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Démonstration - Propriété des diagonales d'un parallélogramme

Transcription de la vidéo

on nous donne un parallélogramme abcd puisqu'on nous dit que les droites ab et d'essai sont parallèles et et droite décès et à des sons parallèle donc les côté opposé de ce quadrilatère sont parallèles 2 à 2 et on nous demande de prouver que les diagonales ac et bd se coupe en leur milieu bien donc on va commencer par nommer ce milieu tout simplement on va l'appeler eux puisqu'on va l'utiliser dans la démonstration et on va s'intéresser maintenant à quelques triangle donc comme on a fait dans la vidéo précédente on va essayer de remarquer des angles alternat terne puisque on a dansé on a dans cette figure deux segments qu'on peut prolonger en droite les deux diagonales bdac qui intercepte de droite parallèle à b et d c'est donc considérons b à c b à c on à l'angle b à c qui est l'angle alterne interne à ac/dc deux angles sont alter interne et comme ab et d'essai sont parallèles et bien b à c est égal à a cédé humble alterne interne voilà donc de la même façon même façon on va pouvoir dire que cette fois ci ce sont les angles a b d et bdc qui sont égaux puisque la droite db coupe ab et d'essai qui sont toutes les deux parallèles on va aller un peu plus vite donc à b d est égal à b d et c'est pour la même raison la même justification donc on a deux triangle à b e et d eux c'est qu'ils ont deux angles de même mesure et alors si on se souviens tu te souviens tu viens de faire la démonstration dans la vidéo précédente tu viens de dire de prouver que les côtés opposés dans parallélogramme sont en plus d'être parallèles sont égaux donc on sait maintenant que ab et de même longueur que dc et qu'est-ce qu'on a maintenant eh bien on a deux angles et un côté donc un côté compris entre 2 angles qui sont les mêmes pour ces deux triangles ab e et le triangle des oeufs sait on à l'angle a cédé le segment décès et l'angle cdb qui sont identiques que pour l'autre triangle donc tu te convainc assez rapidement que les triangles à b e décès sont isométrique ils sont isométrique puisqu'ils ont un côté compris entre 2 angles ego pour les deux triangles et qu'est ce que ça veut dire eh bien ça veut dire que les autres côtés de ses deux triangles loin tresgots 2 à 2 et alors si on commence par le côté c'est eux et bien le côté c'est eux ici son côté correspondance sur l'autre triangle et bien c'est le le côté à eux puisque l'anglais identique aux deux triangles cb ac qui est égal à dc a donc le côté cee et de même longueur que le côté à eux et par le même raisonnement on déduit que le côté behe et de même longueur que le côté d eux en effet ces deux triangles on vient de dire qu'ils étaient ils au métriques donc il a ils ont leurs trois côtés et gow 2 à 2 et donc on vient juste de prouver que les diagonales ac et bd se couper en leur milieu puisque le point eu le l'intersection entre les diagonales se trouve exactement à la moitié des segments ac et des segments db donc les diagonales d'un parallélogramme se coupe en leur milieu maintenant on va prendre le problème à linverse et on va considérer un quadrilatère dont on ne sait pas quel est son type mais on nous donne seulement une information c'est que ces deux diagonales ac et des baies se coupe en leur milieu en leur milieu qu'on va appeler eux eh bien on nous demande à partir de sade cette information de prouver que abcd est un parallélogramme alors la première chose qu'on va remarquer on va s'intéresser au point e en particulier on va s'intéresser par exemple aux angles a et e bay et dec eh bien ces deux angles sont des angles opposé par le sommet puisque ac et des baies sont tous les deux des segments on a donc l'angle à deux baies qui est de même mesure que l'angle dec puisque ce sont des angles opposé par le sommet et donc ils sont forcément de même longueur c'est une des premières choses que tu as appris donc on a à e bay l'anglais a et b qui est égal à d e c'est bien première chose et donc tout de suite on peut remarquer que eb et des scellés triangle j'entends sont isométrique pourquoi et bien parce que ils ont tous les deux un angle qui est compris entre deux côtés de même longueur 2 à 2 on a b e qui est de même longueur que ed etc qui est de même longueur que avec cet angle convient dont on vient de démontrer l'égalité donc on en déduit que les triangles je vais de l'écrire entièrement les triangles à b et d eux c c son isométrique et donc maintenant puisqu'on sait que ces deux triangles a et b et d c'est sont isométrique on va s'intéresser aux autres églises ont leurs trois angles et gow 2 à 2 on va commencer avec à bédée cet angle à bd et bien il est de même mesure que l'angle bdc puisque il est compris sur ces deux segments de même longueur behe et des donc ces deux angles qui peuvent être vus comme des angles alternat terne puisque ce sont des angles alternat terne au droite ab et d'essai qui sont interceptés par la droite bd et ses angles sont égaux on le sait puisque les deux triangles sont isométrique donc cet équivalent à dire que la droite ab est parallèle à la droite décès donc je déduis que ab est parallèle à dc par les angles alterne interne de même mesure et on va prendre maintenant pour démontrer voir ce qui se passe avec les deux autre côté on va prendre le l'angle maintenant bcbc qui est de même mesure que l'angle à des puisqu'ils sont également opposés par le sommet donc on a à d qui est de même mesure que b c'est donc beau de la même façon que ce qu'on vient de faire avec ab les triangles bdc on a les triangles b c à d qui sont isométrique je vais l'écrire b c est un des sons isométrique donc on peut à nouveau déduire que l'angle par exemple baissé à avec un autre figuré cette fois-ci bca et de même mesure que l'angle des ac et ses deux angles sont des angles alterne interne au droit de baisser et adé et donc dire que c'est angleterre internes sont égaux c'est équivalent à dire que dc est parallèle à adé par les angles alternant terne alterne interne donc on a un quadrilatère avec ses côtés opposés qui sont parallèles entre 2 à 2 et donc ça c'est la définition d'un parallélogramme donc on vient de prouver que si on a un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupe en leur milieu et bien ce quadrilatère est un parallélogramme il est nécessairement un parallélogramme