut pas dire que ce sont les mêmes ça pas dire que ce sont des figures égal mais ça veut dire que ce sont des figures qui ont la même forme et la même taille donc dans le cas de triangle dont on va s'occuper ici on dira que deux triangles sont isométrique s'ils ont la même forme et la même taille voilà alors c'est presque une relation d'égalité mais pas tout à fait puisque je vais clarifier un petit peu ça en dessinant ici alors on va dessiner un premier triangle voilà ici un premier triangle et puis on va en dessiner un deuxième ici voilà et voyez bon c'est pas cessé de triangle sont différents ce ne sont pas des triangles ego puisqu'ils sont pas tous ils sont pas dans la même position ils sont pas au même endroit donc ce ne sont pas des triangles égaux mais par contre on a vraiment l'impression que ils ont la même forme et la même taille donc on a l'impression de triangle isométrique alors pour clarifier ça en fait des triangles sont isométrique si on arrive à part une succession de mouvements elle est superposé c'est à dire que si par exemple on trouve une suite de mouvements qui va ramener ce triangle là exactement sur celui ci à ce moment là on pourra dire que les triangles sont isométrique en fait en terme de mouvement on peut faire presque tous les mouvements qu'on veut sauf ceux qui vont changer des longueurs ou changer des angles puisque dans ces deux cas là on aura soit un changement de taille soit un changement de forme donc ça on veut pas donc on peut faire n'importe quel autre type de mouvement et en fait essentiellement ce qu'on peut faire c'est déplacé ce triangle la faire une translation soit leur tournée par exemple en faisant une symétrie soit le tourner en faisant une rotation voilà je vais jouer noté ces trois types de mouvements là donc on peut les déplacer déplacés on peut les tournées et on peut les retourner ta je disais c'est par par exemple une symétrie voilà alors si on arrive en faisant une combinaison de ces trois types de mouvements à superposer exactement ce triangle sur l'autre eh bien on pourra dire que les triangles sont isométrique alors maintenant on va voir un petit peu ce que ça implique alors pour faire ça je vais je vais pour que ce soit un peu plus clair je vais nommer les sommets des deux triangles donc ici celui ci je vais l'appeler a baissé et le triangle abc et celui là je vais l'appeler x y z voilà donc maintenant m on va se mettre dans le cas où ces deux triangles là sont isométrique donc on va supposer que abc et x y z sont isométrique je l'écris comme ça en fait il existe un symbole mais qui est pas très utilisé je vous le donne quand même ici on peut écrire ça comme ça a baissé c'est un symbole qui ressemble un peu à l'égalité mais avec un troisième très en fait c'est le même symbole que les congruence dans les nombres entiers sais pas si vous avez déjà vu ça donc on peut écrire ça de cette manière là abc et isométrique à x y z voilà je vous le donne mais c'est pas trés trés c'est pas une ride est utilisé très fréquemment donc maintenant on va se poser la question de savoir qu'est ce que ça implique que ces deux triangles sont isométrique alors la première chose c'est que si on imagine abc superposer à x y z en fait on va faire se correspondre les côtés deux à deux un côté de ce triangle là va correspondre à un côté de celui-ci ainsi de suite donc là il faut déjà essayé de trouver quel côté se correspondent donc ici par exemple a baissé il a l'air à peu près rectangle ans et x y z il a l'air à peu près rectangle à z donc déjà le cul le sommet c'est va correspondre au sommet z a b x y se correspondent puisque sans les hypothèses news des deux triangles bon je dis ça comme ça la figure n'est pas très clair donc c'est pas tout à fait précis mais l'idée c'est que il faut arriver à bien identifier quels le somes correspondait du coup quelques l anglais quel côté se correspondent alors si on imagine ce triangle abc superposer à x y z on va à voir que le côté ab qui est ici le côté ab celui ci il va correspondre à ce côté x y et comme les triangles ont même taille on va pouvoir dire que le côté ab est égal ou côté xy donc j'avais noté avec en utilisant ce rose mais si vous n'avez pas de couleur vous pouvez faire c'est petit et codage qui sont tout à fait universels que tout le monde comprend donc on va pouvoir écrire ça le côté ab c'est égal aux côtés xy dont je fais une toute petite parenthèse pour expliquer que ça on pourrait très bien dire aussi que le segments à b et isométrique au segment xy ça serait exactement la même chose puisque les hommes et tri dans le cas d'un segment même forme donc l'image d'un segment ça sera un segment et même taille c'est à dire que finalement la longueur de la du segment abed sera égal à la longueur du segment xy donc finalement ces deux façons de dire sont équivalentes voilà alors je vais continuer en regardant ce qui se passe avec les autres côté ici ce côté là à ses côtés la has et il va correspondre en admettant que ce soit bien cette correspondance là il va correspondre à ce côté xz-1 ça je vais le noter aussi parce qu d'âge avec un double très voilà et je vais l'écrire ici assez est égal à x z voilà la longueur du côté assez est la même que la longueur du côté x raid et puis on a le troisième côté ici baisser ce côté-là besset qui correspond à celui ci y z et on va avoir que baisser égale y z voilà ça c'est une des premières choses qu'on peut dire puisque les deux triangles abc et x y z ont même taille leur côté sont égaux ont même longueur et maintenant on peut dire aussi quelque chose concernant la forme puisque on sait que le triangle a baissé et le triangle x y z ils ont la même forme effectivement si on les imagine superposés l'un sur l'autre on va pouvoir dire que les angles sont deux à deux ego aussi donc par exemple lang lang lacs étangs à il va correspondre à l'angle en os x ici donc on va pouvoir écrire que l'angle en a est égal à l'angle en x alors là je fais un petit abus de langage parce que normalement on devrait écrire que l'angle en a et isométrique à l'angle en x 1 et l'iso mettrie pour des angles c'est simplement que les angles ont la même mesure donc là en fait je devrais écrire que la mesure de l'angle en rat est égale à la mesure de l'angle en x mais bon dans la suite je vais continuer à faire ce petit abus de langage qui est quand même qui simplifie pas mal les choses alors on a la même chose avec cet angle par exemple lancé suis là je vais le noter avec double arc qu'on retrouve ici en z voilà donc on va pouvoir écrire que l'angle ans et est égal à l'angle en z et puis pour terminer on a sept englober ici l'angle b je le faire avec un triple arc on le retrouve ici en y est on peut dire que l'angle la mesure de l'angle en b est égale à la mesure de l'angle en y pardon donc voilà on a explicité ce que signifie l'iso mettrie de ces deux triangles abc et et x y z bon maintenant la chose la plus importante qu'on va devoir faire le plus souvent ça va être de d'essayer de démontrer que deux triangles sentent isométrique alors voilà comment est ce qu'on fait pour deux pour démontrer que deux triangles sont isométrique je vais faire un petit peu de place un je vais remonter ça que pour avoir un petit peu plus de place alors il ya une première caractérisation quiconque qu'il faut connaître c'est que si on a trois côtés et gow 2 à 2 2 à 2 c'est à dire que si nos triangle nos deux triangles ont décoté de même longueur qui se correspondent 2 à 2 à ce moment là on va avoir des triangles isométrique alors pour comprendre ce que ça veut dire ça je vais je vais dessiner des triangles je vais dessiner un premier triangle ici comme ça avec un côté jaune et puis je vais prendre un côté bleu et puis un côté violet voilà donc maintenant je vais dessiner un autre triangle à côté avec les mêmes longueurs alors je vais dessiner par exemple le côté bleu ici je vais le dessiner à peu près comme ça à peu près de la même longueur ensuite je vais dessiner le côté jaune on va dire comme ça par exemple et puis le côté violet avec la même longueur que ce côté violet si donc je veux rajouter le codage pour que ce soit plus clair ici je sais que ces deux côtés en même longueur je sais aussi que ces deux côté là celui ci est celui ci ont même longueur et puis que ces deux côtés violets ont même longueur aussi alors dans ce cas là on peut dire on peut affirmer que ces deux triangles et bien ils sont dix hommes et rick je vais l'écrire comme ça ça ça voudra dire entre autres un que les anglos s'ils sont égaux par exemple cet angle là on va le retrouver ces langues entre le côté jaune et le côté bleu donc c'est celui ci ici on va le retrouver ici et puis l'angle qui est là entre le côté jaune et le côté violet on va le retrouver entre le côté jaune et le côté violet ici voilà et puis enfin le dernier angle celui ci entre le côté violet et le côté bleu je fais le noter avec un on le retrouve ici voilà ses angles là seront égaux alors bon on va pas prouvé cette saison va pas démontré cette caractérisation on va pas démontré que si on a trois côtés et gow 2 à 2 alors les triangles gentil aux métriques mais on va juste essayer de voir un peu pourquoi c'est cohérent pourquoi se tasser le gic je vais je vais commencer par dessiner un triangle alors je vais prendre un triangle avec un côté jaune un côté vert et puis un côté violet voilà dessiner ce triangle là et puis je vais essayer de construire à côté un triangle qui qui aura les clés des côtés de même longueur que ces trois là mais qui sera pas isométrique donc je vais commencer par dessiner disons que côté jaune je le faire comme ça par exemple et puis donc là il est peut-être un peu grand jeu il faut que je le fasse à peu près de la même longueur voilà et puis là je vais à partir des deux extrémités de ce côté là je vais dessiner les autres les autres côtés alors par exemple le côté bleu le côté bleu je vais pouvoir le faire je vais le faire par exemple comme ça voilà et le côté violet je vais le faire on peut le faire comme ça par exemple voilà et puis là évidemment ce que j'ai dessiné c'est pas un triangle dont pour avoir un triangle il faudrait il faut que ces deux côtés là se rejoignent se touchent faut clore ce leurre leur extrémité se touche soit confondue donc pour ça que je vais faire pivoter ce côté bleu par là et je vais faire pivoter ce côté violet par ici aussi et qu'est ce que je vais avoir un moment je vais avoir ça voilà ça va donner quelque chose comme ça ce triangle là et ce triangle que j'ai obtenus ici on voit bien que si je fais une lunette une symétrie et une à une rotation je vais pouvoir le superposer à celui qui est ici donc effectivement je vais avoir des triangles isométrique il ya une autre façon de faire ça serait de faire pivoter ce côté bleu de l'autre côté par ici et puis ce côté violet par ici aussi et donc à ce moment là je vais avoir alors le côté bleu il va se retrouver comme ça et le côté violet il va se retrouver comme ça et là on voit bien que ce pour le coup cette figure est ce triangle que j'ai dessiné en dessous ici eh bien il suffit de faire une rotation pour le ramener exactement dans la même la même position que celui ci et on va pouvoir de cette manière là superposer les deux triangles donc effectivement ça montre que de toute façon le triangle quand les triangles qu'on peut construire à partir de trois côtés et go sont forcément isométrique