Les cas d'égalité des triangles

dans cette vidéo on dit que des triangles comme ceux ci qui ont décoté deux à deux égos sont des triangles isométrique on dit aussi souvent que ce sont des triangles égaux ou encore des triangles congruent de même dans cette vidéo nous avons choisi de noter que les triangles abc et 2f sont isométrique comme ceci mais cette notation n'est pas obligatoire n'est pas la seule en usage bon pour commencer je vais rappeler ce qu'on avait vu dans les vidéos précédentes on avait vu que si on avait deux triangles avec trois côtés de même longueur 3 côté égaux dans le sens de même longueur 1 à ce moment là les deux triangles était isométrique isométrique voilà alors maintenant ce qu'on va essayer de faire c'est de d'examiner d'autres caractérisation possible de l'isoméride triangle alors par exemple est-ce que si on a droit deux triangles avec trois angles de même mesure trois angles de ego on va dire donc trois angles de même mesure est ce que ça implique que les triangles vente isométrique mais alors je vais décider un quelques figures pour pour comprendre un peu mieux ce qui se passe alors je dessine ici un premier triangle voilà et puis ici un deuxième voilà est ce qu'on sait c'est que ces deux triangles en trois angles égaux donc par exemple cet angle 6 qui correspond à celui ci à la même mesure ces deux là ont la même mesure l'angle qui est ici il a la même mesure que l'angle qui est ici et puis l'angle qui est là le dernier il a la même mesure que cet angle si dans ce triangle voilà alors la question sont ceux qu'on se pose c'est est-ce que ces deux triangles sont forcément isométrique alors ben là quand on regarde ce dessin dans l'impression que oui puisque les trie les deux triangles que j'ai dessiné ils ont l'air d'avoir la même taille et la même forme mais est ce que ce serait toujours le cas ça c'est pas certain et d'ailleurs en fait ce qu'on peut penser faire c'est prendre un de ces deux triangles par exemple celui ci et puis l'agrandir ou le 10 mai ou le réduire donc par exemple je vais dessiner ce triangle si mais je vais l'agrandir donc je vais avoir quelque chose comme ça voilà est ce que je peux voir puisque c'est comme un as grandi c'est un agrandissement de ce triangle si en fait les angles sont conservés on a toujours les mêmes angles donc cet angle ici ici là il a la même mesure que celui-ci l'angle qui est là en haut il a la même mesure que cet angle 6 et puis enfin le dernier angle celui ci on le retrouve exactement la silla la même mesure que ses angles là donc finalement on se retrouve avec un triangle qui a qu'à la même forme il a la même forme il a le même angle mais il n'est pas du tout de même taille puisque ce côté là ici est beaucoup plus grand que ce côté-ci ce côté là est beaucoup plus grand que ce côté là le côté en bas la base ici est beaucoup plus grande que c'est ce côté ici donc finalement on voit bien que ce triangle si celui-ci là le grand il est pas du tout isométrique aux deux autres donc en général en général en trois angles égaux ça n'implique pas que les triangles sont isométrique le fait d'avoir trois angles égaux ça n'implique pas que les triangles sont isométrique ça implique qu effectivement ils ont la même forme mais pas la même taille puisque on a vu que les côtés de celui ci ils sont beaucoup plus grands que les côtés des deux autres alors si on regarde les trois triangles qu'on a dessiné ici legrand n'est pas du tout isométrique aux deux autres si on rajoute l'hypothèse que les deux triangles ici on trois côtés et go alors ça je l'avais pas noté avant mais je vais le faire ici du coup si on a ce côté là qui a même longueur que celui ci celui ci qu'est même longueur que celui là et puis celui ci quand même longueur que celui là alors dans ce cas là effectivement on va pouvoir dire que ces deux triangles là sont isométrique puisqu'ils ont la même taille et la même forme mais celui ci on ne peut pas dire qu'il est isométrique on peut simplement dire qu'il est semblable c'est ce qu'on appelle les valeurs ça on l'a pas encore vu mais dans ce cas là on peut dire que le grand triangle qu'on a dessiné ici est semblable aux deux autres alors je vais l'écrire ici ça trois angles égaux ça implique que les triangles sont semblables semblables alors ça c'est un mot qui a une signification en français en mathématiques ça une signification bien précise ce sont deux triangles qui ont même or mme mais pas forcément name même taille donc en gros deux triangles isométrique sont forcément des triangles semblables mais l'inversé n'est pas vrai deux triangles semblables ne sont pas forcément isométrique ce qu'on vient de voir ici là un triangle le petit triangle vert il est semblable au grand triangle rose mais ces deux triangles là ne sont pas idiots métriques donc voilà finalement pour conclure on peut dire que si on a deux triangles avec trois angles et gow 2 à 2 ça ne suffit pas pour dire que les triangles sont isométrique ce qu'on va pouvoir dire c'est que ce sont des triangles semblables seulement voilà alors on va essayer d'examiner un autre cas de figure est ce que par exemple si on a deux triangles qui ont deux côtés de même mesure de côté et go on va dire et l'angle entre ses côtés et l'angle entre ses côtés alors je vais faire des dessins comme d'habitude ici on va dessiner un triangle comme ça donc je vais faire ce premier côté en bleu je vais faire un deuxième côté en rose et puis un troisième côté envers voilà et donc je vais construire à côté un triangle qui a deux côtes et égaux et l'angle entre ses côtés de même mesure alors je commence par dessiner le côté bleu voilà donc ça c'est de ce côté là ils vont avoir la même longueur ensuite je vais dessiner alors je sais que l'angle l'angle alors j'ai dessiné déjà un côté un côté égale un des côtés qui était qui se correspondent et puis l'angle alors langue je vais le dessiner en blanc on va le faire en blanc donc on sait que cet angle là on va le retrouver ici voilà qui nous permet de placer le deuxième côté le deuxième côté keith correspond et en plus ce deuxième côté il a la même longueur que dans l'autre triangle donc voilà ce côté vert il a la même longueur que ce côté vert ici alors maintenant je peux placer le troisième côté je vais me placer ici dans ce sommet là et puis j'ai aucune condition de mesures ni d'angle sur ce côté là donc je vais commencer par le dessiner comme ça par exemple et puis là effectivement je n'obtiens pas un triangle puisque la figure n'est pas fermée donc il faut que je déplace ce côté là pour fermer la figure et obtenir un triangle donc en fait là il faudrait que je le fasse pivoter je vais le faire pivoter de ce côté-ci pour arriver à fermer la figure et obtenir un triangle alors en fait on voit bien que la seule possibilité c'est de ramener son côté ici donc finalement on va avoir on va retrouver un troisième côté qui sera comme ça et qui effectivement aura la même mesure que celui ci donc finalement on voit bien que dans ces conditions là si on a deux côtes et égaux et l'angle entre ses côtes et ça c'est important on va obtenir deux triangles qui sont isométrique de triangle isométrique voilà donc finalement on a déjà on a obtenu une seconde caractérisation la première c'était celle-là et puis on en a une deuxième de côté ego et l'angle entre ses côtés alors l'anglais faut bien faire attention c'est l'angle qui est située entre les côtes et égaux donc ici c'est cet angle là ici cet angle là et puis cet angle là voilà on va continuer en récit de d'examiner tous les cas de figure pour voir lesquels les qu'elle conduise à une situation dix hommes et rit donc à des triangles isométrique alors par exemple on va regarder le cas où on a deux angles ego desangles ego et le côté adjacent à ses angles et le côté adjacent à ses engagements pour clarifier je vais déjà dessiné mon triangle alors je prends un triangle avec un côté comme ça en bleu ensuite je vais avoir un autre côté comme ça et puis un troisième que je vais dessiner en veut à anvers voilà comme ça et puis ce que je sais c'est que mon deuxième triangle il a deux angles il a un côté alors c'est ce côté là je vais prendre ce côté là je vais dessiner ce côté là il ya la même mesure ça c'est le côté adjacent aux deux ans que j'ai commencé par ça et puis je vais dessiner maintenant les deux les deux angles qui sont égaux alors ici j'ai cet angle là qu'on va retrouver du coup ici et puis j'ai ensuite cet angle là ici qu'on va retrouver ici voilà alors maintenant je vais tracer les deux côtés restants de ce dernier trait de ce deuxième triangle donc pour dessiner ce côté-ci là le côté correspondant à celui ci je vais partir de sommer et j'ai aucune condition de longueur par contre je sais qu'il doit faire le même angle avec le côté en bleu donc il doit partir comme ça voilà et puis là je peux le faire aussi long que je veux c'est c'est pas du tout important et puis le troisième côté c'est pareil je pars je me place en ce point ici en ce sommet là et puis je vais j'ai pas de conditions de longueur mais j'ai une condition donc je sais qu'il doit faire cet angle là avec le côté en bleu donc je vais le tracé comme ça voilà je peux le faire aussi long que je veux et on voit bien que en fait pour avoir un triangle uniquement un triangle la seule possibilité c'est que je m'arrête ici c'est à dire que finalement ce côté ci aura exactement la même longueur que le côté qui est là le côté en violet aura la même comble longueur que le koteka en violet ici je vais mettre des codages 1 pour que ce soit plus clair voilà finalement je me retrouve avec cette situation là forcément alors voilà donc finalement j'en déduis que si on a deux anglais go et le côté adjacent c'est le côté qui est entre pierre entre ces deux angles à ce moment là on aura une idée des triangles isométrique pour j'insiste ici ce que j'ai fait c'est pas du tout une preuve ça ne prouve pas que quand on a deux angles go et un côté adjacent entre ses angles à ce moment là on a des triangles isométrique mais c'est simplement une justification logique mais c'est pas une preuve rigoureuse qui serait plus compliqué à faire alors voilà je devrais je résume du coup quand on a deux anglaises go alors deux anglais gauche veulent et je vais les dessiner un c'est le l'angle qui est dessiné ici en rose et l'angle qui est dessiné en rouge et puis le côté adjacent à ces deux angles à ce moment là on a une situation dix hommes et rit on a des triangles isométrique voilà et donc on a trouvé finalement une troisième caractérisation de triangle isométrique si on a deux anglais go et le côté adjacent à ce moment là les triangles sont isométrique on va continuer on va examiner maintenant le cas où on a deux angles et gow 2 à 2 et puis un côté de même longueur alors c'est pas le côté adjacent cette fois ci puisque ça on l'a déjà vu donc je vais et je vais le dessiner alors je vais d'abord commencer par tracer le côté qui est qui sera le même dans les deux triangles donc voilà c'est celui ci et puis je vais dessiner les deux autres côtés alors voilà par exemple comme ça et puis comme ça voilà et puis je vais tracé ici alors le côté on a vu un le côté qui est qui sera égale j'ai dessiné en bleu et puis maintenant je vais dessiner les angles alors l'angle je vais d'abord dessiné un des angles qu'on va retrouver dans l'autre triangle ici par exemple voilà je le dessine en rouge et puis le deuxième je vais le dessiner disons en violet en violet ça va être celui ci voilà alors maintenant je vais essayer de tracer à côté un triangle avec un côté de cette longueur là comme le bleu et puis deux angles de même mesure que ces deux angles ici et je vais essayer de tracer un triangle qui n'est pas isolé trick à celui ci un donc je vais commencer par tracer ce côté donc voilà celui ci il a la même longueur que celui là d'accord et puis je vais commencer par tracer le côté vers lui alors pour le tracé j'ai aucune contrainte sur la longueur mais comme tout à l'heure j'ai une contrainte sur l'angle puisque je sais que cet angle là ici ça doit être le même que celui là est alors je vais maintenant tracé ce côté-ci donc en faisant le bon angle voilà je peux le faire aussi long que je veux je vais le faire comme ça et puis pour tracer le troisième côté mais en fait je n'ai que une condition à remplir c'est que je sais que le troisième côté il va il doit faire un angle et doit faire le un angle de même mesure que celui ci qui était qui et en violet donc par exemple je peux dessiner alors je vais dessiner l'angle je peux très bien faire je peux très bien le le faire ici et tracer le deuxième le troisième côté comme ça par exemple avec aucune indication de longues heures donc je peux le faire aussi longue je veux mais je pourrais tout aussi bien le faire par exemple ici voilà comme ça j'aurai à ce moment là troisième côté qu'ils seraient là voilà et puis ainsi de suite avec une longueur non déterminée alors maintenant nous ce qu'on veut c'est avoir un triangle à issy les figures qu'on a aucune des figures qu'on a dessiné avec ce troisième côté n'est un préampli ce qu'ils sont pas des figures fermé donc en fait on se rend bien compte que la seule possibilité pour ce troisième côté c'est de le faire partir d'ici comme ça et d'avoir est là avec le même angle est donc ici ce sont que des côtés parallèle que des droites parallèles et puis en fait on va se retrouver du coup effectivement dans une situation des hommes et riz puisque là on va retrouver exactement le côté d'eux mêmes mesures que la voilà donc là encore une fois on peut on peut penser que quand on a deux angles ego et un côté à ce moment là on a une situation dix hommes et rit aussi les triangles sont isométrique et on obtient du coup une quatrième caractérisation de l'iso mettrie de deux triangles on va continuer alors je vais je vais faire un petit peu de place je vais remonter un peu tout ça alors le cas qui nous reste à voir c'est le cas où on a deux triangles qui ont deux côtés de même mesure de côté et go et puis un angle et un angle alors là évidemment on va pas considérer le cas où c'est l'angle entre ses côtés puisque ça on l'a déjà vu tout à l'heure on va donc considérer le cas où on a deux côtes et égaux et puis un autre angle égal alors je vais faire un dessin pour mieux y voir clair comme d'habitude donc je vais tracé ce côté là et puis je vais ensuite tracer un deuxième côté et puis un troisième voilà maintenant je vais tracé le un deuxième triangle et je vais commencer par crème pas retracé le premier côté qui a même mesure donc c'est on va dire que c'est celui-là en bleu donc je vais commencer par tracer un côté en bleu de même mesure que de même longueur que ce côté bleu du premier triangle ensuite je vais me placer en ce sommet là pour tracer le deuxième côté qui a même mesure que celui ci voilà donc je doit tracer un côté qui a même longueur que celui ci mais à partir d'ici mais par contre j'ai aucune indication sur lang qui doit faire avec le côté bleu un donc par exemple pourrait très bien le faire comme ça ou alors je peux je vais le faire plus tôt comme ça avec un angle beaucoup plus petit voilà beaucoup plus petit que cet angle si donc j'ai c'est de côté en rose ici qui ont même même longueur et maintenant je vais être assez le troisième côté alors contrat c'est ce troisième côté il faut que j'utilise cette hypothèse-là l'angle doit avoir même mesure alors je vais par exemple supposer que ça peut être ça peut pas être cet angle là parce qu'on serait dans le cade qu'on a déjà vu avant ça pourrait être celui-ci ou celui-là mais la situation serait serait la même donc on va dire que c'est celui ci est donc je vais à partir de ce côté bleu de à partir de ce sommet ici je vais tracer un troisième côté en qui doit faire cet angle violet avec le côté bleu je vais le faire je pars de ce sommet et j'ai la direction qui m'est donnée par l'angle et voilà et je dois m'arrêter ici puisque si je continue je n'aurais pas un triangle donc là ce qu'on voit c'est qu'effectivement du coup on ne le côté vert du deuxième trio anglais beaucoup plus petit que le côté vert du premier triangle donc effectivement là on a construit deux triangles qui ont deux côtés et go et un angle de même mesure mais qui sont pas du tout des triangles isométrique d'ailleurs se sont même pas des triangles semblables puisque ils n'ont pas la même forme ils n'ont ni la même forme ni la même taille donc là dans ce cas là on peut conclure que si on a deux triangles qui ont deux côtés et go et un angle qui n'est pas l'angle entre ses côtes et à ce moment là on n'a pas nécessairement des triangles isométrique n'a pas toujours des triangles isométrique alors j'insiste sur le fait que tout ce qu'on a vu ici ce ne sont pas des démonstrations c'est uniquement des justifications logique des raisonnements qui peuvent être très utiles à faire pour vous si vous êtes un peu si vous avez oublié ou si vous êtes un peu stressé pouvez très rapidement retrouver toutes les caractérisations de l'iso mettrie de deux triangles en faisant ces petits raisonnement là